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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de démonstrations par récurrence}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%http://www.lyc-cassin-gonesse.ac-versailles.fr/IMG/pdf/all_suites.pdf
On définit, pour tout entier $n\geqslant 1$, le $n\ieme$ nombre triangulaire par $t_n = 1 + 2 +\cdots+ n =\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Démontrer que, pour entier $n\geqslant 1$, on a : \[\sum_{k=1}^nt_k =\dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{6}.\]

\subsection{}
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$ , on a :

\[S_n=\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}=1-\dfrac{1}{n+1}\]

\subsection{}
La suite de Fibonacci est la suite $\left(F_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $F_{1}=F_{2}=1$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}.\]
Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[F_{1}^2+F_{2}^2+\cdots+F_{n}^2=F_{n}\times F_{n+1}.\]


\subsection{}
Démontrer que, pour tout entier naturel n, l’entier $3^{2n}-2^n$ est un multiple de 7.

\columnbreak
\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2}}$.

Montrer, par récurrence, que pour tout $n\geqslant 1$ on a : \[\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqslant u_n\leqslant 1\]

\subsection{}
Soit $f$  la fonction définie par $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$  pour tout $x\neq1$.

Démontrer que, pour tout entier $n\geqslant 1$,  \[f^{(n)}(x)=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}\]  où $f^{(n)}$  désigne la dérivée n-ième  de $f$  et 

$n!=1\times 2\times 3\times \cdots\times n$

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=2$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=2u_n-n$.

Démontrer que, pour tout $n$, $u_{n}=2^n+n+1$.

\subsection{}
Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$, $u_1=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , par $u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n-2$ est monotone.

\subsection{}
Montrer que, pour tout entier $ n\geqslant$ 1 ,    \[\sum_{k=1}^n k\times k!=(n+1)!-1\] .

\end{multicols}
.
\label{fin}
\end{document}  