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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : DM3}}\end{center}
\emph{Une théorie mathématique ne doit être regardée comme parfaite que si elle a été rendue tellement claire qu’on peut la faire comprendre au premier individu rencontré dans la rue.
David Hilbert en 1900}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%\subsection{\textcolor{blue}{Nombre de diagonales d'un polygône}}
%\textbf{\textcolor{red}{Définition}} : un polygone est convexe si tout segment ayant ses extrémités à l'intérieur du polygone est entièrement situé à l'intérieur du polygone :
%
%\begin{center}
%Pentagone convexe  :
%
%\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-1.,-2.)(6.,4)
%\pspolygon(0.8,-0.76)(4.3,-1.2)(5.24,1.58)(3.76,3.64)(1.16,1.9)
%\psline(0.8,-0.76)(4.3,-1.2)
%\psline(4.3,-1.2)(5.24,1.58)
%\psline(5.24,1.58)(3.76,3.64)
%\psline(3.76,3.64)(1.16,1.9)
%\psline(1.16,1.9)(0.8,-0.76)
%%\begin{scriptsize}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.8,-0.76)
%%\rput[bl](0.88,-0.56){\blue{$A$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.3,-1.2)
%%\rput[bl](4.38,-1.){\blue{$B$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.24,1.58)
%%\rput[bl](5.32,1.78){\blue{$C$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.76,3.64)
%%\rput[bl](3.84,3.84){\blue{$D$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.16,1.9)
%%\rput[bl](1.24,2.1){\blue{$E$}}
%%\rput[bl](2.5,-1.28){\zzttqq{$a$}}
%%\rput[bl](5.06,0.1){\zzttqq{$b$}}
%%\rput[bl](4.74,2.8){\zzttqq{$c$}}
%%\rput[bl](2.28,3.04){\zzttqq{$d$}}
%%\rput[bl](0.66,0.62){\zzttqq{$e$}}
%%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%\begin{center}
%Pentagone non convexe  (car $[AB]$ n'est pas entièrement dans le pentagone) :
%
%\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-1.,-2.)(6.,3.)
%%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-2.)(6.,3.)
%\pspolygon(0.8,-0.76)(4.3,-1.2)(5.24,1.58)(3.1,0.54)(1.16,1.9)
%\psline(0.8,-0.76)(4.3,-1.2)
%\psline(4.3,-1.2)(5.24,1.58)
%\psline(5.24,1.58)(3.1,0.54)
%\psline(3.1,0.54)(1.16,1.9)
%\psline(1.16,1.9)(0.8,-0.76)
%\psline[linewidth=2pt](1.76,0.98)(4.64,0.94)
%%\begin{scriptsize}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.8,-0.76)
%%\rput[bl](0.88,-0.56){\blue{$A$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.3,-1.2)
%%\rput[bl](4.38,-1.){\blue{$B$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.24,1.58)
%%\rput[bl](5.32,1.78){\blue{$C$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.1,0.54)
%%\rput[bl](3.18,0.74){\blue{$D$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.16,1.9)
%%\rput[bl](1.24,2.1){\blue{$E$}}
%%\rput[bl](2.5,-1.28){\zzttqq{$a$}}
%%\rput[bl](5.06,0.1){\zzttqq{$b$}}
%%\rput[bl](4.02,1.36){\zzttqq{$c$}}
%%\rput[bl](2.3,1.5){\zzttqq{$d$}}
%%\rput[bl](0.66,0.62){\zzttqq{$e$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.76,0.98)
%\rput[bl](1.84,1.18){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.64,0.94)
%\rput[bl](4.72,1.14){\blue{$B$}}
%%\rput[bl](3.18,0.66){$f$}
%%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%\bigskip
%
%Pour $n\geqslant 4$, on note $d_n$ le nombre de diagonales d'un polygone convexe à $n$ côtés.
%
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer graphiquement $d_4$, $d_5$, $d_6$ et $d_7$.
%
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Un exemple : tracer un pentagone convexe ABCDE puis ajouter un point F à l'extérieur du pentagone, tel que ABCDEF soit encore convexe.
%
%Quelles sont les diagonales de ABCDEF qui ne sont pas des diagonales de ABCDE ? En déduire une relation entre $d_5$ et $d_6$.
%
%\item Établir de même une relation entre $d_n$ et $d_{n+1}$.
%
%\end{enumerate}
%
%\item Démontrer que le nombre de diagonales d'un polygone convexe de $n$ côtés admet $\dfrac{n(n-3)}{2}$ diagonales.
%\end{enumerate}


