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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}
\section*{\textcolor{red}{TS : TD - Différents types de raisonnements utilisés en mathématiques}}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\noindent \textbf{Notation} : un énoncé mathématique (vrai ou faux) est appelé \textbf{proposition}.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2\geqslant 0$ est une proposition vraie.

\item Tout triangle est rectangle est une proposition fausse.

\item Une équation n'est pas une proposition
\end{enumerate}

Toute la logique mathématique est basée sur un principe fondamental des mathématiques : \textbf{\textcolor{red}{\og le principe du tiers exclu\fg{}}} : une propriété est soit vraie, soit fausse.\\
Alors, si une propriété est vraie, sa \textbf{négation} est fausse et réciproquement.

\section{\textcolor{blue}{Quantificateurs}}


\subsection{\textcolor{red}{Quantificateur existentiel}}
Dans la proposition mathématique \\
$\og{} \text{Il existe (au moins) un réel }x\text{ tel que }\dfrac{1}{x}>0$, l'expression \og{} il existe au moins \dots tel que\fg{} est appelé quantificateur existentiel ; on utilise alors le symbole mathématique $\exists$.\\
On écrit alors : $\exists x\in\mathbb{R}$, $\dfrac{1}{x}>1$.\\

\noindent \textbf{Exercice} :Écrire à l'aide de ce quantificateur la proposition : \og{}il existe un entier naturel $n$ tel que $n^2$ soit supérieur à 23.\fg

\subsection{\textcolor{red}{Quantificateur universel}}
Dans la proposition \\
\og{} Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$\fg{}, la locution \og{}Pour tout\fg{} est appelée quantificateur universel, noté $\forall$.\\
On écrirait : $\forall n\in\mathbb{N}^{*}$, $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.\\

\textbf{Exercice :} Écrire à l'aide de ce quantificateur la proposition : \og{}le carré de tout nombre réel est positif ou nul.\fg

\subsection{\textcolor{red}{Négation}}
La négation d'une proposition \og{} P\fg{} est la proposition contraire \og{non P\fg{}, notée par voir $\overline{\text{P}}$. Si l'une est vraie, l'autre est fausse et réciproquement.\\
La négation de $\forall$ est $\exists$ et réciproquement.\\
\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : Soit la proposition \textbf{vraie} : $\forall x\in\mathbb{R}$, $x^{2}\geqslant 0$.\\
La proposition contraire (\textbf{fausse}) est : $\exists x\in\mathbb{R}$, $x^{2}<0$.

\subsection{\textcolor{red}{Exercice}}
Écrire la négation des propositions suivantes et préciser laquelle est vraie.
\begin{enumerate}
\item $\forall x\in\mathbb{R}$, $x+1>x$

\item $\forall x\in\mathbb{R}$, $\dfrac{1}{x^{2}+1}<1$

\item Tout triangle est rectangle.

\item Tout carré est un losange.

\item Tout nombre premier est impair.

\item Il existe un réel $x$ tel que $x^{2}+x+1=0$
\end{enumerate}

\section{\textcolor{blue}{Raisonnement par contre-exemple}}
\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} \\
Soit la propriété P : \og{} $\forall x\in\mathbb{R},\: x^{2}+2x+1\neq 0$. On veut montrer que cette proposition est fausse.\\
Il est équivalent de montrer que la proposition contraire non P $\exists x\in\mathbb{R},\:x^{2}+2x+1=0$ est vraie.\\
Autrement dit, il suffit d'exhiber un réel $x$ rendant nulle l'expression $x^{2}+2x+1$.\\
\textbf{Donner ce contre-exemple}.

\section{\textcolor{blue}{Raisonnement par contraposée}}
Soit (P) la proposition mathématique   : Si A , alors B , notée aussi A$\Rightarrow$ B.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : (Théorème de Pythagore :) Si ABC est un triangle rectangle en A, alors $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La proposition contraposée de (P) ou plus simplement la contraposée de (P) est la proposition  :\\
\og{}Si non B, alors non A\fg{}  notée aussi (Non B)$\Rightarrow$ (Non A).

\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} \textbf{\textcolor{red}{Contraposée du théorème de Pythagore :}}\\
Si, dans le triangle ABC, $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 \neq \text{BC}^2$, alors le triangle ABC n'est pas rectangle.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} ne pas confondre avec la réciproque du théorème de Pythagore :\\
Si, dans le triangle ABC, $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2$, alors le triangle ABC est  rectangle.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}}
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que  : $\forall n\in \mathbb{N}$, $n$ impair $\Rightarrow n^2$ impair.

\item Démontrer que  : $\forall n\in \mathbb{N}$, $n^2$ impair $\Rightarrow n$ impair.

