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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : DM \no 4}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Pondichéry avril 2014 exercice 2
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.\index{Vrai--Faux} 

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. 

Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. 

Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1}
 
Toute suite positive croissante tend vers $+ \infty$.\index{suite} 
\item  $g$ est la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par 

\[g(x) = 2x \ln (2x + 1).\]\index{fonction logarithme népérien}
 
\textbf{Proposition 2}
 
Sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$, l'équation $g(x) = 2x$ a une unique solution : $\dfrac{\text{e} -  1}{2}$.
 
\textbf{Proposition 3}
 
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ est :  $1 + \ln 4$. 
\item  L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.
 
$\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont les plans d'équations respectives : $2x + 3y - z - 11 = 0$ et 

$x + y + 5z - 11 = 0$.\index{géométrie dans l'espace}
 
\textbf{Proposition 4}
 
Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ se coupent perpendiculairement. 
\end{enumerate} 

\subsection{}%POndichéry avril 2014
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : \index{complexes}

\[z_{0} = 1\quad  \text{et}\quad  z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.\]

On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison 
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\index{suite géométrique}
		\item En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline

Variables& $n$ entier naturel\\  
&$R$ réel\\ 
&$P$ réel strictement positif\\ \hline 
Entrée& Demander la valeur de $P$\\ \hline  
Traitement &$R$ prend la valeur 1\\ 
&$n$ prend la valeur 0\\ 
&Tant que $R > P$\\ 
&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
&\hspace{0,5cm}$R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$\\ 
&Fin tant que\\ \hline 
Sortie &Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ? 
		\item Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$. 
		\item On admet que $z_{n} = r_{n}\text{e}^{\text{\'i}\frac{n\pi}{6}}$.
		 
Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées. 
		\item Compléter la figure donnée à la fin de la feuille, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.
		 
Les traits de construction seront \textbf{apparents}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations : 
\begin{enumerate}
\item $z^2-2z+5=0$.

\item $z^2-2\left(1+\sqrt{3}\right)z+5+2\sqrt{3}=0$.
\end{enumerate}

\item Soient A, B, C et D les points du plan complexe d'affixes respectives :\\
$z_A=1+2\mathrm{i}$~;~$z_B=1+\sqrt{3}+\mathrm{i}$~;~$z_C=1+\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et $z_D=1-2\mathrm{i}$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure et placer ces quatre points.

\item Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.

\item Vérifier que $\dfrac{z_D-z_B}{z_A-z_B}=\mathrm{i}\sqrt{3}$.

Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (BD) ?

\item En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle $\mathscr{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Intensité sonore et niveau d'intensité sonore}}%http://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/fonctions_loc6ee.pdf

L’intensité  sonore est  une  grandeur  qui  représente  la  \og{}puissance\fg{}   d’un  son,  elle  s’exprime  en W.m$^{-2}$.  

L’intensité  sonore  à  partir  de  laquelle  un  son  est  audible pour  un  homme est  $I_0=10^{-12}$ W.m$^{-2}$.

Pour manipuler des valeurs plus pratiques, on définit le  niveau d’intensité sonore $L$ ,  exprimé en décibels, par la relation : $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ où $I$ est l’intensité sonore.

\begin{enumerate}
\item Calculer  le niveau d’intensité sonore de  $I_0$.

\item Un  son  devient  douloureux  à  partir  de  130 décibels.  Déterminer  l’intensité  sonore  correspondante. 

\item Lorsque  l’intensité  sonore  d’un  bruit  est  doublée,  déterminer  de  combien  augmente  le  niveau d’intensité sonore.

\item On considère une sirène d’alerte qui émet un son de  110 dB à  1 m de l’émetteur.

\begin{enumerate}
\item  Calculer l’intensité du son émis par la sirène à  1 m .

\item Combien de telles sirènes, placés à  1 m du récepteur, doivent émettre un son en  même temps pour  le niveau d’intensité sonore atteigne le seuil de douleur ?

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Quand boire sa tasse de café ?}}
Il fait 20 degrés dans une pièce. Une personne vient de se faire du café et s'en verse dans une tasse. Il est à une température de 80 \degre. A bout de deux minutes, le café est à une température de 60 \degre.

Il aime le boire quand il a refroidi et atteint une température de 40 \degre.

On admet que l'évolution de la température du café sui la loi de refroidissement de Newton et est donnée par la fonction $f(t)=60\mathrm{e}^{kt}+20$, où$k$ est une constante. (60 correspond à la différence des températures entre le café à l'instant $t=0$ et celle de la pièce)

\begin{enumerate}
\item Calculer cette constante $k$

\item Au bout de combien de temps peut-il espérer boire son café ?
\end{enumerate}


\end{multicols}

\begin{center}
\psset{unit=7cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.25)(1.1,0.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-0.6,-0.3)(1.1,0.8)
\psdots(1;0)(0.866;30)(0.75;60)(0.6495;90)(0.5625;120)(0.487139;150)
\psline(1;0)(0.866;30)(0;0)(0.75;60)(0.866;30)
\psline(0.75;60)(0.6495;90)(0;0)(0.5625;120)(0.6495;90)
\psline(0.5625;120)(0.487139;150)(0;0)
\uput[ur](1;0){$A_{0}$} \uput[ur](0.866;30){$A_{1}$} \uput[ur](0.75;60){$A_{2}$} 
\uput[ur](0.6495;90){$A_{3}$} \uput[ul](0.5625;120){$A_{4}$} \uput[ul](0.487139;150){$A_{5}$} \uput[dl](0,0){O}
\psline[arrowsize=3pt 4]{->}(0,0)(1,0) 
\end{pspicture}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}  
