\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}
\section*{\textcolor{red}{Correction du Devoir surveillé commun \no 1 - TS - 14/10/17}}

\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2017}}

\noindent On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ : 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$   :\:  $u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ ; 
\item la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Conjectures}}

\medskip 


\begin{enumerate}
	\item On considère les trois algorithmes ci-dessous. Un seul d'entre eux calcule et affiche les termes $u_n$ et $v_n$, la valeur de l'entier naturel $n$ étant saisie par l'utilisateur. Lequel ? Justifier soigneusement.\\
	
	
\fbox{
	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
	\underline{\textbf{Algorithme 1 :}}\\
	\\
	\textbf{Variables :}\\
	$n$ et $i$ : entiers naturels\\ 
	$u$ et $v$ : réels \\
	\textbf{Entrée :}\\
	Saisir la valeur de $n$\\
	\textbf{Traitement :}\\
	$u$ prend la valeur $1$\\
	$v$ prend la valeur $1$ \\
	Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :\\
	\indent \hspace{0,4cm} $u$ prend la valeur $2u - (i-1) + 3$\\
	\indent \hspace{0,4cm} $v$ prend la valeur $2^{i}$\\
	Fin Pour\\
	\textbf{Sortie :}\\
	Afficher $u$\\
	Afficher $v$
	\end{minipage}
}
\fbox{	
	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
	\underline{\textbf{Algorithme 2 :}}\\
	\\
		\textbf{Variables :}\\
		$n$ et $i$ : entiers naturels\\ 
		$u$ et $v$ : réels \\
		\textbf{Entrée :}\\
		Saisir la valeur de $n$\\
		\textbf{Traitement :}\\
		$u$ prend la valeur $1$\\
		$v$ prend la valeur $1$ \\
		Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :\\
		\indent \hspace{0,4cm} $u$ prend la valeur $2u - i + 3$\\
		\indent \hspace{0,4cm} $v$ prend la valeur $2^{i}$\\
		Fin Pour\\
		\textbf{Sortie :}\\
		Afficher $u$\\
		Afficher $v$
	\end{minipage}
}
\fbox{
	
	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
	\underline{\textbf{Algorithme 3 :}}\\
	\\
		\textbf{Variables :}\\
		$n$ et $i$ : entiers naturels\\ 
		$u$ et $v$ : réels \\
		\textbf{Entrée :}\\
		Saisir la valeur de $n$\\
		\textbf{Traitement :}\\
		$u$ prend la valeur $1$\\
		$v$ prend la valeur $1$ \\
		Pour $i$ allant de $0$ à $n-1$ :\\
		\indent \hspace{0,4cm} $u$ prend la valeur $2u - i + 3$\\
		\indent \hspace{0,4cm} $v$ prend la valeur $2^{i}$\\
		Fin Pour\\
		\textbf{Sortie :}\\
		Afficher $u$\\
		Afficher $v$
	\end{minipage}
}
\hfill\\
	
	Choisissons $n=1$ et regardons ce que donnent les trois algorithmes :
	
	

\begin{multicols}{3}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Pour le premier algorithme :
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$n$&$i$&$u$&$v$\\
\hline
1&&&\\
\hline
1&&1&1\\
\hline
1&1&$2\times 1-0+3$&$2^1$\\
\hline
1&1&5&2\\
\hline
\end{tabularx}

L'algorithme affiche bien ce qui est demandé.

\columnbreak
Pour le deuxième algorithme :
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$n$&$i$&$u$&$v$\\
\hline
1&&&\\
\hline
1&&1&1\\
\hline
1&1&$2\times 1-1+3$&$2^1$\\
\hline
1&1&4&2\\
\hline
\end{tabularx}

L'algorithme affiche les valeurs $u_1=4$ et $v_1=2$, ce qui ne convient pas.

