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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du devoir surveillé en TS1-TS2 et TS3 (31 mars 2018)}}\end{center}


\subsection{}%Liban mai 2014





On considère la suite de nombres complexes $(z_n)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$:

\[z_{n+1}=(1+\mathrm{i})z_n\]


\textbf{Partie A}
\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\vert z_n \vert$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_0=\vert z_0 \vert= \left\vert \sqrt3-\mathrm{i}\right\vert = 2$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_0=2}}$.

\item $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}= \left\vert z_{n+1}\right\vert= \left\vert (1+\mathrm{i})z_n\right\vert= \vert 1+\mathrm{i}\vert \times \vert z_n \vert=\sqrt2\vert z_n \vert=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt2 u_n }}$.

$\left(u_n\right)$ est donc une suite \textbf{géométrique}, de premier terme 2 et de raison $q=\sqrt{2}$.

\item D'après le cours, pour tout entier naturel $n$, on a $\boxed{\textcolor{red}{u_n = 2\left(\sqrt2\right)^n}}$

\item $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\sqrt2>1$ et de premier terme strictement positif, elle \textbf{\textcolor{red}{diverge}} donc vers $+\infty$.
\medskip

\item \textbf{Algorithme}

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{lcl}
\textbf{Variables}&: &$u$ est un réel\\
&&$p$ est un réel\\
&& $n$ est un entier\\
 \textbf{Initialisation}&:& Affecter à $n$ la valeur 0\\
&& Affecter à $u$ la valeur 2\\
  \textbf{Entrée}&:&  Demander la valeur de $p$ \\
   \textbf{Traitement}&:& Tant que $u \leqslant p$ Faire\\
   && Affecter à $n$ la valeur $n+1$\\
   && Affecter à $u$ la valeur $\sqrt2\times u$\\
   && Fin du Tant Que\\
  \textbf{Sortie}&:&  Afficher n\\
\end{tabular}
}

\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $z_1=(1+\mathrm{i})\times (\sqrt3-\mathrm{i})= 1+\sqrt3 + \mathrm{i}(\sqrt3-1)$ ; $\boxed{\textcolor{red}{z_1=1+\sqrt3 + \mathrm{i}(\sqrt3-1)}}$.

\item \textbf{Pour} $\mathbf{z_0}$ :

 $\left\vert z_0 \right\vert=2$.

Recherche d'un argument de $z_0$ : Notons $\theta_0$ un argument de $z_0$.

$\begin{cases}\cos\theta_0=\dfrac{\text{Re}\left(z_0\right)}{\left\vert z_0 \right\vert}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\sin\theta_0=\dfrac{\text{Im}\left(z_0\right)}{\left\vert z_0 \right\vert}=-\dfrac{1}{2}\end{cases}$.

On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\theta_0=-\dfrac{\pi}{6}}}$.

D'où : $z_0=\boxed{\textcolor{red}{2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)}}=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$.
\medskip

\textbf{Pour} $\mathbf{1+\mathrm{i}}$ :

$\left\vert 1+\mathrm{i} \right\vert=\sqrt2$.

Il est clair, géométriquement,  que $\arg(1+\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{4}$.

On en déduit que $1+\mathrm{i}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)}}=\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$.
\medskip
 
%$z_1= 2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi\slash 6} \times \sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\slash 4}=2\sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\slash 12}$.
Alors : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\left\vert z_1 \right\vert=\left\vert (1+\mathrm{i})z_0 \right\vert=\left\vert 1+\mathrm{i} \right\vert\times \left\vert z_0 \right\vert=2\sqrt{2}2\sqrt2 \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\right)$

\item $\arg\left(z_1\right)=\arg\left((1+\mathrm{i})z_0\right)=\arg(1+\mathrm{i})+\arg\left(z_0\right)=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{12}$.

Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{z_1=2\sqrt2 \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\right)}}$

\end{enumerate} 

\item Des deux questions précédentes, on obtient que
\[1+\sqrt3 + \mathrm{i}(\sqrt3-1)=2\sqrt2= 2\sqrt2 \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\right)
 \]
D'où, par identification des parties réelles : \[\boxed{\textcolor{red}{\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)= \dfrac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}}}\]
\end{enumerate}






\subsection{}%Antilles-Guyane septembre 2015
Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]40\,\% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d'orange ;
\item[$\bullet~~$]25\,\% des bouteilles de jus d'orange vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de \og pur jus \fg{} est notée $x$, où $x$ est un réel de l'intervalle [0~;~1].

Par ailleurs, 20\,\% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg.

