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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

  


\begin{center}
\section*{\textcolor{blue}{Correction du Devoir surveillé commun \no 1 - TS - 14/10/17}}
\end{center}



\subsection{}

\medskip
\noindent On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ : 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$   :\:  $u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ ; 
\item la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.
\end{enumerate}

\bigskip 

\noindent\textbf{Partie A : Conjectures}

\medskip 


\begin{enumerate}
	\item On considère les trois algorithmes ci-dessous. Un seul d'entre eux calcule et affiche les termes $u_n$ et $v_n$, la valeur de l'entier naturel $n$ étant saisie par l'utilisateur. Lequel ? Justifier soigneusement.\\
	
	
\fbox{
	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
	\underline{\textbf{Algorithme 1 :}}\\
	\\
	\textbf{Variables :}\\
	$n$ et $i$ : entiers naturels\\ 
	$u$ et $v$ : réels \\
	\textbf{Entrée :}\\
	Saisir la valeur de $n$\\
	\textbf{Traitement :}\\
	$u$ prend la valeur $1$\\
	$v$ prend la valeur $1$ \\
	Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :\\
	\indent \hspace{0,4cm} $u$ prend la valeur $2u - (i-1) + 3$\\
	\indent \hspace{0,4cm} $v$ prend la valeur $2^{i}$\\
	Fin Pour\\
	\textbf{Sortie :}\\
	Afficher $u$\\
	Afficher $v$
	\end{minipage}
}
\fbox{	
	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
	\underline{\textbf{Algorithme 2 :}}\\
	\\
		\textbf{Variables :}\\
		$n$ et $i$ : entiers naturels\\ 
		$u$ et $v$ : réels \\
		\textbf{Entrée :}\\
		Saisir la valeur de $n$\\
		\textbf{Traitement :}\\
		$u$ prend la valeur $1$\\
		$v$ prend la valeur $1$ \\
		Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :\\
		\indent \hspace{0,4cm} $u$ prend la valeur $2u - i + 3$\\
		\indent \hspace{0,4cm} $v$ prend la valeur $2^{i}$\\
		Fin Pour\\
		\textbf{Sortie :}\\
		Afficher $u$\\
		Afficher $v$
	\end{minipage}
}
\fbox{
	
	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
	\underline{\textbf{Algorithme 3 :}}\\
	\\
		\textbf{Variables :}\\
		$n$ et $i$ : entiers naturels\\ 
		$u$ et $v$ : réels \\
		\textbf{Entrée :}\\
		Saisir la valeur de $n$\\
		\textbf{Traitement :}\\
		$u$ prend la valeur $1$\\
		$v$ prend la valeur $1$ \\
		Pour $i$ allant de $0$ à $n-1$ :\\
		\indent \hspace{0,4cm} $u$ prend la valeur $2u - i + 3$\\
		\indent \hspace{0,4cm} $v$ prend la valeur $2^{i}$\\
		Fin Pour\\
		\textbf{Sortie :}\\
		Afficher $u$\\
		Afficher $v$
	\end{minipage}
}
\hfill\\
	
	\item Comment le modifier afin qu'il affiche tous les termes de ces deux suites jusqu'à l'indice $n$ inclus ?
	\item En entrant les suites dans la calculatrice, on obtient le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|}
\hline
$n$ & \ \ \ $0$ & \ \ \ $1$ & \ \ \ $2$ & \ \ \ $3$ & \ \ \ $4$ & \ldots & \ \ $10$ & \ \ $11$ & \ \ $12$ & \ \ $13$ \\
\hline
$u_n$ & \ \ \ $1$ & \ \ \ $5$ & \ \ $12$ & \ \ $25$ & \ \ $50$ & \ldots & $3080$ & $6153$ & $12298$ & $24587$ \\ 
\hline
$v_n$ & \ \ \ $1$ & \ \ \ $2$ & \ \ \ $4$ & \ \ \ $8$ & \ \ $16$ & \ldots & $1024$ & $2048$ & \ $4096$ & \ $8192$ \\ 
\hline
\end{tabular}$$

	
Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\textbf{Partie B : Etude de la suite} \boldmath $\left(u_n\right)$\unboldmath

\medskip 

\begin{enumerate}
	\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 3 \times  2^n + n - 2$. 
	\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. 
	\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million. 
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\textbf{Partie C : Etude de la suite } \boldmath$\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang 3. 
	\item On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}$. 
	
	Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. 
\end{enumerate}
\hfill\\

\noindent\underline{\textbf{Exercice 2 :}}\\

\noindent Un volume constant de $2200$ m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins $A$ et $B$. Le bassin $A$ refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes.\\
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item au départ, le bassin A contient 800~m$^3$ d'eau et le bassin B contient $1400$ m$^3$ d'eau ; 
	\item tous les jours, 15\,\% du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ; 
	\item tous les jours, 10\,\% du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.
\end{enumerate}
\hfill\\[-0.4cm]

\noindent Pour tout entier naturel $n$, on note :
\begin{enumerate}[$\bullet$]	
	\item $a_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à  la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ; 
	\item $b_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à  la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent On a donc $a_{0} = 800$ et $b_{0} = 1400$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Par quelle relation entre $a_{n}$ et $b_{n}$ traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ? 
	\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} + 330$. 
	\item L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $a_{n}$ est supérieur ou égal à $1100$. Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
	
	$$\begin{tabular}{|l l l|}\hline 
	\textbf{Variables}&:& 	$n$ est un entier naturel\\ 
	&&$a$ est un réel\\ 
	\textbf{Initialisation}&:&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
	&& Affecter à $a$ la valeur 800\\
	\textbf{Traitement}&:& Tant que $a < 1100$, faire :\\ 
	&&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
	Affecter à $a$ la valeur \ldots\\ 
	Affecter à $n$ la valeur \ldots\\
	\end{tabular}\\
	&& Fin Tant que\\  
	\textbf{Sortie}&:&Afficher $n$\\ \hline
	\end{tabular}$$
	
	\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n} = a_{n} - 1320$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n} = 1320 - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
	\end{enumerate} 
	\item On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau.
	
	Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement. 
\end{enumerate}
\hfill\\
\\


\noindent\underline{\textbf{Exercice 3 : Bonus}}
\medskip

\noindent On considère une suite $\left(u_{n}\right)$, définie sur $\mathbb{N}$ dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite $\left(v_{n}\right)$ sur $\mathbb{N}$ par $v_{n} = \di\frac{- 2}{u_{n}}$.\\
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée.\\
Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera  à fournir un contre exemple. \\
Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.


\begin{enumerate}
	
	\item Si $\left(u_{n}\right)$ est convergente, alors $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
	
	\item Si $\left(u_{n}\right)$ est minorée par 2, alors $\left(v_{n}\right)$ est minorée par $-1$.
	
	\item Si $\left(u_{n}\right)$ est décroissante, alors $\left(v_{n}\right)$ est croissante.
	
	\item Si $\left(u_{n}\right)$ est divergente, alors $\left(v_{n}\right)$ converge vers zéro.
	
\end{enumerate}


%Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par 

%\[u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n.\]

%On considère également la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par
%\[v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 5.\]

%\begin{enumerate}
%	\item Voici un extrait de feuille de tableur :
	
%	\begin{center}
%		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
%			&A	&B	&C\\ \hline
%			1	&$n$&$u$&$v$\\ \hline
%			2	&0	&2	&7\\ \hline
%			3	&1	&4	&14\\ \hline
%			4	&2	&9	&28\\ \hline
%			5	&3	&24	&56\\ \hline
%			6	&4	&63	&\\ \hline
%			7	&	&	&\\ \hline
%			8	&	&	&\\ \hline
%			9	&	&	&\\ \hline
%			10	&	&	&\\ \hline
%		\end{tabular}
%	\end{center}
	
%	\item Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.
%\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}






\label{fin}
\end{document}
