\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Devoir sur feuille \no 2}}\end{center}

\emph{Les mathématiques devraient être regardées comme l'alphabet de toute philosophie. (Francis Bacon)
%voir http://villemin.gerard.free.fr/Langue/EnMotsRe.htm
}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $3x^2-5x-1=0$

\medskip

\item $x^4+4x^2-21=0$
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Déterminer un nombre entier  $n$, racine du polynôme $x^3-150x+500$. (On pourra utiliser une calculatrice)

\item Montrer que pour tout réel $x$, \[x^3-150x+500=(x-n)\left(ax^2+bx+c\right)\] où $a$, $b$ et $c$ sont des réels à déterminer.

\item En déduire les solutions de l'équation  \[x^3-150x+500=0.\]

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre soigneusement l'inéquation $\dfrac{2x+5}{x-5}\leqslant \dfrac{3x-1}{3x+1}$


\subsection{}
%http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermS/ctrle_2012_2013/02_ctrle_recurrencel_limite_suites_18_10_2012.pdf
On donne la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ , par : $\left\{\begin{array}{l}t _0 = 0\\t_{ n + 1} = t_ n + \dfrac{1}{ ( n + 1)( n + 2)}\end{array}\right.$.

\noindent Démontrer par récurrence que, pour tout naturel $n$ , on a : \[t_n=\dfrac{n}{n+1}.\]

\subsection{}%Polynésie septembre 2009
On réalise une expérience aléatoire. $A$ désigne un évènement et $\overline{A}$ son évènement contraire.

 On pose $p(A) = x$. 
\begin{enumerate}
\item  Exprimer $p\left(\overline{A}\right)$ en fonction de $x$. 
\item  Déterminer les valeurs possibles de $x$ sachant que : $p(A) \times  p\left(\overline{A}\right) = 0,24$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
La \og  Revue Spéciale d'Économie \fg{} et le \og Guide des Placements en Bourse \fg{} sont deux magazines mensuels offrant à leurs lecteurs la possibilité d'abonnement communs. 

On s'intéresse à l'ensemble des lecteurs de l'une ou l'autre de ces deux revues.
 
Parmi ces lecteurs, certains sont abonnés. Les abonnés ont souscrit soit l'un des deux abonnements, soit les deux abonnements simultanément.
 
Une étude a permis de constater que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 60\:\% de l'ensemble des lecteurs ont souscrit un abonnement à la ´ Revue Spéciale d'Économie \fg, et parmi eux $\dfrac{3}{5}$ ont aussi choisi l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg{} ; 
\item 10\:\% des lecteurs n'ayant pas choisi l'abonnement à la \og Revue Spéciale d'Économie \fg, ont souscrit l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note :
 
$A$ l'évènement : \og le lecteur a choisi l'abonnement à la "Revue Spéciale d'Économie"~\fg{} ;
 
$B$ l'évènement : \og le lecteur a choisi l'abonnement au "Guide des Placements en Bourse"  \fg.

\medskip
 
On interroge un lecteur au hasard.
 
\begin{enumerate}
\item Déduire de l'énoncé les probabi1ités $p(A),\:p\left(\overline{A}\right)$ et $p_{\overline{A}}(B)$.
 
Reproduire et compléter l'arbre suivant : 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}}
	{\TR{$B$}
	\TR{$\overline{B}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$}}
	{\TR{$B$}
	\TR{$\overline{B}$}
	}
}
\end{center}

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item Traduire par une phrase l'évènement $A \cap B$. Donner sa probabilité.
		\item Traduire par une phrase l'évènement $\overline{A} \cap \overline{B}$. Donner sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item Calculer $p(B)$. En déduire la probabilité qu'un lecteur soit abonné à la \og Revue Spéciale d'Économie \fg{} sachant qu'il est abonné au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
\item On interroge au hasard 3 lecteurs indépendamment les uns des autres. Calculer la probabilité pour qu'au moins l'un d'eux ait choisi l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
 
\end{enumerate} 

\subsection{}%Amérique du Nord juin 2005
Le graphique ci-dessous  sera complété et remis avec la copie.\\
Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 2] par 

\[f(x) = \dfrac{2x+1}{x+1}.\]

\begin{enumerate}\item	\'Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle [0 ; 2]. Montrer que si $x \in [1 ~;~2]$ alors $f(x) \in [1 ~;~2]$.

\item $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites définies sur $\mathbb{N}$ par :

 $u_{0} =1$ et pour tout entier naturel $n$,\[ u_{n+1} = f(u_{n}).\]

$v_{0} =2$ et pour tout entier naturel $n$,~ \[v_{n+1} =  f(v_{n}).\]

\begin{enumerate}\item Le graphique donné ci-dessous représente la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 2]. 

Construire sur l'axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ en laissant apparents tous les traits de construction.

 \`A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ?

\item Montrer  \`a l'aide d'un raisonnement par récurrence que :

Pour tout entier naturel $n,~ 1 \leqslant v_{n} \leqslant 2$.

Pour tout entier naturel $n,~ v_{n+1} \leqslant  v_{n}$.

On admettra que l'on peut démontrer de la m\^eme fa\c{c}on que :

Pour tout entier naturel $n,~ 1 \leqslant u_{n} \leqslant 2$.

Pour tout entier naturel $n,~ u_{n} \leqslant  u_{n+1}$.

\item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{v_{n} - u_{n}}{\left(v_{n}+ 1 \right)\left(u_{n} + 1\right)}$.

En déduire que pour tout entier naturel $n,~v_{n} - u_{n} \geqslant  0$ et \\$v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{4}\left(v_{n} - u_{n}\right)$.

\item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ v_{n} - u_{n} \leqslant \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$.

\item Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent vers un m\^eme réel $\alpha$.

Déterminer la valeur exacte de $\alpha$. (on admettra que $\alpha$ est solution de l'équation $f(x)=x$)

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{multicols}


\begin{center}
\psset{unit=5.3cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2,2)
\psgrid[subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,gridlabelcolor=white](0,0)(2,2)
\psaxes[Dx=0.5,Dy=0.5,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(2.1,2)
\psplot{0}{2}{2 x mul 1 add x 1 add div}
\uput[u](1,1.5){$\mathscr{C}_f$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\end{center}



\label{fin}
\end{document}  