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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS3 : contrôle (récurrence, suites) \\ (2 heures)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{2 points} }
Quelle est la définition d'une suite qui tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{2,5 points}}
Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $7^n-1$ est divisible par 6.

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{2,5 points}}
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, avec $n\geqslant 1$, on pose \[S_n=1+5+9+\cdots+(4n-3)\]

Démontrer par récurrence que, pour tout $n\geqslant 1$ : \[S_n=1+5+9+\cdots+(4n-3)=n(2n-1).\]

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 4 points }}%Bac ES Antilles-Guyane septembre 2002
\begin{enumerate} \item Un capital initial $c_0$ de 600 euros est placé sur un compte rapportant $5\:\%$ d'intérêts annuels. On note $c_n$ le capital acquis au bout de $n$
années ($n$ entier naturel).

\begin{enumerate} \item Montrer que le capital $c_{n + 1}$ est égal à  $1,05c_n$.

\item En déduire l'expression de $c_n$ en fonction de $n$.

\item Trouver (à la calculatrice) le nombre minimal d'années nécessaires pour que le capital
ainsi placé ait au moins triplé.

\end{enumerate}

\item  Un autre épargnant place également un capital initial de 600 euros au taux annuel de $5\:\%$ d'intérêts, et fait un versement supplémentaire de 150 euros à la fin de chaque année. On appelle $d_0$ le capital initial et  $d_n$ le capital ainsi acquis à la fin de la $n$-ième année.

\begin{enumerate} \item Calculer $d_1,~ d_2,~ d_3$.

\item Vérifier que pour tout entier naturel $n,~ d_{n + 1} = 1,05 d_n + 150$.

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par : \[v_n = d_n + \numprint{3000}.\]

Calculer $v_0$ et $v_1$.

\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q = 1,05$.

\item Écrire $v_n$ en fonction de $v_0$ et de $n$.

\item En déduire $d_n$ en fonction de $n$.

\item En utilisant la calculatrice, trouver à partir de combien d'années le capital $d_n$ aura-t-il au moins triplé ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{5 points}}
%http://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2014/10/DM-maths-suite-recurrence-terminale-s.pdf\tableau{}{}{}{}{}{}{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n +1} = u_n + 2 n + 3$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. 

\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_n > n^2$.

\item Démontrer que la suite $\left(n^2\right)$ n'est pas majorée.

\item En déduire que $\left(u_n\right)$ n'est pas majorée puis déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. (on précisera le théorème utilisé !)

\item Calculer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$.

\item Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\item Démontrer par récurrence que cette expression est valable pour tout entier naturel $n$ . 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 4 points }}
On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout $n\geqslant 1$ : $nw_{n}=(n+1)w_{n-1}+1.$\\
\noindent Ce tableau donne les dix premiers termes de la suite :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\
\hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$.

\item Conjecturer la nature de la suite ; en déduire une conjecture sur l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.

\item Démontrer cette conjecture.

\item En déduire la valeur de $w_{\numprint{2000}}$.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  