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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS devoir sur feuille \no 3}}\end{center}

%\bigskip
%\emph{  On ne peut plus expliquer le monde, faire ressentir sa beauté à ceux qui n'ont aucune connaissance profonde des mathématiques. (Richard Feynman)}
%
%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2004}}
%\emph{Un jeu de hasard est formé d'un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante} :

% {\small \begin{center} \begin{tabular}{|*{15}{c|}}\hline
    
%    B&B&B&B&B&B&B&B&B&J&J&J&V&V&R\\ \hline
%    R&V&V&J&J&J&B&B&B&B&B&B&B&B&B\\ \hline
%    \end{tabular} \end{center}}
    
%\emph{La fléchette atteint toujours une case et une seule.}

%\emph{Les trente cases, blanches} (B), \emph{jaunes} (J), \emph{vertes} 
%(V) \emph{ou rouges} (R), \emph{ont toutes la même probabilité d'être 
%atteintes.}

%Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros.

%Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros.

%Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.

%Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd $a$ euros,  la lettre $a$ désigne un nombre réel positif.

\begin{enumerate} 
\item %On note $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté négativement quand il perd).

	\begin{enumerate} 
		\item %Donner la loi de probabilité de $X$.
Il y a 2 cases rouges, 4 cases vertes, 6 cases jaunes et 18 cases blanches, donc :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item[$\bullet~$] $p(X = 8) = \dfrac{2}{30} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{15}}}$

\medskip

 \item $p(X = 5) = \dfrac{4}{30} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{15}}}$

\medskip

\item $p(X = 0) = \dfrac{6}{30} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{15}}}$

\medskip

\item $p(X = -a) = \dfrac{18}{30} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{15}}}$
\end{enumerate}

\setlength\parindent{0mm}
		\item Calculer $a$ pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que l'espérance E($X$) soit nulle.
		
E($X = 0) \iff 8 \times  \dfrac{1}{15} + 5 \times \dfrac{2}{15} + 0 \times \dfrac{3}{15} - a \times \dfrac{9}{15} = 0\\
 \iff \dfrac{18 - 9a}{15} = 0 \iff \boxed{\textcolor{red}{a = 2}}.$
	\end{enumerate}
 
\item %Un joueur est considéré comme gagnant s'il a obtenu un gain strictement positif.

	\begin{enumerate} 
		\item %Quelle est la probabilité $p$ qu'un joueur gagne ?
La probabilité d'avoir un gain strictement positif est égale à : $\dfrac{1}{15} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{3}{15} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{5} = 0,20}}$.
		\item %Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. Quelle est la probabilité qu'il gagne exactement 2 fois ? exactement 5 fois ?
La variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $\boxed{\textcolor{red}{n = 5}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{p = \dfrac{1}{5}}}$.

La probabilité de gagner exactement 2 fois est : 

$p(Y = 2) = \binom{5}{2}\left(\dfrac{1}{5} \right)^2\left(1 - \dfrac{1}{5} \right)^{5 - 2} = 10 \times \left(\dfrac{1}{5} \right)^2\left(\dfrac{4}{5} \right)^3 \\
= 10 \times \dfrac{4^3}{5^5} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{128}{625} = \nombre{0,2048}}}.$

La probabilité de gagner exactement 5 fois est : 

$p(Y = 5) = \binom{5}{5}\left(\dfrac{1}{5} \right)^5\left(1 - \dfrac{1}{5} \right)^{5 - 5} = 1 \times \left(\dfrac{1}{5} \right)^5 =  \dfrac{1}{5^5} \\
=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{\nombre{3125}} = \nombre{0,00032}}}.$
		\item %Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite en \textbf{2. b.} ?
L'espérance mathématique de la variable $Y$ est égal au nombre moyen de partie(s) gagnante(s). 

$Y$ est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n = 5$ et de probabilité $p = \dfrac{1}{5}$, donc E$(Y) = 5 \times \dfrac{1}{5} = \boxed{\textcolor{red}{1}}.$

Sur 5 parties consécutives jouées, on gagne en moyenne une fois. 
	\end{enumerate}
 
\end{enumerate}


\subsection{}
On considère une suite arithmético-géométrique $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=au_n+b$ où $a$ et $b$ sont des réels non nuls et $a\neq 1$.

\begin{enumerate}
\item %Soit $f$ la fonction $x\mapsto ax+b$. Déterminer son point fixe, c'est-à-dire la solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=x$.
$f(x)=x\Leftrightarrow ax+b=x\Leftrightarrow b=x(1-a)\Leftrightarrow x=\dfrac{b}{1-a}$.

Le point fixe de $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{\alpha=\dfrac{b}{1-a}}}$.

