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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : Correction du TD (fonction exponentielle)}}\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{Croissance du maïs}}
%On a représenté ci-dessous la hauteur (en mètres) d'un plant de maïs en fonction du temps (en jours).
%On modélise cette croissance par une fonction du type :
La croissance est modélisée par une fonction du type :
\begin{center}$h:t\mapsto \dfrac{a}{1+b\mathrm{e}^{-0,04t}}$.\end{center}
où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est le temps (en jours) et $h(t)$ la hauteur (en mètres) du plant.\par
%On sait que le plant mis en terre mesurait \mbox{0,1 m} et que sa hauteur plafonnera à  \mbox{2 m}.\\
%Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le plant mis en terre mesure 0,1 m, donc $h(0)=0,1\Leftrightarrow \dfrac{a}{1+b}=0,1$.

\item La hauteur plafonne à deux mètres, donc $\lim_{t\rightarrow +\infty}h(t)=2$.\\
$\lim_{t\rightarrow +\infty}(-0,04t)=-\infty$ donc $\lim_{t\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-0,04t}=\lim_{X\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{X}=0$ d'où $\lim_{x\rightarrow +\infty}h(t)=a$.

On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{a=2}}$.

Alors $\dfrac{a}{1+b}=0,1\Leftrightarrow \dfrac{2}{1+b}=0,1\Leftrightarrow 1+b=\dfrac{2}{0,1}=20$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{b=19}}$.

\item Conclusion : $\boxed{\textcolor{red}{h(t)=\dfrac{2}{1+19\mathrm{e}^{-0,04t}}}}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Distribution de Maxwell-Boltzmann}}
Les molécules d'un gaz enfermé dans un récipient à la
température $T$ sont animées d'une vitesse de $v$ \mbox{centimètres} par seconde.\\
Cet état d'équilibre est caractérisé par la fonction de \mbox{distribution}
de vitesse de Maxwell-Boltzmann $F$ définie par la formule :
\begin{center}$F(v)=cv^2\mathrm{e}^{-\tfrac{mv^2}{2kT}}$\end{center}
où $c$ et $k$ sont des constantes positives, $T$ est la température en \degres K (degrés Kelvin), $m$ la masse d'une molécule.\\
%Quelle est la valeur maximale de $F$ ?
$F(v)$ donne pour une vitesse $v$ donnée la probabilité que la vitesse d'une particule soit égale à $v$.

On étudie les variations de cette fonction.

$F=c\alpha\beta$ avec $\begin{cases}\alpha(v)=v^2\\\beta(v)=\mathrm{e}^{-\frac{m}{2kT}v^2}\end{cases}$
Alors $F'=(c\alpha\beta)'=c(\alpha\beta)'=c(\alpha'\beta+\alpha\beta')$.

On a $\alpha'(v)=2v$ et $\beta'(v)=-2\dfrac{m}{2kT}v\mathrm{e}^{-\frac{m}{2kT}v^2}=-\dfrac{m}{kT}v\mathrm{e}^{-\frac{m}{2kT}v^2}$.

Alors : $F'(v)=c\left[2v\mathrm{e}^{-\frac{m}{2kT}v^2}+v^2\times \left(-\dfrac{m}{kT}v\right)\mathrm{e}^{-\frac{m}{2kT}v^2}\right]=cv\mathrm{e}^{-\frac{m}{2kT}v^2}\left[2-\dfrac{mv^2}{kT}\right]$.

$v\geqslant 0$ (car c'est la vitesse d'une particule).

$F'(v)$ s'annule pour $v=0$ et pour $v_0=\sqrt{\dfrac{2kT}{m}}$.

Tableau de signes et de variation :

\begin{center}
\begin{variations}
v&0&&v_0&&\pI\\
\hline
v&&+&\l&+&\\
\hline
2-\dfrac{mv^2}{kT}&&+&\z&-&\\
\hline
F'(v)&&+&\z&-&\\
\hline
F(v)&0&\c&\h{F\left(v_0\right)}&\d&\\
%\hline
\end{variations}
\end{center}
Le maximum est $\boxed{\textcolor{red}{F\left(v_0\right)=\dfrac{2ckT}{m}\mathrm{e}^{-1}}}$


\subsection{\textcolor{blue}{D'après Pondichéry avril 2008}}
\emph{On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.}

\medskip

 Les parties A et B sont indépendantes




 \textbf{\textcolor{red}{Partie A : un modèle discret}}
 
Soit $u_{n}$ le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année $n$.