On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants :

$R$ : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ;

$J$ : la bouteille prélevée est une bouteille de \og pur jus \fg.

\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}

\item On représente cette situation à l'aide d'un arbre pondéré:

\bigskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,nrot=:U,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$R$}\naput{0,4}}
	{\TR{$J$}\naput{0,25}
	\TR{$\overline{J}$}\nbput{\red $1-0,25=0,75$}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{R}$}\nbput{\red $1-0,4=0,6$}}
	{\TR{$J$}\naput{$x$}
	\TR{$\overline{J}$}\nbput{\red $1-x$}
	}
}
\end{center}

\bigskip

\item% Déterminer la valeur exacte de $x$.
On sait que 20\,\% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg{} donc 

$\boxed{\textcolor{red}{P(J) = 0,2}}$.

D'après la formule des probabilités totales:

$P(J) = P(R \cap J) + P\left(\overline R \cap J\right) 
= P(R)\times P_R(J) + P\left(\overline{R}\right)\times P_{\overline{R}}(J)
= 0,4\times 0,25 + 0,6\times x =\boxed{\textcolor{red}{ 0,1 + 0,6x}}$ 

$\left. 
\begin{array}{@{} l !{=} l}
P(J) & 0,2\\
P(J) & 0,1 + 0,6x
\end{array}
\right\rbrace 
\implies
0,2 = 0,1+ 0,6x 
\iff 
\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{1}{6}}}$

\item Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de \og pur jus \fg.

C'est une bouteille de jus d'orange avec la probabilité $P_J(R) = \dfrac{P(R \cap J)}{P(J)} = \dfrac{0,1}{0,2}= \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

Afin d'avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des $500$ dernières bouteilles de jus de fruits vendues.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de \og pur jus \fg{} dans ce lot.

On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces $500$ bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. On en donnera les paramètres.
On prend au hasard une bouteille dans un lot de 500; il n'y a que deux issues possibles: elle est \og pur jus\fg{} avec une probabilité égale à $p=0,2$ ou elle ne l'est pas avec la probabilité $1 - p = 0,8$.

On répète de façon indépendante 500 fois cette épreuve donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de bouteilles \og pur jus\fg{} suit la \textcolor{red}{\textbf{loi binomiale de paramètres} $\mathbf{n=500}$\textbf{ et }$\mathbf{p=0,2}$}.

\item% Déterminer la probabilité pour qu'au moins 75 bouteilles de cet échantillon de $500$ bouteilles soient de \og pur jus \fg. On arrondira le résultat au millième.
On cherche $P(X\geqslant  75)$ qui est égal à $1 - P(X\leqslant  74)$.

\`A la calculatrice on trouve $P(X\leqslant  74)\approx \numprint{0,0016}$ ce qui donne
 $\boxed{\textcolor{red}{0,998}}$ pour la probabilité cherchée.


\item %Quelle est l'espérance de $X$?
L'espérance d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ est $E(X)=np$, donc, ici, $E(X)=500\times 0,2=100$ ; $\boxed{\textcolor{red}{E(X)=100}}$.

%Que peut-on en déduire ?
Cela signifie que sur un grand nombre de lots de 500 bouteilles, en moyenne 100 d'entre elles sont \og{}pur jus\fg{}
\end{enumerate}




%\newpage


\subsection{}%Antilles-Guyane juin 2016

On admet que la section du cube par le plan $\mathcal{P}$ représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, et $N$ appartiennent respectivement aux arêtes $[AB]$, $[BC]$, $[CG]$, $[GH]$, $[HE]$ et $[AE]$.

\begin{multicols}{2}
$ABCDEFGH$ est un cube d'arête égale à~1.\\
L'espace est muni du repère orthonormé $(D~;\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DH})$.

\smallskip

Dans ce repère, on a:\\
$D(0~;~0~;~0)$, $C(1~;~0~;~0)$, $A(0~;~1~;~0)$,\\
$H(0~;~0~;~1)$ et $E(0~;~1~;~1)$.\index{géométrie dans l'espace}

