\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle sur les probabilités conditionnelles et loi binomiale\\(2 heures)}}\end{center}


%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Belin symbole \no 18 page 369
Dans une population donnée, on étudie des caractères génétiques de deux sortes, $\mathscr{A}$ et $\mathscr{B}$.

On choisit au hasard une personne dans la population. On note $A$ l'événement \og{}la personne possède le caractère $\mathscr{A}$\fg{} et $B$ l'événement \og{}la personne possède le caractère $\mathscr{B}$\fg{}.

Claire a construit l'arbre suivant :

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $0,6$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{ $\cdots$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A}$}\tbput{ $\cdots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $0,7$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{ $\cdots$}}}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Traduire à l'aide des événements $A$ et $B$ les données de l'arbre.

\item 
\begin{enumerate}
\item Trouver $p(B)$ et $p\left(\overline{B}\right)$

\item Quelle est la probabilité qu'une personne ne possède pas le  caractère $\mathscr{B}$ sachant qu'elle possède le caractère $\mathscr{A}$ ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux}}%Belin symbole age 369
\emph{On justifiera chaque réponse.}
\begin{enumerate}[a) ]
\item Si $p(A)=0,3$ et $p(B)=0,7$, alors $B=\overline{A}$

\item Si $p(A)=0,2$ et $p(B)=0,6$, alors $p(A\cap B)=0,12$

\item Si $p(A)=0,2$ et $p_A(B)=0,3$, alors $p(A\cap B)=0,06$

\item On suppose que $p(A)=0,2$, que $p_A(B)=0,3$ et que $p_{\overline{A}}(B)=0,8$, alors $p(B)=0,7$

\item On suppose que $p(A)=0,2$, que $p_A(B)=0,3$ et que $p(B)=0,8$, alors $p(A\cup B)=0,94$.
\end{enumerate}





%\subsection{}%Indice \no  8 page 206
%\begin{enumerate}
%\item Une classe est composée de 20 filles dont 12 étudient le russe et de 15 garçons dont 8 étudient le russe.\\
%On choisit un élève au hasard.\\
%Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants : \\
%$F$ : \og l'élève est une fille ?\fg\\
%$R$ : l'élève étudie le russe ?\fg\\
%$A$ : \og l'élève est une fille étudiant le russe\fg ?
%
%$F$ et $R$ sont-ils indépendants ?
%
%\item Mêmes questions en supposant cette fois que 9 garçons sur les 15 étudient le russe.
%\end{enumerate}
%
%\subsection{}% \no  19
%On suppose que la probabilité de naissance est la même pour les deux sexes.\\
%On considère l'ensemble des familles de deux enfants. (on suppose qu'il n'y a pas de jumeaux)\\
%On choisit une famille au hasard.\\
%Calculer la probabilité des événements suivants : \\
%$A$ : \og la famille a deux garçons \fg ;\\
%$B$ \og l'aîné est un garçon \fg ;\\
%$C$ : \og la famille a au moins un garçon\fg ;\\
%$D$ : \og le plus jeune enfant est une fille\fg.\\
%Calculer $p_B(A)$ : $p_C(A)$ ; $p_D(A)$ et $p_A(C)$.

%\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou faux}}%\no  71
%Une pisciculture dispose de deux bassins $B_1$ et $B_2$ qui contiennent chacun des turbots et des soles.\\
%$B_1$ contient 10 poissons et $B_2$ contient 12 poissons.\\
%Le nombre total de soles est 8.\\
%On choisit au hasard un bassin et on extrait un poisson au hasard.\\
%Compte tenu des informations données, dire si les affirmations qui suivent sont vraies ou fausses. (aucune justification n'est demandée)
%\begin{enumerate}
%\item Si la probabilité d'obtenir une sole provenant de $B_1$ est $\dfrac{1}{5}$, alors $B_1$ contient 2 soles.
%
%\item Si la probabilité d'obtenir un turbot provenant de $B_2$ est $\dfrac{1}{3}$, alors $B_2$ contient  8 turbots.
%
%\item Si la probabilité d'obtenir une sole sachant qu'elle provient de $B_2$ est $\dfrac{1}{3}$, alors $B_2$ contient 4 soles.
%
%\item La probabilité d'obtenir un turbot est $\dfrac{7}{11}$.
%
%\item Si $B_1$ contient 4 soles, alors la probabilité d'obtenir une sole est $\dfrac{11}{30}$.
%\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}%https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermS/ctrle_2016_2017/10_ctrle_14_03_2017.pdf
%Corrigé : https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermS/ctrle_2016_2017/10_ctrle_14_03_2017_correction.pdf


Les valeurs approchées des résultats seront données à $10^{-4}$ près.

