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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : Exercices (fonction exponentielle)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Croissance du maïs}}
On a représenté ci-dessous la hauteur (en mètres) d'un plant de maïs en fonction du temps (en jours).
\begin{center}
\psset{xunit=0.03cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-20,-0.4)(220,2.2)
%\psgrid[unit=0.005cm,yunit=1.5cm, subgriddiv=1,gridcolor=Gris1, gridlabels=0pt](0,0)(-0.5,-0.5)(220,2.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=25.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(220,2.2)
\psplot[linestyle=solid]{0}{220}{2/(1+19*EXP(-0.04*x))}
%\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](1.5,0){.07}
\uput[135](100,1.5){\large$\mathscr{C}$}
\rput[bl](30,0){\includegraphics[width=5.5cm]{mais.eps}}
\end{pspicture*}
\end{center}
On modélise cette croissance par une fonction du type :
\begin{center}$h:t\mapsto \dfrac{a}{1+b\mathrm{e}^{-0,04t}}$.\end{center}
où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est le temps (en jours) et $h(t)$ la hauteur (en mètres) du plant.\par
On sait que le plant mis en terre mesurait \mbox{0,1 m} et que sa hauteur plafonnera à  \mbox{2 m}.\\
Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

\subsection{\textcolor{blue}{Distribution de Maxwell-Boltzmann}}
Les molécules d'un gaz enfermé dans un récipient à la
température $T$ sont animées d'une vitesse de $v$ \mbox{centimètres} par seconde.\\
Cet état d'équilibre est caractérisé par la fonction de \mbox{distribution}
de vitesse de Maxwell-Boltzmann $F$ définie par la formule :
\begin{center}$F(v)=cv^2\mathrm{e}^{-\tfrac{mv^2}{2kT}}$\end{center}
où $c$ et $k$ sont des constantes positives, $T$ est la température en \degres K (degrés Kelvin), $m$ la masse d'une molécule.\\
Quelle est la valeur maximale de $F$ ?

\subsection{\textcolor{blue}{D'après Pondichéry avril 2008}}
\emph{On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.}

\medskip

 Les parties A et B sont indépendantes


\columnbreak

 \textbf{\textcolor{red}{Partie A : un modèle discret}}
 
Soit $u_{n}$ le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année $n$.

 On pose $n =0$ en 2005, $u_{0} = 1$  et, pour tout $n \geqslant 0,$
 \[u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_{n}\left(20 - u_{n } \right).\]

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur [0 ~;~ 20] par
\[ f(x)= \dfrac{1}{10}x(20 - x ).\]
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de $f$ sur [0 ~;~ 20].
		\item En déduire que pour tout $x \in [0~;~20],~ f(x) \in [0~;~10]$.
		\item On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
		
Représenter, sur l'axe des abscisses,  à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$.
 	\end{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in  \mathbb{N},~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 	10$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.35cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(24,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(24,14)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridlabels=0.2](0,0)(-4,-3)(24,14)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500]{0}{20}{20 x sub x mul 10 div}
\end{pspicture}

\end{center}
\medskip
	
 \textbf{\textcolor{red}{Partie B : un modèle continu}}
 
Soit $g(x)=\dfrac{10}{9\mathrm{e}^{-\frac12x}+1}$ le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année $x$.


\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $g$ sur $[0~; ~+\infty[$.

\item Calculer la limite de $g$ en $+ \infty$ et interpréter le résultat.

\item En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il $5$~millions ?
 \end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  