 On pose $n =0$ en 2005, $u_{0} = 1$  et, pour tout $n \geqslant 0,$
 \[u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_{n}\left(20 - u_{n } \right).\]

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur [0 ~;~ 20] par
\[ f(x)= \dfrac{1}{10}x(20 - x ).\]
	\begin{enumerate}
		\item  %Étudier les variations de $f$ sur [0 ~;~ 20].
		$F$ est une fonction polynôme du second degré ; le coefficient de $x^2$ est $-\dfrac{1}{10}<0$, donc la fonction est croissante puis décroissante. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, l'abscisse du sommet est $-\dfrac{b}{2a}=10$ et $f(10)=10$.
		\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&10&&20\\
\hline
\m{f(x)}&0&\c&\h{10}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

Sinon, $f'(x)=\dfrac{10-x}{5}$.

\item %En déduire que pour tout $x \in [0~;~20],~ f(x) \in [0~;~10]$.
D'après le tableau de variation, $ f(x) \in [0~;~10]$ pour $x\in[0~;~10]$.

\item %On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
%		
%Représenter, sur l'axe des abscisses,  à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$.
\psset{unit=0.545cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(21,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-3)(21,14)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-4,-3)(24,14)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500]{0}{20}{20 x sub x mul 10 div}
\psplot{0}{13}{x}
\psline[linecolor=red](1,0)(1,1.9)(1.9,1.9)(1.9,0)(1.9,3.439)(3.439,3.439)(3.439,0)(3.439,5.69533)(5.69533,5.69533)(5.69533,0)(5.69533,8.14698)(8.14698,8.14698)(8.14698,0)
\uput[d](1,-1){\scriptsize $u_{0}$}\uput[d](1.9,-1){\scriptsize $u_{1}$}
\uput[d](3.439,-1){\scriptsize $u_{2}$}
\uput[d](5.69533,-1){\scriptsize $u_{3}$}\uput[d](8.14698,-1){\scriptsize $u_{4}$}
\end{pspicture}
 	\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : On a $u_{1} = f\left(u_{0} \right) = f(1) = 2 - 0,1 = 1,9$

On a bien  $0 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 10$.

\textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : Supposons qu(il existe une valeur $n$ pour laquelle $0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$.

On a vu que sur l'intervalle [0 ; 10], le fonction $f$ est croissante, donc \\
$\leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \Rightarrow f\left(u_{n} \right) \leqslant  f\left(u_{n+1} \right) \iff u_{n+1} \leqslant u_{n+2}.$

De plus d'après la question \textbf{1. b.} quel que soit un nombre dans l'intervalle [0 ; 20] et \emph{a fortiori} dans l'intervalle [0 ; 10], son image par $f$ et elle aussi dans l'intervalle [0 : 10]. on a donc bien \\
$0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 10$.
La démonstration par récurrence est terminée. %Montrer par récurrence que pour tout $n \in  \N,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$.
\item On vient en fait de démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est croissante. Comme elle majorée par $10$, elle converge vers une limite $\ell$ inférieure ou égale à $10$.

Comme la fonction $f$ est continue on obtient par passage à la limite :
\[\ell = 2\ell - \dfrac{\ell^2}{10} \iff \ell = \frac{\ell^2}{10}\iff 1 = \frac{\ell}{10} \iff \ell = 10.\]
Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 10$.  %Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\medskip
	
 \textbf{\textcolor{red}{Partie B : un modèle continu}}
 
Soit $g(x)=\dfrac{10}{9\mathrm{e}^{-\frac12x}+1}$ le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année $x$.


\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $g$ sur $[0~; ~+\infty[$.

$g=10\times \dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=9\mathrm{e}^{-\frac12x}+1$.

$g'=10\times \dfrac{-u'}{u^2}$ donc $g'(x)=-10\times \dfrac{-\frac92\mathrm{e}^{-\frac12x}}{\left(9\mathrm{e}^{-\frac12x}+1\right)^2}=45\dfrac{\mathrm{e}^{-\frac12x}}{\left(9\mathrm{e}^{-\frac12x}+1\right)^2}>0$ donc $g$ est croissante

\item On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- \frac{x}{2}} = 0 $, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 10$.

Ceci signifie qu'à long terme le nombre de foyers équipés de téléviseurs à écran plat va se rapprocher de 10 millions.%Calculer la limite de $g$ en $+ \infty$ et interpréter le résultat.
\item Il faut résoudre l'inéquation $g(x) > 5 \iff \dfrac{10}{9\text{e}^{- \frac{x}{2}}+1} > 5 \iff 2 > 9\text{e}^{- \frac{x}{2}}+1 \iff 1 > 9\text{e}^{- \frac{x}{2}}\\
 \iff \dfrac{1}{9} > \text{e}^{- \frac{x}{2}}  \iff - \ln 9 > - \frac{x}{2} \iff \frac{x}{2} > \ln 9 \iff x > 2\ln 9$ soit environ 4,3 ans ou en 5 ans à 1 an près soit en  2010.%En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il $5$~millions ?

 \end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  