\item Puisque $\alpha$ est le point fixe de $f$, on a : $\alpha=a\alpha+b$.

On définit alors une suite auxiliaire $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-\alpha\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}.$
%Montrer que $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$. On précisera son premier terme en fonction de $u_0$.
On a : $\begin{cases}u_{n+1}=au_n+b\\\alpha=a\alpha+b\end{cases}$.

Par soustraction, on obtient : $v_{n+1}=u_{n+1}-\alpha=au_n-a\alpha=a\left(u_n-\alpha\right)\Leftrightarrow v_{n+1}=av_n$.

On en déduit que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$ et de premier terme $v_0=u_0-\alpha$.

\item %En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{v_n=v_0\times a^n=\left(u_0-\alpha\right)a^n}}$

D'où $u_n=v_0\times a^n=\left(u_0-\alpha\right)a^n+\alpha$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\left(u_0-\dfrac{b}{1-a}\right)a^n+u_0-\dfrac{b}{1-a}}}$

\item \textbf{\textcolor{red}{Application}} : soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n-7\end{cases}$.

On est dans la situation précédente avec $a=\dfrac{1}{3}$, $b=-7$ et $u_0=4$. 

$\dfrac{b}{1-a}=\dfrac{-7}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{-7}{\frac23}=-\dfrac{21}{2}$

On en déduit que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_n=\left(4-\left(-\dfrac{21}{2}\right)\right)\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-\dfrac{21}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{29}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-\dfrac{21}{2}}}$
%Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\item %Cette suite est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
$-1<\dfrac{1}{3}<1$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty\left(\dfrac{1}{3}\right)}=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\dfrac{21}{2}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}%Hachette Barbazo \no 70 page 24
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate} \item $\boxed{\textcolor{red}{u_1=\dfrac{7}{3}}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{u_2=\dfrac{26}{9}}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{u_3=\dfrac{97}{27}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{u_4=\dfrac{356}{81}}}$.

\item La suite $\left(u_n\right)$ semble \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.
\end{enumerate}

\item Démontrons par récurrence que, pour tout $n$, $u_n\geqslant n+3$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $n = 0$, $u_0=0 + 3$ est vérifiée.

\item 
On suppose $u_n\leqslant  n+3 $.

$ u_n\leqslant  n+3\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}u_n\leqslant \dfrac{2}{3}n+2 \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1\leqslant \dfrac{2}{3}n+2+\dfrac{1}{3}n+1\Leftrightarrow u_{n+1}\leqslant  n+3\leqslant n+4=(n+1+3)$
\end{enumerate}.
La propriété est \fbox{\textcolor{red}{vraie pour tout entier n}}.

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$, $u_{n+1}-u_n\\
 \Leftrightarrow u_{n+1}-u_n\leqslant \dfrac{2}{3}u_n+n+3-u_n=-\dfrac{1}{3}\left(u_n\right)+\dfrac{1}{3}n+1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right)\leqslant 0}}$ pour tout $n$.

Pour tout $n$; $u_{n+1}-u_n=\geqslant 0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc bien \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item Pour tout entier $n$, $v_{n+1} = u_{n+1}-(n+1)\\
=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1-n-1=\dfrac{2}{3}u_n-\dfrac{2}{3}n=\dfrac{2}{3}\left(u_n-n\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}v_n}}$.

La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique, de raison $\dfrac{2}{3}$, avec comme premier terme $v_0=2$.

On en déduit que $v_n=2\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{u_n=2\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n+n}}$

\item $-1<\dfrac{2}{3}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0$ ; or, $\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=x^4+4x+1.\]
%Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $\mathbb{R}$ et déterminer une encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de ces solutions.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=4x^3+4=4\left(x^3+1\right)$.

La fonction $x\mapsto x^3$ est croissante sur $\mathbb{R}$, donc la fonction $x\mapsto x^3+1$ aussi. Comme $x^3+1=0\Leftrightarrow x^3=-1\Leftrightarrow x=-1$.

On en déduit que $f'(x)\leqslant 0$ sur $]-\infty~;~-1]$ et $f'(x)\geqslant 0$ sur $[-1~;~+\infty[$.

Pour $x\neq 0$, $f(x)x^4\left(1+\dfrac{4}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}\right)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=+\infty}}$.

$f(-1)=-2$.

On en déduit le tableau de variation de $f$ : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{+\infty}&\d&-2&\c&\h{+\infty}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}[a)]
\item Sur $]-\infty~;~-1]$, $f$ est continue (fonction polynôme), $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$ donc $f(x)$ prend des valeurs positives et $f(-1)=-2<0$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une solution dans l'intervalle $\infty~;~-1]$ et celle-ci est unique, car la fonction est croissante sur cet intervalle. Notons-la $\alpha$

\item De même, $f$ est continue sur $[-1~;~+\infty[$, $f(-1)=-2<0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ (donc $f(x)$ prend des valeurs positives).