%\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux}}
%Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier, par exemple en donnant un contre-exemple.
%
%\begin{enumerate}[a)]
%\item Si $\lim_{x\rightarrow +\infty}=-\infty$ et si $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$, alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$.
%
%\item Si $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$ et si $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$, alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(f(x)g(x)\right)=+\infty$.
%
%\item Si $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$ et si $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$, alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=-\infty$.
%\end{enumerate}

%\subsection{}
%Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2~;~2\}$ par \[f(x)=\dfrac{3x-5}{x^2-4}.\]
%
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
%
%\item En déduire les équations des éventuelles  asymptotes à la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de $f$ dans un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
%\end{enumerate}

\subsection{}%Antilles-Guyane juin 2013
On considère la suite $\left(z_n\right)$ à  termes complexes définie par $z_0 = 1 + \text{i}$ et, pour tout entier naturel $n$, par

\[z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n\right|}{3}.\]

Pour tout entier naturel $n$, on pose: $z_n = a_n + \text{i}b_n$, où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ est la partie imaginaire de $z_n$.

Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.

\smallskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Donner $a_0$ et $b_0$.
\item Calculer $z_1$, puis en déduire que $a_1=\dfrac{1 + \sqrt{2}}{3}$ et \\
$b_1 = \dfrac13$.
\item On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant:
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{7cm}
Variables: $A$ et $B$ des nombres réels\\
\phantom{Variables:} $K$ et $N$ des nombres entiers\\
Initialisation: Affecter à  $A$ la valeur 1\\
\phantom{Initialisation:} Affecter à  $B$ la valeur 1\\
Traitement:\\
Entrer la valeur de N\\
Pour $K$ variant de 1 à  $N$\\
\phantom{xxxx} Affecter à  $A$ la valeur $\dfrac{A+\sqrt{A^2+B^2}}{3}$\\
\phantom{xxxx} Affecter à  $B$ la valeur $\dfrac{B}{3}$\\
FinPour\\
Afficher A
\end{minipage}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On exécute cet algorithme en saisissant \\
$N=2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à  $10^{-4}$ près).
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$K$ & $A$ & $B$ \\\hline
1& & \\\hline
2& & \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Pour un nombre $N$ donné, à  quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme  par rapport à  la situation étudiée dans cet exercice~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.\\
En déduire l'expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$, et l'expression de $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(b_n \right)$~? En déduire l'expression de $b_n$ en fonction de $n$, et déterminer  la limite de $\left(b_n \right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item
On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z'$:
\[
\left|z + z'\right|\leqslant |z| + \left|z'\right|\qquad\text{(inégalité triangulaire)}.
\]
Montrer que pour tout entier naturel $n$,
\[
\left|z_{n+1}\right|\leqslant\dfrac{2\left|z_n\right|}{3}.
\]

		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n= \left|z_n\right|$.\\
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_n\leqslant \left(\frac23\right)^n\sqrt{2}.
\]
En déduire que la suite\index{suite} $\left(u_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, \\
		$\left|a_n\right|\leqslant u_n$. En déduire que la suite $\left(a_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère une suite arithmético-géométrique $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=au_n+b$ où $a$ et $b$ sont des réels non nuls et $a\neq 1$.

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction $x\mapsto ax+b$. Déterminer son point fixe, c'est-à-dire la solution $\beta$ de l'équation $f(x)=x$.

\item Puisque $\beta$ est le point fixe de $f$, on a : $\beta=a\beta+b$.