\columnbreak
Pour le troisième algorithme :
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$n$&$i$&$u$&$v$\\
\hline
1&&&\\
\hline
1&&1&1\\
\hline
1&1&$2\times 1-0+3$&$2^0$\\
\hline
1&1&5&1\\
\hline
\end{tabularx}

L'algorithme affiche les valeurs $u_1=5$ et $v_1=1$, ce qui ne convient pas.

\end{multicols}

	\item 

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Pour que ce premier algorithme  affiche tous les termes de ces deux suites jusqu'à l'indice $n$ inclus, il faut mettre l'instruction Afficher $u$ et Afficher v avant la boucle, puis avant \textbf{\textcolor{red}{Fin Pour}} dans la boucle :
	
\begin{center}
\fbox{	\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Variables :}\\
	$n$ et $i$ : entiers naturels\\ 
	$u$ et $v$ : réels \\
	\textbf{Entrée :}\\
	Saisir la valeur de $n$\\
	\textbf{Traitement :}\\
	$u$ prend la valeur $1$\\
	$v$ prend la valeur $1$ \\
	Afficher $u$\\
	Afficher $v$\\
	Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :\\
	\indent \hspace{0,4cm} $u$ prend la valeur $2u - (i-1) + 3$\\
	\indent \hspace{0,4cm} $v$ prend la valeur $2^{i}$\\
	Afficher $u$\\
	Afficher $v$\\
	Fin Pour\\
	\textbf{Sortie :}
\end{minipage}}
\end{center}


\end{multicols}
	\item En entrant les suites dans la calculatrice, on obtient le tableau de valeurs suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
n &0&1&2&3&4& \ldots &10&11&12&13\\
\hline
$u_n$ &1&5&12&25&50& \ldots &3080&6153&12298&24587\\
\hline
$v_n$ &1&2&4&8&16& \ldots &1024&2048&4096&8192\\
\hline
$\dfrac{u_n}{v_n}$&1&2,5&3&3,125&3,125&\ldots&3,0078&3,0043&3,0024&3,0013\\
\hline
\end{tabularx}

	
Il semble que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)=3}}$

\end{enumerate}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textcolor{red}{\textbf{Partie B : Étude de la suite} \boldmath $\left(u_n\right)$\unboldmath}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a 

$u_n = 3 \times  2^n + n - 2$. 


On effectue une démonstration par récurrence:

\textbf{\textcolor{blue}{initialisation}}: $u_0=1$ et $3 \times  2^0 + 0 - 2=1$~~~donc l'égalité est vérifiée au rang 0

\textbf{\textcolor{blue}{hérédité}}: Soit $n$ un naturel quelconque et supposons que : $ u_n = 3 \times  2^n + n - 2$ pour un entuer $n$ quelconque.

D'après la définition : $u_{n+1} = 2u_n - n + 3 = 2\left(3 \times  2^n + n - 2 \right) - n + 3 = 3 \times 2^{n+1} + 2n - 4 - n + 3 = 3 \times 2^{n+1} + n - 1$ soit 

$u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1} + n + 1 - 1 - 1 =\boxed{\textcolor{red}{ 3 \times 2^{n+1} + (n + 1)  - 2}}$.

La relation est vraie au rang $n+1$.

\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : la relation est vraie au rang $0$, et si elle est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n + 1$. D'après le principe de la récurrence on a donc démontré que pour tout naturel $n$,

$\boxed{\textcolor{red}{u_n = 3 \times  2^n + n - 2}}$.

\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. 


$\lim_{n\rightarrow +\infty}{2^n}=+\infty$ donc par somme, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$.

\item Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à  1 million. 


$u_{18} = \numprint{786448} < \numprint{1000000}$ et $u_{19} = \numprint{1572881} > \numprint{1000000}$.

19 est donc le rang du premier terme supérieur  à un million.


\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie C : Étude de la suite } \boldmath$\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à  partir du rang 3. 

