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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{CORRECTION du TD \no 0}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre l'inéquation $3x^2+x-4\geqslant 0$.
$\Delta=b^2-4ac$ avec $\begin{cases}a=3\\b=1\\c=-4\end{cases}$ donc $\Delta=49>0$.

Le trinôme du second degré a donc deux racines : 

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-7}{6}=-\dfrac{4}{3}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+7}{6}=1$.

On sait que, si $\Delta>0$, $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ (coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et du signe de $-a$ entre les racines.

On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{4}{3}\right]\cup[1~;~+\infty[}}$ 

\subsection{}
Résoudre l'inéquation $2x^4+7x^2-15= 0$.

C'est une équation bicarrée ; on effectue un changement de variable en posant $X=x^2$.

L'équation équivaut à $\begin{cases}2x^4+7x^2-15= 0\\X=x^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2X^2+7X-15\\X=x^2\end{cases}$.

On résout l'équation du second degré, d'inconnue $X$ : $2X^2+7X-15=0$.

$\Delta=169=13^2>0$ ; l'équation a deux racines : $X_1=-5$ et $X_2=\dfrac{3}{2}$.

Or $X=x^2$.

Les solutions de l'équation initiale sont les solutions des équations $x^2=X_1=-5$ et $x^2=X_2=\dfrac{3}{2}$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $-5<0$ donc $x^2=-5$ n'a pas de solution réelle (c'est-à-dire  dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}$).

\item $x^2=\dfrac{3}{2}$ a deux solutions opposées : $-\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ et $\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions de l'équation est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\sqrt{\dfrac{3}{2}}~;~\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right\}}}$

\columnbreak

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ une suite de premier terme $u_0$.

%Quel est l'indice du cinquième terme ?
Le cinquième terme est $u_4$, car il y a cinq entiers entre 0 et 4 compris.

\subsection{}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_n=n^2+3n+1$.

%Calculer $u_1$, $u_2$, $u_n+1$, $u_{n+1}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=1^2+3\times 1+1=5$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_1=5}}$

\item $u_2=2^2+3\times 2+1=11$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_2=11}}$

\item $u_n+1=n^2+3n+1+1=\boxed{\textcolor{red}{n^2+3n+2}}$.

\item $u_{n+1}=(n+1)^2+3(n+1)+1=\boxed{\textcolor{red}{n^2+5n+5}}$\\
(il faut bien distinguer les écritures de $u_n+1$ et de $u_{n+1}$ ! les indices s'écrivent un interligne en dessous de la ligne principale)
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $\begin{cases}u_0=-5\\u_{n+1}=u_n+n+3\end{cases}$.

%Calculer $u_1$ puis $u_2$
On a : $u_{\textcolor{red}{n}+1}=u_{\textcolor{red}{n}}+\textcolor{red}{n}+3$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=u_{0+1}=u_0+0+3=-5+0+3=\boxed{\textcolor{red}{-2}}$

\item $u_2=u_{1+1}=u_1+1+3=-2+1+3=\boxed{\textcolor{red}{2}}$
\end{enumerate}



\subsection{}
\emph{On pourra utiliser la calculatrice pour certaines questions.}

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse (en justifiant !)

La suite $v$ est définie par $v_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=v_n+v_n^2$.
\begin{enumerate}[a)]
\item La suite $v$ est croissante.

\textbf{\textcolor{red}{Vrai}} puisque, pour tout $n$, $v_{n+1}-v_n=v_n^2\geqslant 0$.

\item $v_n\geqslant 1$ à partir du rang 12.\\
\textbf{\textcolor{red}{Vrai}}, car $u_{12}\approx 1,96$ et la suite est croissante.

\item Il existe un rang $n$ tel que $v_n\geqslant 10^{10}$.

\textbf{\textcolor{red}{Vrai}} : $u_{17}\approx 6,98\times 10^{12}$

\item Pour tout entier naturel $n$, $v_n\leqslant 10^{50}$.

\textbf{\textcolor{red}{Faux}} : $u_{19}\approx 2,37\times 10^{51}$

\item La suite $v$ a pour limite $10^{50}$.
\textbf{\textcolor{red}{Faux}} : pour $n\geqslant 19$, $u_n>10^{50}$ donc la limite éventuelle ne peut être $10^{50}$ ; cette suite a d'ailleurs une limite infinie.

\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  