\smallskip

Soit $I$ le milieu de $[AB]$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(5.1,5.1)
\psset{PointSymbol=*}
\pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=-90](3,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=180](0,3){G}
\pstGeonode[PosAngle=-135](3,3){F}
\pstGeonode[PosAngle=180](1.2,1){D}
\pstTranslation[PosAngle=10]{C}{D}{B}[A]
\pstTranslation[PosAngle=90]{C}{D}{G}[H]
\pstTranslation[PosAngle=90]{C}{D}{F}[E]
\pstMiddleAB[PosAngle=-100]{C}{B}{J}
\pstMiddleAB{A}{B}{I}
\pstMiddleAB[PosAngle=10]{A}{E}{N}
\pstMiddleAB[PosAngle=90]{E}{H}{M}
\pstMiddleAB[PosAngle=135]{H}{G}{L}
\pstMiddleAB[PosAngle=180]{G}{C}{K}
\pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=lightgray](L)(M)(N)(I)(J)(K)(L)
\psline(C)(B)(A)(E)(H)(G)(C)
\psline(G)(F)(E)(F)(B)
\psline[linestyle=dashed](C)(D)(A)(D)(H)
\psline(K)(J)
\psline(I)(N)
\psline(L)(M)
\psline[linestyle=dashed](L)(K)
\psline[linestyle=dashed](M)(N)
\psline[linestyle=dashed](J)(I)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
Soit $\mathcal{P}$ le plan parallèle au plan $(BGE)$ et passant par le point $I$.

\smallskip

On admet que la section du cube par le plan $\mathcal{P}$ représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, et $N$ appartiennent respectivement aux arêtes $[AB]$, $[BC]$, $[CG]$, $[GH]$, $[HE]$ et $[AE]$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On a $\overrightarrow{DF}\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}
0\\-1\\1
\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix}
-1\\0\\1
\end{pmatrix}$. Par conséquent:
\[
\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{BG}=1\times 0+1\times(-1)+1\times 1=0\quad\text{ et }\quad
\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{BE}=1\times(-1)+1\times 0+1\times 1=0.
\]
On en déduit que \[(DF)\perp(BG)\quad\text{ et }\quad(DF)\perp(BE).\]
La droite $(DF)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(BGE)$, elle est donc orthogonale à ce plan, et le vecteur $\overrightarrow{DF}$ est donc un vecteur \textbf{\textcolor{red}{normal}} au plan $(BGE)$.

\item Les plans $\mathcal{P}$ et $(BGE)$ sont parallèles, le vecteur $\overrightarrow{DF}\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}$ est donc également un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$. Ce dernier a donc une équation cartésienne du type:
\[
x+y+z+d=0
\]
où $d$ est un réel à déterminer. Le plan $\mathcal{P}$ passe par le point $I\left(\frac12~;~1~;~0\right)$, donc
\[
\frac12+1+0+d=0\Longleftrightarrow d=-\frac32.
\]
Une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est donc $\boxed{\textcolor{red}{x+y+z-\frac32=0}}$.
\end{enumerate}

\item Les plans $\mathcal{P}$ et $(BGE)$ sont parallèles. Leurs intersections respectives avec le plan $(ABE)$ sont donc deux droites parallèles.

L'une de ces droites est $(IN)$, l'autre est $(BE)$. Ainsi dans le triangle $ABE$ les droites $(IN)$ et $(BE)$ sont parallèles et $I$ est le milieu de $[AB]$, donc d'après le théorème \og de la droite des milieux\fg{} le point $N$ est le milieu de $[AE]$.

\item 
\begin{enumerate}
\item
La droite $(HB)$ passe par le point $H(0~;~0~;~1)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{HB}\begin{pmatrix}
1\\1\\-1
\end{pmatrix}$, une représentation paramétrique de cette droite est donc:
\[
\boxed{\textcolor{red}{\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&t\\
y&=&t\qquad(t\in\mathbb{R})\\
z&=&1-t
\end{array}
\right..
}}\]

\item Les  vecteurs $\overrightarrow{HG}$ et $\overrightarrow{DF}$ ne sont pas orthogonaux, la droite $(HG)$ est le plan $\mathcal{P}$ sont donc sécants en un unique point $T$. Comme $T\in(HG)$, il existe un réel $t$ tel que $T(t~;~t~;~1-t)$. Alors:
\[
T\in\mathcal{P}\Longleftrightarrow t+t+1-t-\frac32=0\Longleftrightarrow t=\frac12,
\]
les coordonnées de $T$ sont donc $\boxed{\textcolor{red}{T\left(\frac12~;~\frac12~;~\frac12\right)}}$.
\end{enumerate}

\item Le tétraèdre $FBGE$
\begin{itemize}
\item a pour base le triangle $FBG$ qui est rectangle isocèle en $F$ et a pour aire $\mathcal{B}=\frac12\times FE\times FB=\frac12$;
\item pour hauteur $h=FE=1$.
\end{itemize}
Le volume $\mathcal{V}$ du tétraèdre $FBGE$ est donc
\[
\mathcal{V}=\frac13\mathcal{B}\times h=\frac13\times\frac12\times 1=\boxed{\textcolor{red}{\frac16}}.
\]
\end{enumerate}


%\newpage


\subsection{}%Polynésie juin 2016
\textbf{Partie A}

Voici deux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ qui donnent pour deux personnes $P_1$ et $P_2$ de corpulences différentes la concentration $C$ d'alcool dans le sang (taux d'alcoolémie) en fonction du temps $t$ après ingestion de la même quantité d'alcool. L'instant $t = 0$ correspond au moment où les
deux individus ingèrent l'alcool.