$\forall n \in \mathbb{N}~,~\dfrac{u_n}{v_n}=3+\dfrac{n-2}{2^n}$

$\forall n \in \mathbb{N}~,~\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\dfrac{u_n}{v_n}=\left( 3+\dfrac{n-1}{2^{n+1}}\right) -\left( 3+\dfrac{n-2}{2^n}\right)=\dfrac{n-1-2(n-2)}{2^{n+1}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-n+3}{2^{n+1}}}}$ est du signe de $-n+3$

Donc $\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\dfrac{u_n}{v_n}<0$ si $n>3$ alors $\left( \dfrac{u_n}{v_n}\right) $ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante à partir du rang 3}}.

\item On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal  à  4, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}$. 

Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. 


$\forall n \in \mathbb{N}~,~\dfrac{u_n}{v_n}=3+\dfrac{n-2}{2^n}=3+\dfrac{n}{2^n}-\dfrac{1}{2^{n-1}}$

D'après l'encadrement donné, on en déduit que pour $n\geqslant 4~,~3-\dfrac{1}{2^{n-1}}<\dfrac{u_n}{v_n}\leqslant 3+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2^{n-1}}$

Or $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n}= 0$ et  $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{2^{n-1}}=0$ alors d'après le théorème des gendarmes on a $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=3 }}$

\end{enumerate}


\end{multicols}


\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2014}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Un volume constant de \numprint{2200}~m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B.
 
%Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes.
% 
%On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
 
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] au départ, le bassin A contient 800~m$^3$ d'eau et le bassin B contient \np{1400}~m$^3$ d'eau ; 
%\item[$\bullet~~$] tous les jours, 15\,\% du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ; 
%\item[$\bullet~~$] tous les jours, 10\,\% du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Pour tout entier naturel $n$, on note : 
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $a_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ; 
%\item[$\bullet~~$] $b_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On a donc $a_{0} = 800$ et $b_{0} = \np{1400}$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \og{}Un volume constant de \numprint{2200}~m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B.\fg{} donc 

\[ \text{Pour tout }n \text{ de } \mathbb{N},\ \boxed{\textcolor{red}{a_n+b_n = \numprint{2200}}}.\]

\item Au début du $n+1$-ième jour, la bassin A contient $a_n$, on ajoute 15\,\% du volume d'eau présent dans le bassin B soit $ 0,15 b_n $ et on enlève 10\,\%  du volume présent dans A au début de la journée : 

$ a_{n+1}= a_n + 0,15 b_n -0,1 a_n = a_n + 0,15 (2200 - a_n)-0,1a_n =0,75a_n+330 =\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{4} a_{n} + 330 }}$


On a bien, pour tout entier naturel $n,\: \boxed{\textcolor{red}{a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} + 330}}$. 
\item \ \\[-20pt]
%L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $a_{n}$ est supérieur ou égal à \np{1100}. 
%
%Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.

\begin{center}

\begin{tabular}{|l l l|}\hline 
\textbf{Variables}&:& 	$n$ est un entier naturel\\ 
&&$a$ est un réel\\ 
\textbf{Initialisation}&:&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
&& Affecter à $a$ la valeur 800\\
\textbf{Traitement}&:& Tant que $a < \numprint{1100}$, faire :\\ 
&&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $a$ la valeur {\red $ \dfrac{3}{4} a + 330 $}\\ 
Affecter à $n$ la valeur {\red $n + 1$}\\
\end{tabular}\\
&& Fin Tant que\\  
\textbf{Sortie}&:&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
\item %Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n} = a_{n} - \np{1320}$. 

	\begin{enumerate}
	
		\item %Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Remarque : on peut calculer les premiers termes pour avoir la raison.		
		
Pour tout entier naturel $n$, on a

$u_{n+1} = a_{n+1} - \numprint{1320} \text{par définition de } u_n\\
=\dfrac{3}{4} a_{n} + 330 - \numprint{1320}\text{ d'après la question 2. }\\
= \dfrac{3}{4} a_{n} -990= \dfrac{3}{4}\left(  a_{n} - 1320\right)=\dfrac{3}{4} u_{n}$.		