Un fabricant d’ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit 65\:\% de la production, et la machine B fournit le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item   à la sortie de la machine A : 8\:\% des ampoules présentent un défaut ;

\item  à la sortie de la machine B : 5\:\% des ampoules présentent un défaut. 
\end{enumerate}

On définit les événements suivants : \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  A : \og{}l’ampoule provient de la machine A\fg{}

\item B : \og{}l’ampoule provient de la machine B\fg{}

\item D : \og{}l’ampoule présente un défaut\fg{}. 
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d’une journée. 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré représentant la situation.

\item Calculer la probabilité de tirer une ampoule sans défaut qui provienne de la machine B.

\item Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à \numprint{0,9305}.

\item L’ampoule tirée est sans défaut. Calculer la probabilité qu’elle provienne de la machine A. 
\end{enumerate}


\item On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d’une journée à la sortie de la machine A. La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On appelle $X$ la variable aléatoire qui associe le nombre d’ampoules sans défaut issues du prélèvement. 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi que suit $X$ . On se justifiera. 

\item Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 7 ampoules sans défaut.

\item Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 9 ampoules sans défaut.

\item Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 2 ampoules présentant un défaut. 

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}

\subsection{\textcolor{blue}{Jus de fruit}}%Antilles-Guyane septembre 2015

Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d’un mois. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 40\:\% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d’orange ;

\item 25\:\% des bouteilles de jus d’orange vendues possèdent l’appellation \og{}pur jus\fg{}.
\end{enumerate}

Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d’orange, la proportion des bouteilles de \og{}pur jus\fg{} est notée $x$, où $x$ est un réel de l’intervalle [0~;~1].

Par ailleurs, 20\:\% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l’appellation \og{}pur jus\fg{}.

On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse.

On définit les événements suivants : 

R : \og{}la bouteille prélevée est une bouteille de jus d’orange\fg{} ; 

J : \og{}la bouteille prélevée est une bouteille de \og{}pur jus\fg{} \fg{}. 

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A}}
\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.

\item Déterminer la valeur exacte de $x$.

\item Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de \og{}pur jus\fg{}.

Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d’orange. 
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B}}

Afin d’avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des 500 dernières bouteilles de jus de fruits vendues. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de \og{}pur jus\fg{} dans ce lot. On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces 500 bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. On se justifiera et on donnera les paramètres de cette loi.

\item Déterminer la probabilité pour qu’au moins 75 bouteilles de cet échantillon de 500 bouteilles soient de \og{}pur jus\fg{}. On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}