On définit alors une suite auxiliaire $\left(v_n\right)$ par \[v_n=u_n-\beta\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}.\]

Montrer que $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$. On précisera son premier terme en fonction de $u_0$.

\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.

\item \textbf{Application} : soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n-3\end{cases}.\]

Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\item Cette suite est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
\end{enumerate}

\subsection{}%Belin symbole \no 91 page 92
On considère la fonction $f$ définie sur \\
$]-\infty~;~-4]\cup[0~;~+\infty[$ par \[f(x)=\sqrt{x^2+4x}-2x.\]
On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites en $-\infty$ et en $+\infty$ de la fonction $x\mapsto x^2+4x$.

\item En déduire les limites en $-\infty$ et en $+\infty$ de la fonction $x\mapsto \sqrt{x^2+4x}$.
\end{enumerate}

\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Peut-on raisonner comme à la question 2. pour déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ ?

\item À l'aide de la calculatrice, conjecturer la limite de $f$ en $+\infty$.

\item Justifier que, pour tout réel positif, \[f(x)=x\left(\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}-2\right).\]

\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ ; comparer avec la conjecture faite à la calculatrice.
\end{enumerate}


\end{enumerate}


\subsection{}%Polynésie septembre 2005
On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C.\\
\`A l'instant 0, la puce est en A.\\
Pour tout entier naturel $n$ :\\
$\bullet~$ si à l'instant $n$ la puce est en A, alors à l'instant $(n+1)$, elle est :

 soit en B avec une probabilité égale à $\cfrac{1}{3}$ ;

soit en C avec une probabilité égale à $\cfrac{2}{3}$.\\
$\bullet~$ si à l'instant $n$ la puce est en B, alors à l'instant $(n+1)$, elle est :

 soit en C, soit en A de fa\c{c}on équiprobable\\
$\bullet~$ si à l'instant $n$ la puce est en C, alors elle y reste.\\
On note $A_{n}$ (respectivement $B_{n},~ C_{n}$) l'év\`enement \og à l'instant $n$ la puce est en A \fg (respectivement en B, en C).\\
 On note $a_{n}$ (respectivement $b_{n},~ c_{n}$) la probabilité de l'év\`enement $A_{n}$, (respectivement $B_{n},~ C_{n}$).\\
On a donc : $a_{0} = 1,~ b_{0} = c_{0} = 0$.\\
\emph{Pour traiter l'exercice, on pourra s'aider d'arbres pondérés.}\\
\begin{enumerate} \item	Calculer $a_{k},~ b_{k}$ et $c_{k}$ pour $k$ entier naturel tel que $1 \leqslant k \leqslant 3$.
 \item	\begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ a_{n} + b_{n} +c_{n} = 1$ et $\left\{\begin{array}{l l l}
 a_{n+1} &=& \cfrac{1}{2}b_{n}\\
 b_{n+1}&=& = \cfrac{1}{3}a_{n}\\
 \end{array}\right.$\\
 \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ a_{n+2} = \cfrac{1}{6}a_{n}$.
 \item En déduire que, pour tout entier naturel $p,~\left\{\begin{array}{l c l}
 a_{2p}=\left(\cfrac{1}{6}\right)^p&\text{et}&~a_{2p+1} = 0\\
b_{2p} = 0&  \text{et}&b_{2p+1} = \cfrac{1}{3}\left(\cfrac{1}{6}\right) ^p\\
\end{array}\right.$.
\end{enumerate}
\item Montrer que $\lim_{n \to +\infty}  a_{n} =0$.\\
On admet que $\lim_{n \to +\infty}  b_{n} = 0$. Quelle est la limite de $c_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
\end{enumerate}


\subsection{}%Liban mai 2015
On considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = \text{e}^x$, tracée ci-dessous.\index{fonction exponentielle}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-2)(3,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-2)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3,5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{1.6}{2.71828 x exp}
\end{pspicture}
\end{center}

Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathcal{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit $m = \text{e}$.

Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{\text{e}}$, d'équation $y = \text{e}x$, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1.
\item Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$, le nombre de
points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}_m$.
\item Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}



\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  