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% pour le pied de page central
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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de révisions sur les suites}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%http://www.lyc-cassin-gonesse.ac-versailles.fr/IMG/pdf/all_suites.pdf
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[u_n =\dfrac{2n^2 + 1}{n^2 + 5}.\]

Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite strictement croissante sur $\mathbb{N}$.

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[u_n = 1 +\dfrac{1}{2^2} +\dfrac{1}{3^2} +\cdots+\dfrac{1}{n^2}.\]

Montrer que $\left(u_n\right)$ est strictement croissante sur $\mathbb{N}$.

\subsection{}
Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par :
\begin{enumerate}
\item $u_n = n^2 + 4n + 3$

\medskip

\item $u_n =\dfrac{2^n}{n + 1}$

\medskip

\item $u_n =\dfrac{1-n^2}{n + 2}$

\medskip

\item $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n-\dfrac{1}{n + 1}$
\end{enumerate}


\subsection{}
On admet que les suites suivantes de terme général $u_n$ ont une limite quand $n$ tend vers $=\infty$ ; calculer leurs limites.

\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{2n+1}{3n-5}$

\medskip

\item $u_n=\dfrac{-4n^2 + 3n + 3}{n^2-n + 4}$

\medskip

\item $u_n = 2n-\sqrt{4n^2 -3n + 1}$

\medskip

\item $u_n =\dfrac{4^n - 3^n}{4^n + 2^n}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $a\in[-1~;~+\infty[$. On définit la suite $\left(u_n\right)$ sur $\mathbb{N}$ par : $\begin{cases}u_0 = a\\u_{n+1} =
\sqrt{1 + u_n}\end{cases}$

À l’aide d’un raisonnement par récurrence, étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.

\subsection{}
On considère la suite $ \left(u_n\right)$ définie par $ u_0=5$ et, pour tout entier $ n$ ,  $ 3u_{n+1}=u_n+4$ .

\begin{enumerate}
\item Calculer $ u_1$ et $ u_2$ . 

\item Démontrer que, pour tout entier $ n$ ,  $ u_n\geqslant 2$ . 

\item Montrer que $ (u_n)$ est une suite décroissante. 

\item Montrer que la suite $ (u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

\item On pose, pour tout entier $ n$ , $ v_n=u_n-2$ .

\begin{enumerate}
\item Montrer que $ (v_n)$ est une suite géométrique.


\item En déduire l'expression de $ v_n$ en fonction de $ n$ . 
\end{enumerate}

Soit  $ \displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n v_k=v_0+v_1+\dots+v_n$ et  

$ \displaystyle T_n=\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+\dots+u_n$ .

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'expression de $ S_n$ , puis de $ T_n$, en fonction de  $ n$ . 

\item Déterminer  $ \displaystyle \lim_{n\to+\infty} S_n$ et  $ \displaystyle \lim_{n\to+\infty} T_n$ .

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}%http://xymaths.free.fr/Lycee/TS/Exercices-Corriges-Suites.php
Soit la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur  $\mathbb{N}^*$ par  $ u_n=\dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}$ .



\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout  $ n\in\mathbb{N}^*$ ,  \[u_n=1-\dfrac{1}{(n+1)^2}. \]


\item Prouver que, pour tout  $ n\in\mathbb{N}^*$ ,  $ 0<u_n<1$ . 

\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ . 

\end{enumerate}


\item On pose  $ x_n=u_1 \times u_2\times \cdots \times u_n$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier  $ n\in\mathbb{N}^*$ ,  $ x_n=\dfrac{n+2}{2(n+1)}$ 


\item Déterminer la limite de la suite $ (x_n)$ . 

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  