%\end{multicols}

%\subsection{\textcolor{blue}{Bac S Polynésie septembre 2011}}
%Les $300$ personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] \og À quel niveau est votre bureau ? \fg 
%\item[$\bullet~~$] \og Empruntez-vous l'ascenseur ou l'escalier pour vous y rendre ? \fg 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Voici les réponses :
% 
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 225 personnes utilisent l'ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1\up{er} niveau, 75 vont au 2\up{e} niveau et 100 vont au 3\up{e} niveau. 
%\item[$\bullet~~$]Les autres personnes utilisent l'escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2\up{e} niveau, les autres vont au 1\up{er} niveau.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On choisit au hasard une personne de cette population.
% 
%On pourra considérer les évènements suivants :
% 
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item N$_{1}$ : \og La personne va au premier niveau. \fg 
%\item N$_{2}$ : \og La personne va au deuxième niveau. \fg 
%\item N$_{3}$ : \og La personne va au troisième niveau. \fg
%\item E\phantom{$_{1}$} : \og La personne emprunte l'escalier. \fg
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%\begin{enumerate}
%\item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. 
%\item  
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que la probabilité que la personne aille au 2\up{e} niveau par l'escalier est  
%\'egale \`a $\dfrac{1}{12}$.  
%		\item Montrer que les évènements N$_{1}$, N$_{2}$ et N$_{3}$ sont équiprobables. 
%		\item Déterminer la probabilité que la personne emprunte l'escalier sachant qu'elle va au 2\up{e} niveau.
%	\end{enumerate} 
%\item On interroge désormais 20~personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
% 
%On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux 20~personnes interrogées, associe le nombre de 
%personnes allant au 2\up{e}	niveau. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
%		\item Déterminer, à $10^{-4}$ près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2\up{e} niveau. 
%		\item En moyenne sur les 20~personnes, combien vont au 2\up{e} niveau?
%	\end{enumerate}
%\item Soit $n$ un entier inférieur ou égal à $300$. On interroge désormais $n$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
% 
%Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l'évènement \og au moins un personne va au 2\up{e} niveau \fg soit supérieure ou égale à $0,99$. 
%\end{enumerate}

%\subsection{}%http://www.lyc-cassin-gonesse.ac-versailles.fr/IMG/pdf/DS01_proba_cond.pdf
%On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
%
%L’urne $U_1$ contient trois boules rouges et une boule noire. L’urne $U_2$ contient trois boules rouges et deux boules noires.
%
%Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1 , il tire au hasard une boule dans l’urne $U_1$ , sinon il tire au hasard une boule dans l’urne $U_2$.
%
%On considère les événements suivants : 
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item A : \og{}obtenir 1 en lançant le dé\fg{}
%
%\item B : \og{}obtenir une boule noire\fg{}
%\end{enumerate}.
%
%\begin{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire. 
%
%\item Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est $\dfrac{3}{8}$.
%
%\item Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir obtenu 1 en lançant le dé.
%\end{enumerate}
%
%\item On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. 
%
%Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient.
%
%On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. 
%\begin{enumerate}
%\item Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième.
%
%\item Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.
%
%\item On donne le tableau suivant :
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%$k$&1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\
%\hline
%$P(X< k)$& 0,0091& 0,0637& 0,2110& 0,4467& 0,6943& 0,8725& 0,9616& 0,9922& 0,9990& 0,9999\\
%\hline
%\end{tabularx}
%
%Soit $N$ un entier compris entre 1 et 10. On considère l’événement : \og{}la personne gagne au moins $N$ parties\fg{}.
%
%À partir de quelle valeur de $N$ la probabilité de cet événement est-elle inférieure à $\dfrac{1}{10}$ ?
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%\subsection{}
%
%\begin{enumerate}
%\item \textbf{\textcolor{red}{Restitution organisée de connaissances}}
%
%Prérequis : On rappelle que deux événements sont indépendants pour la loi de probabilité $p$ si, et seulement si, $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.
%
%Soient $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que $p(B)=p(B\cap A)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$.
%
%\item démontrer que si $A$ et $B$ sont indépendants pour la loi de probabilité $p$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ sont également indépendants.
%\end{enumerate}
%
%\item \textbf{\textcolor{red}{Application}} :
%
%Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de  deux événements indépendants :
%
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item $R$ \og{}il n'entend pas son réveil sonner\fg{} ; 
%
%\item $S$ \og{}son scooter, mal entretenu, tombe en panne\fg{}
%\end{enumerate}
%
%Il a observé  que, chaque jour de classe, la probabilité de $R$ est égale à 0,1 et que celle de $S$ est égale à 0,05.
%
%Lorque au moins un des événements se produit, Stéphane est en retard au lycée, sinon, il est à l'heure.
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer la probabilité quun jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne.
%
%\item Calculer la probabilité que Stéphane soit à l'heure au lycée un jour de classe donné.
%
%\item Au cours d'une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu'il entende son réveil sonner un jour de classe donné n'influe pas sur le fait qu'il l'entende ou non les jours suivants.
%
%Quelle est la probabilité que Stéphane entende son réveil au moins deux fois au cours de la semaine ?
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  