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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Devoir sur feuille \no 2}}\end{center}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item Soit l'équation $3x^2-5x-1=0$

\noindent Le discriminant est $\Delta=37>0$. L'équation a deux solutions :

\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{5-\sqrt{37}}{6}~;~\dfrac{5+\sqrt{37}}{6}\right\}}}$
\end{center}
\medskip

\item Soit l'équation $x^4+4x^2-21=0$.

\noindent On pose $X=x^2$ donc \\
$x^4+4x^2-21=0
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}X=x^2\\X^2+4X-21=0\end{array}\right.$

\noindent Le discriminant de cette équation d'inconnue $X$ est \\
$\Delta=100>0$. 

\noindent Elle a deux solutions réelles : $X_1=\dfrac{-4-10}{2}=-7$ et \\
$X_2=\dfrac{-4+10}{2}=3$.

\noindent Or $X=x^2$, donc on résout les équations $x^2=X_1$ et $x^2=X_2$.

\noindent $x^2=X_1=-7$ n'as pas de solution ; $x^2=X_2=3$ a deux solutions, $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$.

\noindent L'ensemble des solutions est donc \[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\sqrt{3}~;~\sqrt{3}\right\}}}.\]
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer un nombre entier  $n$, racine du polynôme $x^3-150x+500$. (On pourra utiliser une calculatrice)
On trouve à la calculatrice qu'une racine du polynôme $x^3-150x+500$ est 10. (donc $n=10$)

\item %Montrer que pour tout réel $x$, \[x^3-150x+500=(x-n)\left(ax^2+bx+c\right)\] où $a$, $b$ et $c$ sont des réels à déterminer.
On cherche $a$, $b$ et $c$ tels que \[x^3-150x+500=(x-10)\left(ax^2+bx+c\right).\]

$(x-10)\left(ax^2+bx+c\right)=ax^3+(b-10a)x^2+(c-10b)x-10c$.

Par identification des coefficients, on obtient le système : $\begin{cases}a=1\\b-10a=0\\c-10b=-150\\-10c=500\end{cases}$.

On en déduit $a=1$, $b=10$, $c=-50$ et $c=-50$.

On en déduit : $x^3-150x+500=(x-10)\left(x^2+10x-50\right)$

\item %En déduire les solutions de l'équation  \[x^3-150x+500=0.\]
$x^3-150x+500=0\Leftrightarrow (x-10)\left(x^2+10x-50\right)=0$.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x-10=0\Leftrightarrow x=10$

\item $x^2+10x-50=0$ ; $\Delta=300>0$ ; il y a deux solutions : 

$x_2=\dfrac{-10-\sqrt{300}}{2}=-5-5\sqrt{3}=-5\left(1+\sqrt{3}\right)$ et \\
$x_3=-5\left(1-\sqrt{3}\right)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est \[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{10~;~-5\left(1+\sqrt{3}\right)-5\left(1-\sqrt{3}\right)\right\}}}.\]

\subsection{}
Résoudre soigneusement l'inéquation $\dfrac{2x+5}{x-5}\leqslant \dfrac{3x-1}{3x+1}$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{1}{3}~;~5\right\}$

\item Pour $x\in\mathscr{D}$, $\dfrac{2x+5}{x-5}\leqslant \dfrac{3x-1}{3x+1}\Leftrightarrow \dfrac{2x+5}{x-5}-\dfrac{3x-1}{3x+1}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{(2x+5)(3x+1)-(3x-1)(x-5)}{(x-5)(3x+1)}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{\left(6x^2+2x+15x+5\right)-\left(3x^2-15x-x+5\right)}{(x-5)(3x+1)}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{6x^2+17x+5-3x^2+16x-5}{(x-5)(3x+1)}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{3x^2+33x}{(x-5)(3x+1)}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{3x(x+11)}{(x-5)(3x+1)}\leqslant 0$.

On étudie le signe de chaque facteur et l'on renseigne un tableau de signes.

$3x=0\Leftrightarrow x=0$\\
$x+11=0\Leftrightarrow x=-11$

On sait qu'un polynôme du second degré qui a deux racines est du signe du coefficient de $x^2$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.

\textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes}} : 

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-11&&-\dfrac{1}{3}&&0&&5&&\pI\\
\hline
3x(x+11)&&+&\z&-&\bb&-&\z&+&\bb&+&\\
\hline
(x-5)(3x+1)&&+&\l&+&\bb&-&\l&-&\bb&+&\\
\hline
\dfrac{3x(x+11)}{(x-5)(3x+1)}&&+&\z&-&\bb&+&\z&-&\bb&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[-11~;~-\dfrac{1}{3}\right[\cup[0~;~5[}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
%http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermS/ctrle_2012_2013/02_ctrle_recurrencel_limite_suites_18_10_2012.pdf
On donne la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ , par : $\left\{\begin{array}{l}t _0 = 0\\t_{ n + 1} = t_ n + \dfrac{1}{ ( n + 1)( n + 2)}\end{array}\right.$.

