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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD fonction exponentielle (1)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On rappelle  que $\exp$ est l'unique fonction non nulle dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que \systeme{f'=f,f(0)=1}.

\noindent On cherche une fonction $f$ non nulle, dérivable sur $\mathbb{R}$, telle que \systeme{f'=f,f(0)=\lambda} \hspace{1cm}$\lambda\neq 0$.

Pour cela, on pose $g=\dfrac{1}{\lambda}f$.

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'alors, $g'=g$ et que $g(0)=1$.

\item En déduire l'expression de $g$ puis celle de $f$. (on admet que $g$ est unique)
\end{enumerate}



\subsection{}

On cherche une fonction $f$, non nulle, dérivable sur $\mathbb{R}$ et telle que \systeme{f'=kf,f(0)=1}\hspace{1cm} $k\in\mathbb{R}$.


\begin{enumerate}
\item Montrer que $g:x\mapsto \exp(kx)$ convient.

\item Comment montrerait-on l'unicité d'une telle fonction

\item En déduire une fonction $f$ telle que \systeme{f'=2f,f(0)=1}

\item En déduire une fonction $f$ telle que \systeme{f'=2f,f(0)=\lambda}, $\lambda\in\mathbb{R}$

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}


\item Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Si, pour tout $x$ réel, on a $f'(x)=f(x)$, peut-on affirmer que $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que , pour tout $x$ réel, $f''(x)=f(x)$ ?

\item Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

\noindent Si, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f''(x)=f(x)$, peut-on affirmer que $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $f'(x)=f(x)$ ?

\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

\NumTabs{2}
\begin{inparaenum}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi})}
\noindent \item $\exp(3x+4)$
\tab\item $x\exp(2x)$
\tab\item $\sqrt{\exp(x)}$
\tab\item $(\exp(x))^3$
\end{inparaenum}


\end{multicols}

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%On rappelle  que $\exp$ est l'unique fonction non nulle dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que \systeme{f'=f,f(0)=1}.
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%\noindent On cherche une fonction $f$ non nulle, dérivable sur $\mathbb{R}$, telle que \systeme{f'=f,f(0)=\lambda} \hspace{1cm}$\lambda\neq 0$.
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%Pour cela, on pose $g=\dfrac{1}{\lambda}f$.
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%\begin{enumerate}
%\item Montrer qu'alors, $g'=g$ et que $g(0)=1$.
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%\item En déduire l'expression de $g$ puis celle de $f$. (on admet que $g$ est unique)
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%On cherche une fonction $f$, non nulle, dérivable sur $\mathbb{R}$ et telle que \systeme{f'=kf,f(0)=1}\hspace{1cm} $k\in\mathbb{R}$.
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%\begin{enumerate}
%\item Montrer que $g:x\mapsto \exp(kx)$ convient.
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%\item Comment montrerait-on l'unicité d'une telle fonction
%
%\item En déduire une fonction $f$ telle que \systeme{f'=2f,f(0)=1}
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%\item En déduire une fonction $f$ telle que \systeme{f'=2f,f(0)=\lambda}, $\lambda\in\mathbb{R}$
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%\item Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Si, pour tout $x$ réel, on a $f'(x)=f(x)$, peut-on affirmer que $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que , pour tout $x$ réel, $f''(x)=f(x)$ ?
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%\item Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
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%\noindent Si, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f''(x)=f(x)$, peut-on affirmer que $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $f'(x)=f(x)$ ?
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%\subsection{}
%Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
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%\noindent \item $\exp(3x+4)$
%\tab\item $x\exp(2x)$
%\tab\item $\sqrt{\exp(x)}$
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