D'après le théorème des valeurs intermédiaires,  l'équation $f(x)=0$ admet une solution dans l'intervalle $\infty~;~-1]$ et celle-ci est unique, car la fonction est décroissante sur cet intervalle. Notons-la $\beta$

L'équation $f(x)=0$ a donc deux solutions sur $\mathbb{R}$.

À la calculatrice, on trouve que $\boxed{\textcolor{red}{-1,50<\alpha<-1.49}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{-0,26<\beta<-0.25}}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2015}}
Dans un repère orthonormé (O,~I,~J,~K) d'unité 1 cm, on considère les points A$(0~;~-1~;~5)$,

B$(2~;~-1~;~5)$, C$(11~;~0~;~1)$, D$(11~;~4~;~4)$.

%\medskip
%
%Un point $M$ se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1~cm par seconde.
%
%Un point $N$ se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1~cm par seconde.
%
%À l'instant $t = 0$ le point $M$ est en A et le point $N$ est en C.
%
%On note $M_t$ et $N_t$ les positions des points $M$ et $N$ au bout de $t$ secondes, $t$ désignant un nombre réel positif.
%
%On admet que $M_t$ et $N_t$, ont pour coordonnées : $M_t(t~;~-1~;~5)$ et $N_t(11~;~0,8t~;~1 + 0,6 t)$.
%
%\medskip
%
%\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %La droite (AB) est parallèle à l'un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?
		Un vecteur directeur de la droite (AB) est $\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=2\overrightarrow{\text{OI}}$.
		
		La droite (AB) est donc parallèle à l'axe (OI).
		
		\item %La droite (CD) se trouve dans un plan $\mathcal{P}$ parallèle à l'un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK).
				
%Lequel ? On donnera une équation de ce plan $\mathcal{P}$.
On a $x_C=x_D=11$ donc la droite (CD) est incluse dans le plan $\mathcal{P}$ d'équation $\boxed{\textcolor{red}{x=11}}$.

		\item %Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan $\mathcal{P}$, coupe ce plan au point E$(11~;~-1~;~5)$.
		(AB) est parallèle à (OI) et (OI) est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ donc (AB) est orthogonale à $\mathcal{P}$.
		
		Le point d'intersection E a des coordonnées $(x~;~y~;~z) $ qui vérifient l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$ et la représentation paramétrique de $\mathcal{P}$.
		
		On doit avoir : $\left\{\begin{array}{l}x=11\\x=t\\y=-1\\z=5\end{array}\right.$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{E}(11~;~-1~;~5)}}$.
		
		\item %Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?
		Une représentation paramétrique de (AB) est $\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=-1\\z=5\end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}$ et une représentation paramétrique de (CD) est $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&11\\y&=&4+4t'\\z&=&3+4t'\end{array}\right.,~t'\in~\mathbb{R}$.
		On résout le système $\left\{\begin{array}{l c l}
t&=&11\\-1&=&4+4t'\\5&=&4+3t'\end{array}\right.$ qui n'a pas de solutions, car les deux dernières équations donnent deux valeurs différentes pour $t'$.
		
		Les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $M_tN_t^2 = 2 t^2 - 25,2 t + 138$.
		$\overrightarrow{M_tN_t}\begin{pmatrix}11-t\\0,8t+1\\0,6t-4\end{pmatrix}$ donc 
		
		$M_tN_t=\sqrt{(11-t)^2+(0,8t+1)^2+(0,6t-4)^2}\\
		=\sqrt{121-22t+t^2+0,64t^2-1,6t+1+0,36t^2-4,8t+16}\\
		=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2t^2-25,2t+138}}}$.
		
		\item %À quel instant $t$ la longueur $M_tN_t$ est-elle minimale?
		$M_tN_t$ est positif, donc est minimale quand son carré est minimal.
		
		\noindent On considère la fonction $f:t\mapsto 2t^2-25,2t+138$ ; $f$ est une fonction du second degré ; le coefficient de $t^2$ est 2. Le minimum est atteint pour $t=\dfrac{25,2}{4}=6,3$.
		
		\noindent La distance est \textbf{\textcolor{red}{minimale}} pour $\boxed{\textcolor{red}{t=6,3~ \text{s}}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}


\subsection{}%Barbazo \no 62 page 112

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[g(x)=x^3-3x-3.\]

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de $g$ et dresser son tableau de variation.
$\forall x\in\mathbb{R}$, $g'(x)=3x^2-3=3\left(x^2-1\right)=3(x+1)(x-1)$.