$C$ est exprimée en gramme par litre et $t$ en heure.

\emph{Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps}

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.5)(6.5,1.75)
\psaxes[linewidth=.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(6.5,1.75)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{2 x mul 2.71828 x exp div}
\uput[u](1.5,1){$\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{3 x mul 2.71828 x exp div}\uput[u](1.5,0.65){\blue $\mathcal{C}_2$}
\uput[u](6.25,0){$t$}\uput[r](0,1.65){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %La fonction $C$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $C'$ sa fonction dérivée. À
%un instant $t$ positif ou nul, la vitesse d'apparition d'alcool dans le sang est donnée
%par $C'(t)$.

%À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?


La vitesse est visiblement maximale pour $\boxed{\textcolor{red}{t=0}}$ car c'est la tangente aux courbes en $O(0~;~0)$ qui semble avoir le coefficient directeur le plus élevé parmi toutes les tangentes.


%\emph{On dit souvent qu'une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l'alcool.}
\item %Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus
%corpulente. Justifier le choix effectué.


La courbe $\mathcal{C}_1$ montre que le taux d'alcoolémie de $P_1$ admet un maximum plus élevé que pour $P_2$.

On en déduit que la personne la moins corpulente est $\boxed{\textcolor{red}{P_1}}$


\item %Une personne à jeûn absorbe de l'alcool. On admet que la concentration $C$ d'alcool
%dans son sang peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par
%\[f(t) = A t\text{e}^{-t}\]
%
%où $A$ est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d'alcool
%absorbée.
	\begin{enumerate}
		\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(0)$.
		
		
		
		\underline{\blue Première méthode} (longue mais utilisable dans la partie B):
		
		$f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$.
		
		$f=uv \Longrightarrow f'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}
		u(t)=At\\v(t)=\text{e}^{-t}
		\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
				u'(t)=A\\v'(t)=-\text{e}^{-t}
				\end{cases}$		
		
		$\forall t \in [0~;~+\infty[~,~f'(t)=A(1-t)\text{e}^{-t}$ et $\boxed{\textcolor{red}{f'(0)=A}}$
		
		\vspace{1cm}
		\underline{\blue Deuxième méthode} (peut-être un peu plus astucieuse ?):
		
		$\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f'(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}A\text{e}^{-h}=A$ (limite finie)
		
		On en déduit que $f$ est dérivable en 0 et $\boxed{\textcolor{red}{f'(0)=A}}$.
		
		
		\item %L'affirmation suivante est-elle vraie ?
		
%\og À quantité d'alcool absorbée égale, plus $A$ est grand, plus la personne est corpulente. \fg


L'affirmation est FAUSSE 

si $A_1>A_2$ alors $A_1t\text{e}^{-t}>A_2t\text{e}^{-t}$ car $t\text{e}^{-t}>0$ sur $[0~;~+\infty[$

On en déduit que la courbe associée à $A_1$ est \textbf{au dessus} de celle associée à $A_2$ donc la personne associée à $A_1$ est de plus faible corpulence que la personne associée à $A_2$ 


	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Un cas particulier}

\medskip

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de
rhum. La concentration $C$ d'alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé
en heure, par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(t) = 2 t\text{e}^{-t}.\]

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.


On a vu dans la partie précédente que $\forall t \in [0~;~+\infty[~,~f'(t)=A(1-t)\text{e}^{-t}$ or $A\text{e}^{-t}>0$

donc $f'(t)$ est du signe de $1-t$, on peut donc déterminer les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$


%$$\tabvar{%
%\tx{t}&\tx{0}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
%\tx{f'(t)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
%\tx{f(t)}&\txb{0}&\fm&\txh{\dfrac{2}{\text{e}}}&\fd&\txb{}\cr
%}$$
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,3)
%\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
%\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$1$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} 
%\uput[u](0.5,1.9){$f'(t)$} \uput[u](2.5,1.9){$+$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$-$}
%\rput(0.5,1){$f(t)$} \uput[u](1.1,0){0} \uput[d](4,2){$\frac{2}{\text{e}}$}
%\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&1&&\pI\\
\hline
f'(t)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(t)}&0&\c&\h{\dfrac{2}{\mathrm{e}}}&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %À quel instant la concentration d'alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle
%est alors sa valeur? Arrondir à $10^{-2}$ près.