%\noindent Démontrer par récurrence que, pour tout naturel $n$ , on a : \[t_n=\dfrac{n}{n+1}.\]
Soit $P(n)$ : $\forall n \in \mathbb{N},~t_ n =\dfrac{ n}{ n + 1}$.

\textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $t_0 = 0$ et $\dfrac{0}{0+ 1} = 0$. $P (0)$ est vraie

\textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : On suppose que $t_ n =\dfrac{n}{ n+ 1}$ ; montrons alors que $t_{ n+ 1} =\dfrac{ n+ 1}{ n+ 2}$.

D’après l’hypothèse de récurrence : 

$t_{ n+ 1}=t_n+\dfrac{1}{ (n+ 1)(n+ 2)} = \dfrac{n}{ n+ 1}+ \dfrac{1}{ (n+ 1)(n+ 2)}\\
 =\dfrac{ n (n+ 2)+ 1}{ (n+ 1)(n+ 2)} =\dfrac{ n^ 2+ 2 n+ 1}{ (n+ 1)(n+ 2)}=\dfrac{ (n+ 1)^2}{ (n+ 1)(n+ 2)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{ n+ 1}{ n+ 2}}}$

 La proposition $P(n)$ est héréditaire.
 
\bigskip

 D'après l'axiome de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
 
\subsection{}%Bac ES Polynésie septembre 2009
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
%On réalise une expérience aléatoire. $A$ désigne un évènement et $\overline{A}$ son évènement contraire.
%
%On pose $p(A) = x$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Exprimer $p\left(\overline{A}\right)$ en fonction de $x$.
$p\left(\overline{A}\right) = 1 - x$. 
\item  %Déterminer les valeurs possibles de $x$ sachant que : $p(A) \times  p\left(\overline{A}\right) = 0,24$.
On a donc $x (1 - x) = 0,24 \iff x - x^2 = 0,24 \\
\iff x^2 - x + 0,24 = 0$.

$\Delta = 1 - 4 \times 0,24 = 1 - 0,96 = 0,04 = 0,2^2$. Il y donc deux solutions :

$x_1 = \dfrac{1 + 0,2}{2} = 0,6$ et $x_2 =   \dfrac{1 - 0,2}{2} = 0,4$.
\end{enumerate} 
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip
 
%La \og  Revue Spéciale d'Économie \fg{} et le \og Guide des Placements en Bourse \fg{} sont deux magazines mensuels offrant à leurs lecteurs la possibilité d'abonnement communs. 
%
%On s'intéresse à l'ensemble des lecteurs de l'une ou l'autre de ces deux revues.
% 
%Parmi ces lecteurs, certains sont abonnés. Les abonnés ont souscrit soit l'un des deux abonnements, soit les deux abonnements simultanément.
% 
%Une étude a permis de constater que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 60\:\% de l'ensemble des lecteurs ont souscrit un abonnement à la « Revue Spéciale d'Économie \fg, et parmi eux $\dfrac{3}{5}$ ont aussi choisi l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg{} ; 
%\item 10\:\% des lecteurs n'ayant pas choisi l'abonnement à la \og Revue Spéciale d'Économie \fg, ont souscrit l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On note :
% 
%$A$ l'évènement : \og le lecteur a choisi l'abonnement à la "Revue Spéciale d'Économie"~\fg{} ;
% 
%$B$ l'évènement : \og le lecteur a choisi l'abonnement au "Guide des Placements en Bourse"  \fg.
%
%\medskip
% 
%On interroge un lecteur au hasard.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déduire de l'énoncé les probabilités $p(A),\:p\left(\overline{A}\right)$ et $p_{\overline{A}}(B)$.
$p(A) = 0,6 : \: p\left(\overline{A}\right) = 1 - 0,6 = 0,4$ et $p_{\overline{A}}(B) = \frac{3}{5} = 0,6$.
%Reproduire et compléter l'arbre suivant : 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}\taput{0,6}}
	{\TR{$B$}\taput{$0,6$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{$0,4$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{$0,4$}}
	{\TR{$B$}\taput{0,1}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,9}
	}
}
\end{center}

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Traduire par une phrase l'évènement $A \cap B$. Donner sa probabilité.
\og le lecteur a choisi l'abonnement à la "Revue Spéciale d'Économie" et au "Guide des Placements en Bourse" \fg.

