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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD \no 1 sur les logarithmes}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre : 

\begin{enumerate}[a)]
\item $\ln(x^2)=-1$

\bigskip

\item $\ln(x^2+2x)=\ln(2-x)$

\bigskip

\item $\ln(\ln x)=0$

\bigskip

\item $\ln(x+1)+\ln(x+2)=\ln\left[(x+1)(x+2)\right]$

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les inéquations :
\begin{enumerate}[a)]
\item $\ln(\ln x)\geqslant 0$

\bigskip

\item $\dfrac{\ln x+2}{\ln x-1}<0$

\bigskip

\item $\ln(x^2-4)>0$
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_0=\mathrm{e}\\u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_n}{\mathrm{e}}}\end{array}\right.$.

\begin{enumerate}
\item A l'aide de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite.

\item On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=\ln\left(u_n\right)+1$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

\item En déduire une expression de $v_n$ puis une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\item Déterminer la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}
%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{subsection}{0}
\vspace{1cm}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD \no 1 sur les logarithmes}}\end{center}


\begin{multicols}{2}
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\subsection{}
Résoudre : 

\begin{enumerate}[a)]
\item $\ln(x^2)=-1$

\bigskip

\item $\ln(x^2+2x)=\ln(2-x)$

\bigskip

\item $\ln(\ln x)=0$

\bigskip

\item $\ln(x+1)+\ln(x+2)=\ln\left[(x+1)(x+2)\right]$

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les inéquations :
\begin{enumerate}[a)]
\item $\ln(\ln x)\geqslant 0$

\bigskip

\item $\dfrac{\ln x+2}{\ln x-1}<0$

\bigskip

\item $\ln(x^2-4)>0$
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_0=\mathrm{e}\\u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_n}{\mathrm{e}}}\end{array}\right.$.

\begin{enumerate}
\item A l'aide de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite.

\item On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=\ln\left(u_n\right)+1$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

\item En déduire une expression de $v_n$ puis une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\item Déterminer la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  