On reconnait la définition d'une suite \textbf{géométrique} de raison $\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{3}{4} }}$. 

Son premier terme est $ u_0 = a_0 -1320 = 800-1320 = \boxed{\textcolor{red}{\textbf{-520} }}$		 

		\item On a donc, pour tout entier naturel $n$,  $u_{n} = u_0 q^n = -520\times \left(\dfrac{3}{4}  \right)^n$ . 

Mais, par définition de $u_n$, on a 

$u_{n} = a_{n} - \numprint{1320} \Leftrightarrow a_n = u_n + \numprint{1320}$ donc $ \boxed{\textcolor{red}{a_{n} =\numprint{1320} - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n}}$.
	\end{enumerate} 
	


\item On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau.

Si ce jour arrive, on aura $ a_n = b_n = \dfrac{\numprint{2200}}{2}=\numprint{1100}$.
 
 Il faut donc résoudre l'équation $  \numprint{1320} - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 1100 $ d'inconnue $n$.
 
$  \numprint{1320} - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 1100 \Leftrightarrow 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 220 \Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^n = \dfrac{11}{26}}}$.

À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{n\approx 3}}$.

On vérifie: $ a_3 = \numprint{1100,625} $ et $ b_3 = \numprint{1099,375} $ donc $ a_3 - b_3 \approx1,25 > 1 $. %A la fin du troisième jour, les deux bassins auront le même volume au mètre cube près.

Les deux bassins n'auront donc \textbf{jamais} le même volume d'eau, à un mètre cube près.

\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{\textcolor{blue}{QCM : France juin 2005 (extrait)}}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\noindent On considère une suite $\left(u_{n}\right)$, définie sur $\mathbb{N}$ dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite $\left(v_{n}\right)$ sur $\mathbb{N}$ par $v_{n} = \frac{- 2}{u_{n}}$.

\begin{enumerate}
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est convergente, alors $\left(v_{n}\right)$ est convergente.

\fbox{\textcolor{red}{Cette proposition est fausse :} }

Prenons par exemple la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\cfrac1{n+1}$. $\left(u_n\right)$ est convergente, de limite nulle.

On obtient alors $v_n=-2(n+1)$, terme général d'une suite qui tend vers $-\infty$, donc non convergente.

\item Si $\left(u_{n}\right)$ est minorée par 2, alors $\left(v_{n}\right)$ est minorée par $-1$.

\fbox{\textcolor{red}{Démontrons que cette proposition est vraie :} }

\bigskip

Par hypothèse, $(u_n)$ est minorée par 2.\\
Alors : $\forall n\in\mathbb{N}$, $2\leq u_n\Rightarrow 0\leq\cfrac1{u_n}\leq\cfrac12\Rightarrow-\cfrac2{u_n}\geq -1\Rightarrow \boxed{\textcolor{red}{v_n\geq -1}}$.

\item Si $\left(u_{n}\right)$ est décroissante, alors $\left(v_{n}\right)$ est croissante.

\fbox{\textcolor{red}{Cette proposition est fausse :}}

\bigskip

Reprenons comme exemple $u_n=\cfrac1{n+1}$ qui est bien le terme général d'une suite décroissante. On obtient $v_n=-2(n+1)$, donc une suite $(v_n)$ \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\item Si $\left(u_{n}\right)$ est divergente, alors $\left(v_{n}\right)$ converge vers zéro.

\fbox{\textcolor{red}{Cette proposition est fausse}.}

\bigskip

 Prenons $u_n=(-1)^n$. Alors, $v_n=-\cfrac2{(-1)^n}=\pm 2$. Cette suite vaut alternativement 2 ou -2, donc ne converge pas.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  
  