\item  Comment traduire ces deux propriétés en une seule ?
\end{enumerate}

%\textbf{\textcolor{blue}{Correction :}}
%\begin{enumerate}
%\item  Montrons la propriété directe : $n$ impair $\Rightarrow  n^2$ impair.\\
%Si $n$ est impair alors $\exists k\in \mathbb{N}$ tel que $n = 2k + 1$.\\
%Alors :  $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$.\\
%Or $2k^2 +2k$ est un entier naturel donc si on pose $2k^2+2k = m\in\mathbb{N}$ alors $\exists m\in \mathbb{N}$ tel que $n^2 = 2m+1$.
%Par conséquent : $n^2$ est impair.
%
%\item Commen\c cons par essayer de démontrer la propriété directe : $n^2$ impair $\Rightarrow n$ impair.\\
%Si $n^2$ est impair, alors $\exists k\in\mathbb{N}$ tel que $n^2 = 2k + 1$.\\
%Or $2k + 1$ est strictement positif donc : $n =\sqrt{2k + 1}$.\\
%Et là, on doit montrer que la racine carrée d'un impair est un nombre impair, ce qui n'est pas si simple.\\
%Nous allons voir qu'il est plus simple de prouver la proposition contraposée : $n$ pair $\Rightarrow n^2$ pair.\\
%Si $n$ est pair, alors $\exists k\in\mathbb{N}$ tel que  $n = 2k$.\\
%Alors $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$.
%Or $2k^2$ est un entier naturel donc si on pose $2k^2 = m$ alors $\exists m\in\mathbb{N}$ tel que $n^2 = 2m$.\\
%Donc $n^2$ est pair.\\
%On a donc montré que la contraposée de \og $n^2$ impair $\rightarrow n$ impair\fg{} était vraie, donc la propriété \og $n^2$ impair $\Rightarrow n$ impair\fg{} est vraie.
%
%\item Les deux propriétés se traduisent par :\fbox{\textcolor{red}{ $n$ impair $\Leftrightarrow  n^2$ impair.}}
%\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}}\\
Démontrer  la proposition  \og{}Soit $ x$ un nombre réel tel que pour tout  $ \varepsilon >0$,  $ x\leqslant
\varepsilon $. Alors  $ x\leqslant 0$.\fg



\section{\textcolor{blue}{Raisonnement par l'absurde}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition :}}
Le raisonnement par l'absurde est une forme de raisonnement logique, consistant soit à démontrer la vérité d'une proposition en prouvant l'absurdité de la proposition contraire, soit  à montrer la fausseté d'une proposition en déduisant logiquement des conséquences absurdes.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}
On souhaite démontrer que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.\\
On va donc essayer de voir ce qu'il se passe si l'on considère que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel, c'est-à-dire le quotient de deux entiers relatifs .\\

\noindent Si $\sqrt{2}$ est rationnel, alors il peut se mettre sous la forme d'un quotient d'entiers, donc  il existe deux entiers $p$ et $q$ ($q\neq 0$) tels que $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$ avec PGCD($p~;~q$) = 1 ($p$ et $q$ sont premiers entre eux, c'est-à-dire n'ont aucun facteur premier commun).\\

Si $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$, alors $p =\sqrt{2}\times q$ donc $p^2 = 2q^2$ donc $p^2$ est un nombre pair et donc $p$ est pair. (voir exemple sur la 
contraposée).\\
Puisque $p$ est un nombre pair, alors il existe un entier naturel $k$ tel que $p = 2k$.\\
On a donc $(2k)^2 = 2q^2$ donc $4k^2 = 2q^2$ donc $q^2 = 2k^2$, donc $q^2$ est pair et $q$ est pair.(voir exemple sur la contraposée).\\
Or $p$ et $q$ ne peuvent pas Ítre pairs tous les deux car $p$ et $q$ sont premiers entre eux donc l'hypothèse est fausse :
\fbox{$\sqrt{2}$ n'est pas un rationnel mais un irrationnel.}\\



\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}} démontrer que l'ensemble I des rationnels strictement supérieurs à 1 n'a pas de plus petit élément

\section{\textcolor{blue}{Raisonnement par récurrence}}


Nous avons vu ce type de raisonnement en cours.

\section{\textcolor{blue}{Raisonnement par disjonction des cas}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition :}}
Lors d'un raisonnement par disjonction des cas, on étudie tous les cas possibles en faisant au préalable un tri pour restreindre le nombre de cas à étudier.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, le produit $n(n + 1)$ est divisible par 2.\\

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $n$ est pair. $\exists k\in\mathbb{N}$ tel que $n=2k$.\\
Alors : $n+1=2k+1$ et $n(n+1)=2k(2k+1)=2[k(2k+1)]=2m$ avec $m=k(2k+1)\in\mathbb{N}$.\\
$n(n+1)$ est pair.

\item Deuxième cas :  $n$ est impair. $\exists k\in\mathbb{N}$ tel que $n=2k+1$.\\
Alors : $n+1=2k+2=2(k+1)$ et $n(n+1)=(2k+1)\times 2(k+1)=2[(k+1)(2k+1)]=2p$ avec $p=(k+1)(2k+1)\in\mathbb{N}$.\\
$n(n+1)$ est pair.
\end{enumerate}
 On en déduit que, dans tous les cas, $n(n+1)$ est pair.\\
 
\textbf{ \textcolor{red}{Exercice :}} Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3^{n}+1$ est pair (considérer le chiffre des unités de $3^{n}$)


\end{multicols} 
\label{fin}
\end{document}  	