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% pour le pied de page central
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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les suites}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
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\setlength{\columnsep}{2 cm}



\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou faux ?}}

(Questions possibles au bac pour une Restitution Organisée des Connaissances ou un QCM).

Répondre par vrai ou faux et justifier chaque réponse.

\begin{enumerate}
\item Si une suite n’est pas majorée, alors elle tend vers $+\infty$.

\item Si une suite n’est pas minorée alors elle tend vers $-\infty$.

\item Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers $+\infty$.

\item Si une suite tend vers $+\infty$, alors elle n’est pas majorée.

\item Si une suite tend vers $+\infty$, alors elle est croissante.

\item Toute suite bornée est convergente (c’est-à-dire possède une limite réelle).

\item Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}



\subsection{}
Justifier les limites suivantes avec la définition :





\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} 2n+3=+\infty$
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} -n+6=-\infty$
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n^2=+\infty$
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} 6-n^2=-\infty$
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} 5\sqrt{n}=+\infty$
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{n^2+3}{n+1}=+\infty$
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour pour tout réel  $x$ positif et tout $n\geq 0$ :\[(1+x)^n\geq1+nx\text{(inégalité de Bernoulli}\}.\]

\item En déduire que, si $q>1$, $\lim_{n\rightarrow+\infty}q^n=+\infty$.

\item En déduire la limite de $q^n$ lorsque $0<q<1$.

\item En déduire la limite de $q^n$ lorsque $-1<q<0$.
\end{enumerate}




\subsection{}
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par :  
$u_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$,$u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+2}.$ 
\begin{enumerate} 
\item Calculer les quatre premiers termes de la suite. 

\item On appelle $f$ la fonction, définie sur $]-3~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{x+2}$.

Montrer que $f$ est croissante sur $]-2~;~+\infty[$.

\item Calculer $f(1)$ puis montrer que $f(\sqrt{3})=\sqrt{3}$.

\item   Prouver par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geqslant1$.

\item Démontrer que la suite est majorée par $\sqrt{3}$.

\item Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.

\item On considère la suite $(v_n)$ définie par :  
pour tout $n\in\mathbb{N}$,\[v_n=\frac{u_n-\sqrt{3}}{u_n+\sqrt{3}}\].

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont 
  on donnera le premier terme et la raison.
  
\item Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$  
\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  