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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : Exercices sur les suites}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Un investisseur dépose \numprint{5000}  \euro{}  sur un compte rémunéré à 3\:\% par an (taux d'intérêts composés, c'est-à-dire  que les intérêts s'ajoutent au capital précédent pour former le nouveau capital).

Chaque année  suivante, il ajoute 300 \euro{}  sur son compte.

On note $\left(u_n\right)$ la somme épargnée à l'année $n$.
\begin{enumerate}
\item   Montrer que $u_0 = \numprint{5000}$, et que pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[u_{n+1} = 1, 03u_n + 300.\]
$u_n$ est de la forme $au_n+b$ : on dit que la suite $\left(_n\right)$ est géométrique.

\item À l'aide de la calculatrice, calculer la somme totale épargnée à la 10\ieme{} année.

\item Prouver que la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier  $n$ par  $v_n = u_n + \numprint{10000}$ est  géométrique et donner sa raison et son premier terme.

\item Exprimer  $v_n$ en fonction de  $n$.

\item En déduire  $u_n$ en fonction de  $n$.

Retrouver alors le résultat de la question 2. par  calcul. 

\item Etudier les variations de $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{D'après bac ES mai 2013}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n,$

\[ u_{n+1} = 0,9u_{n} + 1,2.\]
 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 12$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = 12 - 2 \times  0,9^n$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\emph{On admettra (provisoirement) que $\lim_{n\rightarrow +\infty}q^n=0$ si $-1<q<1$}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip
 
En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :

\index{Algorithme}

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 10\,\% des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ; 
\item[$\bullet~$] \numprint{1200} personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année $2012 + n$. 
\item Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.
 
Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année $2012 + n$. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|p{0.3cm}lp{0.3cm}|}\cline{1-3}
&VARIABLES&\\ 
&$a, i, n.$&\\ 
&INITIALISATION& \\
&Choisir $n$&\\ 
&$a$ prend la valeur 10&\\ 
&TRAITEMENT&\\ 
&Pour $i$ allant de $1$ à $n$,&\\ 
&$a$ prend la valeur \ldots.&\\
&~ &\\
&SORTIE &\\
&Afficher $a$&\\ \cline{1-3}
\end{tabularx}
\end{center} 

\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que :  \[12 - 2 \times 0,9^n > 11,5. \]
		\item En donner une interprétation. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  