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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD (probabilités conditionnelles)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%\no 32 hyperbole programme 2002
Une grave maladie affecte le cheptel bovin d'un certain pays. On estime 7\:\% des bovins atteints.

On vient de mettre au point un test pour diagnostiquer la maladie.

On a constaté que : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item lorsque un animal est malade,  le test est positif dans 87\:\% des cas

\item lorsque un animal n'est pas malade, le test est négatif dans 98\:\% des cas.
\end{enumerate} 

Pour un animal désigné au hasard, on note $M$ \og{}l'événement l'animal est malade\fg{} et $T$ l'événement \og{}le test est positif\fg{}.


\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des événements :

\begin{enumerate}
\item $M\cap T$

\item $M\cap \overline{T}$

\item $\overline{M}\cap T$

\item $\overline{M}\cap \overline{T}$

\end{enumerate}

\item Déterminer la probabilité de $T$.

\item Calculer la probabilité qu'un animal ayant un test négatif soit malade.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Inverser un arbre de probabilités}}%\o49 Hyperbole 2002
Un sondage effectué récemment dans une région montagneuse à propos de la construction d'un barrage donne les résultas suivants :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 65\:\% des personnes interrogées sont contre la construction de ce barrage ;

\item parmi les personnes qui sont contre ce barrage, 70\:\% sont des écologistes ;

\item parmi les personnes qui sont pour la construction de ce barrage, 20\:\% sont ds écologistes.
\end{enumerate}
On note $C$ l'événement \og{}La personne interrogée au hasard est contre ce barrage\fg{}.

On note $E$ l'événement : \og{}La personne interrogée est écologiste\fg{}.

\begin{enumerate}
\item 

Compléter l'arbre de probabilités suivant : 
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=38mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{C}$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{ $$}}}
\end{center}

\item Calculer la probabilité de l'événement $E$.

\item On inverse l'arbre de probabilités ; compléter l'arbre ci-dessous :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=38mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$E$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C}$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{E}$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C}$}\tbput{ $$}}}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Le jeu est-il favorable ?}}%\no 59 Hyperbole 2002
On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ contenant des boules indiscernables au toucher.

L'urne $U_1$ contient $n$ boules blanches et 3 boules noires ($n$ entier, $n\geqslant 1$).

L'urne $U_2$ contient 2 boules blanches et 1 boule noire.

On tire au hasard une boule de $U_1$ et on la met dans $U_2$ puis on tire au hasard une boule de $U_2$ et on la met dans $U_1$ ; l'ensemble de ces deux opérations constitue une épreuve.

\begin{enumerate}
\item On considère l'événement $A$: \og{}Après l'épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur configuration de départ\fg{}.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p(A)=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{n+2}{n+3}\right)$.

\item Déterminer la limite de $p(A)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\item On considère l'événement $B$ : \og{}Après l'épreuve, l'urne $U_2$ contient une seule boule blanche\fg{}.

Vérifier que $p(B)=\dfrac{6}{4(n+3)}$.

\item Un joueur mise 20 \euro{} et effectue une épreuve. L'issue de cette épreuve, on compte le nombre de boules blanches contenues dans l'urne $U_2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $U_2$ contient 1 boules blanches, le joueur reçoit $2n\text{ \euro}$.

\item Si $U_2$ contient 2 boules blanches, le joueur reçoit $n\text{ \euro}$.

\item Si $U_2$ contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi le joueur  n'a aucun intérêt à jouer tant que $n$ ne dépasse pas 10.

Dans la suite, on considère $n>10$ et on introduit la variable aléatoire $X$ qui prend pour valeur le gain algébrique du joueur.

Par exemple, si après l'épreuve, l'urne $U_2$ contient une seule boule blanche, $X=2n-20$.

\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.

\item Calculer l'espérance de $X$.

\item On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance est strictement positive.

Montrer qu'il en est ainsi dès que l'urne $U_1$ contient au moins 25 boules blanches.
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  