$p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B) = 0,6 \times 0,6 =\boxed{\textcolor{red}{ 0,36}}$.
		\item %Traduire par une phrase l'évènement $\overline{A} \cap \overline{B}$. Donner sa probabilité.
		\og le lecteur n'a pas choisi l'abonnement à la "Revue Spéciale d'Économie" et n'a pas choisi l'abonnement au "Guide des Placements en Bourse" \fg.
		
$p\left(\overline{A} \cap \overline{B} \right) = p\left(\overline{A} \right) \times p_{\overline{A}}\left( \overline{B}\right) = 0,4 \times 0,9 = \boxed{\textcolor{red}{0,36}}$.

	\end{enumerate}
\item %Calculer $p(B)$. En déduire la probabilité qu'un lecteur soit abonné à la \og Revue Spéciale d'Économie \fg{} sachant qu'il est abonné au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(B) = p(A \cap B) + p\left(\overline{A} \cap B \right)$

Or $p\left(\overline{A} \cap B \right) = p\left(\overline{A}\right) \times p_{\overline{A}}\left(B \right) = 0,4 \times 0,1 = 0,04$.

Donc $p(B) = 0,36 + 0,04 =\boxed{\textcolor{red}{ 0,4}}$.

$p_B(A) = \dfrac{p(B \cap A)}{p(B)} = \dfrac{0,36}{0,40} = \dfrac{36}{40} = \dfrac{9}{10} =\boxed{\textcolor{red}{ 0,9}}$.

\item %On interroge au hasard 3 lecteurs indépendamment les uns des autres. Calculer la probabilité pour qu'au moins l'un d'eux ait choisi l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = p(B) = 0,4$.

La probabilité qu'aucun des trois n'ait choisi l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg est égale à $(1 - 0,4)^3 = 0,6^3 = 0,216$, donc la probabilité pour qu'au moins l'un d'eux ait choisi l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg est égale à :

$1 - 0,216 = \boxed{\textcolor{red}{0,784}}$.
 
\end{enumerate} 
\subsection{}%Amérique du Nord juin 2005
\begin{enumerate}
\item $f$ est une fraction rationnelle, donc dérivable sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition, et:

\[f'(x)= \dfrac{2(x+1)-(2x+1)}{(x+1)^2} = \dfrac1{(x+1)^2}>0\]

Donc $f$ est croissante sur [0~;~2], et comme $f$ est continue l'image de [1;2] par $f$ est\\  $[f(1)~;~f(2)]=\left[\frac32~;~\frac53\right] \subset [1~;~2]$, ainsi:

\[\mbox{ si } x \in [1~;~2] \mbox{ alors } \boxed{\textcolor{red}{f(x) \in [1~;~2]}}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Voir le graphique.
		\item Soit $P_n$ la proposition de récurrence: $ 1 \leqslant v_{n} \leqslant 2$.
		
\emph{\textbf{\textcolor{red}{Initialisation}}} : comme $v_0 = 2$ alors $P_0$ est vraie.

\emph{\textbf{\textcolor{red}{Hérédité}}} : soit $n \in \mathbb{N}$ et supposons $P_n$ vraie, alors $ 1 \leqslant v_{n} \leqslant 2$, donc $ 1 \leqslant f(v_{n}) \leqslant 2$, d'après la relation démontrée à la question 1.

Ainsi si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie, mais $P_0$ est vraie, donc pour tout $n$, $P_n$ est vraie.

Ainsi pour tout entier naturel $n,~1 \leqslant v_{n} \leqslant 2$.

Soit $Q_n$ la proposition de récurrence : $v_{n+1} \leqslant  v_{n}$.

Or $v_1=f(v_0)=f(2)=\frac53$ donc $v_1 \leqslant v_0$. Donc $Q_0$ est vraie.

Supposons $Q_n$ vraie, alors $v_{n+1} \leqslant  v_{n}$, mais $v_n$ et $v_{n+1}$ sont deux nombres de [0~;~2], donc comme $f$ est croissante sur [0~;~2], alors :

\[f(v_{n+1}) \leqslant f(v_{n}) \iff v_{n+2} \leqslant v_{n+1}\]

Donc $Q_{n+1}$ est vraie.

Ainsi, si $Q_n$ est vraie alors $Q_{n+1}$ est vraie, mais $Q_0$ est vraie, donc pour tout $n$, $Q_n$ est vraie.

Ainsi pour tout entier naturel $n,~ v_{n+1} \leqslant v_{n}$.