La concentration d'alcool dans le sang de Paul est maximale 1h après l'absorption.

Elle est alors d'environ 0,74 $g.l^{-1}$


\item %Rappeler la limite de $\dfrac{\text{e}^t}{t}$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et en déduire celle de $f(t)$ en $+ \infty$.

%Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.


$\lim_{t\rightarrow +\infty}\dfrac{\text{e}^{t}}{t}~=~+\infty$

$\lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)~=~\lim_{t\rightarrow +\infty}\left(2 \times \dfrac{t}{\text{e}^{t}}\right)~=~\lim_{t\rightarrow +\infty}2 \times \dfrac{1}{\left( \dfrac{\text{e}^{t}}{t}\right)} ~=~\boxed{\textcolor{red}{0}}$ par quotient


On en déduit que l'alcool finit par s'éliminer \textbf{\textcolor{red}{totalement}}.


\item %Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle
%que la législation autorise une concentration maximale d'alcool dans le sang de $0,2$~g.L$^{-1}$ pour un jeune conducteur.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer qu'il existe deux nombres réels $t_1$ et $t_2$ tels que 
		
%$f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2$.


$f$ est continue et strictement croissante sur $[0~,~1]$ à valeurs dans $\left[0~;~\dfrac{2}{\text{e}} \right]$ 

or $0,2 \in \left[0~;~\dfrac{2}{\text{e}} \right]$  donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, 

l'équation $f(t)=0,2$ admet une unique solution $t_1$ sur $[0~,~1]$

de même, $f$ est continue et strictement décroissante sur $[1~,~+\infty[$ à valeurs dans $\left]0~;~\dfrac{2}{\text{e}} \right]$ 

or $0,2 \in \left]0~;~\dfrac{2}{\text{e}} \right]$  donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires,

l'équation $f(t)=0,2$ admet une unique solution $t_2$ sur $[1~,~+\infty[$


		\item %Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant
%en toute légalité ?
		
%Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.


Par balayage, on obtient $\boxed{\textcolor{red}{t_1\approx 0,112}} $ et $\boxed{\textcolor{red}{t_2\approx 3,577}}$

donc \textbf{\textcolor{red}{Paul doit attendre au minimum 3 heures et 35 minutes}} avant de reprendre le volant.



	\end{enumerate}
\item %%La concentration minimale d'alcool détectable dans le sang est estimée à 
	
%$5 \times 10^{-3}$~g.L$^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier qu'il existe un instant $T$ à partir duquel la concentration d'alcool dans le
%sang n'est plus détectable.


On sait que $\lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)~=~0$ donc par définition de la limite, pour tout $\epsilon >0$ il existe $T \in\mathbb{R}$ tel que pour tout $t >T~,~f(t)\in ]-\epsilon~;~\epsilon[$

ici on pose $\epsilon =5 \times 10^{-3}$

Donc il existe un instant $T$ à partir duquel l'alcool n'est plus détectable dans le sang


		\item %On donne l'algorithme suivant où $f$ est la fonction définie par 
%		
%$f(t) = 2 t\text{e}^{-t}$.
%		
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline
%\textbf{Initialisation} :	& $t$ prend la valeur $3,5$\\
%							&$p$ prend la valeur $0,25$\\
%							&$C$ prend la valeur $0,21$\\
%\textbf{Traitement} :		& Tant que $C > 5 \times 10^{-3}$ faire :\\
%							&\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
%								$t$ prend la valeur $t + p$\\
%								$C$ prend la valeur $f(t)$
%							\end{tabular}\\
%							&Fin Tant que\\
%\textbf{Sortie}:			&Afficher $t$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
		
%Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme.
		
%Arrondir les valeurs à $10^{-2}$ près.


\textbf{Algorithme complété }:
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
	&Initialisation &Étape 1& Étape 2\\ \hline
$p$	&0,25		&	0,25		& 0,25\\ \hline
$t$	&3,5		&	3,75		&4\\ \hline
$C$	&0,21		&	0,18		&0,15\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}



%Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?



La valeur affichée par l'algorithme est le temps nécessaire, en heure, pour que l'alcool ne soit plus détectable dans le sang.

\vspace{0.5cm}
Si on poursuit l'algorithme jusqu'à son terme, on obtient $8,25$ à l'affichage donc il faut \textbf{\textcolor{red}{8~h et 15~minutes}} pour que l'alcool ne soit plus détectable dans le sang



	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  