$g'(x)$ s'annule en -1 et en 1 ; $g'(x)$ est un polynôme du second degré, donc est du signe du coefficient de $x^2$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.

$g(-1)=-1$ et $g(1)=-5$.

On en déduit le tableau de variation de $g$
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&1&&\pI\\
\hline
g'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{g(x)}&\mI&\c&\h{-1}&\d&-5&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Calculer $g(3)$.
$g(3)=15>0$

\item %Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
Il est clair que $g(x)<0$ sur $]-\infty~;~1]$.

Sur $[1~;~3]$, $g$ est continue, $g(1)=-5<0$ et $g(3)=15>0$.

D'après le tvi, l'équation $g(x)=0$ admet une solution sur $[1~;~3]$  (unique puisque $g$ est continue sur cet intervalle). Notons $\alpha$ cette solution.

\item %À l'aide de la calculatrice, donner une encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-3}$.
À l'aide de la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{2,10<\alpha<2,11}}$.

\item %En déduire le tableau de signes de $g(x)$.
On en déduit le tableau de signes de $g(x)$ : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
g(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1~;~1\}$ par : \[f(x)=\dfrac{2x^3+3}{x^2-1}.\]

%Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus{-1~;~1}$ : \[f'(x)=\dfrac{2xg(x)}{\left(x^2-1\right)^2}.\]
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=2x^3+3\\v(x)=x^2-1\end{cases}$.

$f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=6x^2\\v'(x)=2x\end{cases}$

On en déduit : $f'(x)=\dfrac{6x^2\left(x^2-1\right)-2x\left(2x^3+3\right)}{\left(x^2-1\right)^2}=\dfrac{2x^4-6x^2-6x}{\left(x^2-1\right)^2}=\dfrac{2x\left(x^3-3x-3\right)}{\left(x^2-1\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2xg(x)}{\left(x^2-1\right)^2}}}$.

On remarque que $f'(x)$ est du signe de son numérateur.

\item %Étudier soigneusement les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $x\neq 0$, $f(x)=\dfrac{x^3\left(2+\frac3{x^3}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{x\left(2+\frac3{x^3}\right)}{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}$.

On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}}$

\item On trouve (avec le mêmes calculs) : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$

\item $\lim_{x\rightarrow -1}\left(2x^3+3\right)=1>0$ ; $\lim_{\substack{x\rightarrow -1\\x<-1}}\left(x^2-1\right)=0$ avec $x^2-1>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow -1\\x<-1}}f(x)=+\infty}}$

\item $\lim_{x\rightarrow -1}\left(2x^3+3\right)=1$ ; $\lim_{\substack{x\rightarrow -1\\x>-1}}\left(x^2-1\right)=0$ avec $x^2-1<0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow -1\\x>-1}}f(x)=-\infty}}$.

\item $\lim_{x\rightarrow 1}\left(2x^3+3\right)=5>0$ ; $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x<1}}\left(x^2-1\right)=0$ avec $x^2-1<0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow -1\\x<1}}f(x)=-\infty}}$

\item $\lim_{x\rightarrow 1}\left(2x^3+3\right)=5>0$ ; $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1}}\left(x^2-1\right)=0$ avec $x^2-1>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1}}f(x)=+\infty}}$

\end{enumerate}
\item %Dresser le tableau de variation de $g$ (on pensera à vérifier la cohérence des limites avec le tableau de variation).
Tableau de variation de $g$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&-1&&&0&&&1&&&\alpha&&\pI\\
\hline
x&&-&&\bb&&-&\z&+&&\bb&&+&\l&+&\\
\hline
g(x)&&-&&\bb&&-&\l&-&&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
f'(x)&&+&&\bb&&+&\z&-&&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
f'(x)&\mI&\c&\h{\pI}&\bb&\mI&\c&\h{-3}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&f(\alpha)&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item On a tracé ci-après la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$.

%Démontrer que la point $A$ d'abscisse $\alpha$ a pour ordonnée $f(\alpha)=\dfrac{3(2\alpha+3)}{\alpha^2-1}$.
$\alpha$ est la solution de l'équation $g(=0$ donc $\alpha^3=3\alpha+3$.\\
Alors : $f(\alpha)=\dfrac{2\alpha^3}{\alpha^2-1}=\dfrac{6\alpha+9}{\alpha^2-1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3(2\alpha+3)}{\alpha^2-1}}}$
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-6.)(4.,12.)
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\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1.,-2.)(1.,12.)
\psdots[dotsize=0.5,dotstyle=x](2.1038,6.311410208227941)
\rput[bl](2.2367780894214646,6.555704485421459){\darkgray{$A$}}
\uput[ul](0,0){O}
\uput[d](3,7){$\mathscr{C}$}
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\end{center}
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  