On admettra que l'on peut démontrer de la même façon que :

Pour tout entier naturel $n,~ 1 \leqslant u_{n}\leqslant  u_{n+1} \leqslant 2$.
\item $\forall n\in\mathbb{N}$, 
$v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{2v_n+1}{v_n+1}-\frac{2u_n+1}{u_n+1}\\
=\frac{(2u_n+1)(v_n+1)-(2u_n+1)(v_n+1)}{(v_n+1)(u_n+1)}\\
=\frac{2u_nv_n+u_n+2v_n+1-2u_nv_n-2u_n-v_n-1}{(u_n+1)(v_n+1)}\\
=\frac{v_{n} - u_{n}}{\left(v_{n}+ 1 \right)\left(u_{n} + 1\right)}$.

Soit $R_n$ la relation de récurrence: $v_{n} - u_{n} \geqslant  0$\\
Or $v_0-u_0=2-=1$, donc $R_0$ est vraie.

Supposons $R_n$ vraie, alors $v_{n} - u_{n} \geqslant  0 $, mais:

\[v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{\overbrace{v_{n} - u_{n}}^{>0}}{\left(\underbrace{v_{n}+ 1}_{>0} \right)\left(\underbrace{u_{n} + 1}_{>0}\right)}.\]

Donc $v_{n+1}-u_{n+1}>0$.

Ainsi, si $R_n$ est vraie alors $R_{n+1}$ est vraie, mais $R_0$ est vraie, donc pour tout $n$, $R_n$ est vraie.

Ainsi pour tout entier naturel $v_{n} - u_{n} \geqslant  0$.

Comme $1 \leqslant u_n \leqslant 2$, alors $2\leqslant u_n + 1 \leqslant 3$ et \\
$\frac13 \leqslant \frac1{u_n+1} \leqslant \frac12$.

De même, $\frac13 \leqslant \frac1{v_n+1} \leqslant \frac12$.

Or  

\[v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{v_{n} - u_{n}}{\left(v_{n}+ 1 \right)\left(u_{n} + 1\right)}\Rightarrow v_{n+1}-u_{n+1} \leqslant \frac{v_n-u_n}4.\]

\item En procédant par récurrence, on démontre que pour tout entier naturel $n$: 

\[v_{n} - u_{n} \leqslant \left(\dfrac{1}{4}\right)^n(\underbrace{v_0-u_0}_{=1})\]

\item Comme la suite $(u_n)$ est croissante ($u_n \leqslant u_{n+1}$) et majorée par 2, alors \textbf{u est convergente}.

Comme la suite $(v_n)$ est décroissante ($v_n \geqslant v_{n+1}$) et minorée par 1, alors \textbf{v est convergente}.

Comme $-1 < \frac14 < 1$, alors $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\left(\frac14 \right) ^n=0$

et  comme pour tout entier naturel $n$, \\
$0 \leqslant  v_{n} - u_{n} \leqslant \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$,

alors d'après le théorème des gendarmes :

\[\lim_{n\to+\infty}v_n-u_n=0 \underbrace{\iff}_{u~et~v~ \text{convergent}} \lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}u_n.\]

Donc les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent vers le même réel $\alpha$.

Comme $f$ est continue, $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u$ converge vers $\alpha$, alors:
\begin{eqnarray*}
\alpha=f(\alpha) &\iff & \alpha =\frac{2\alpha+1}{\alpha+1}\\
& \iff & \alpha(\alpha+1)=2\alpha+1\\
& \iff &\alpha^2-\alpha-1=0\\
& \iff & \alpha = \frac{1 \pm \sqrt{5}}2 
\end{eqnarray*}
Or comme $1 \leqslant u_n \leqslant 2$, $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}2$. (nombre d'or)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\end{multicols}


\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2,2)
\psgrid[subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,gridlabelcolor=white](0,0)(2,2)
\psaxes[Dx=0.5,Dy=0.5,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(2.1,2)
\psplot{0}{2}{2 x mul 1 add x 1 add div}
\uput[u](1,1.5){$\mathscr{C}_f$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot{0}{2}{x}
\uput[ul](1,0){$u_0$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,linecolor=blue](1,0)(1,1.5)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,linecolor=blue](1,1.5)(1.5,1.5)
\uput[ul](1.5,0){$u_1$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,linecolor=blue](1.5,1.5)(1.5,1.6)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,linecolor=blue](1.5,1.6)(1.6,1.6)
\uput[ul](1.6,0){$u_2$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1,0)(1.5,0)(1.6,0)
\uput[ur](2,0){$v_0$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,linecolor=red](2,0)(2,1.67)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,linecolor=red](2,1.67)(1.67,1.67)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,linecolor=red](1.67,1.67)(1.67,1.625)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](2,0)(1.67,0)(1.625,0)
\uput[ur](1.67,0){$v_1$}\uput[ur](1.625,0){$v_2$}

\end{pspicture}

\end{center}

\end{multicols}  

\label{fin}
\end{document}  