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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de baccalauréat}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}



\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2016}}
\textbf{Partie A}

Voici deux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ qui donnent pour deux personnes $P_1$ et $P_2$ de corpulences différentes la concentration $C$ d'alcool dans le sang (taux d'alcoolémie) en fonction du temps $t$ après ingestion de la même quantité d'alcool. L'instant $t = 0$ correspond au moment où les deux individus ingèrent l'alcool.

$C$ est exprimée en gramme par litre et $t$ en heure.

\emph{Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps}

\begin{center}
\psset{unit=1.3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.5)(6.5,1.75)
\psaxes[linewidth=.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(6.5,1.75)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{2 x mul 2.71828 x exp div}
\uput[u](1.5,1){$\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{3 x mul 2.71828 x exp div}\uput[u](1.5,0.65){\blue $\mathcal{C}_2$}
\uput[u](6.25,0){$t$}\uput[r](0,1.65){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La fonction $C$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $C'$ sa fonction dérivée. À un instant $t$ positif ou nul, la vitesse d'apparition d'alcool dans le sang est donnée par $C'(t)$.

À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?

\emph{On dit souvent qu'une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l'alcool.}
\item Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus
corpulente. Justifier le choix effectué.
\item Une personne à jeun absorbe de l'alcool. On admet que la concentration $C$ d'alcool
dans son sang peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(t) = A t\text{e}^{-t}\]\index{fonction exponentielle}

où $A$ est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d'alcool
absorbée.
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(0)$.
		\item L'affirmation suivante est-elle vraie ?
		
\og À quantité d'alcool absorbée égale, plus $A$ est grand, plus la personne est corpulente. \fg
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Un cas particulier}

\medskip

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de
rhum. La concentration $C$ d'alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé
en heure, par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(t) = 2 t\text{e}^{-t}.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item À quel instant la concentration d'alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ? Arrondir à $10^{-2}$ près.
\item Rappeler la limite de $\dfrac{\text{e}^t}{t}$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et en déduire celle de $f(t)$ en $+ \infty$.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle
que la législation autorise une concentration maximale d'alcool dans le sang de $0,2$~g.L$^{-1}$ pour un jeune conducteur.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe deux nombres réels $t_1$ et $t_2$ tels que 
		
$f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2$.
		\item Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant
en toute légalité ?
		
Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
	\end{enumerate}
\item La concentration minimale d'alcool détectable dans le sang est estimée à 
	
$5 \times 10^{-3}$~g.L$^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe un instant $T$ à partir duquel la concentration d'alcool dans le sang n'est plus détectable.
		\item On donne l'algorithme suivant où $f$ est la fonction définie par 
		
$f(t) = 2 t\text{e}^{-t}$.\index{algorithme}
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline

\textbf{Initialisation} :	& $t$ prend la valeur $3,5$\\
							&$p$ prend la valeur $0,25$\\
							&$C$ prend la valeur $0,21$\\
\textbf{Traitement} :		& Tant que $C > 5 \times 10^{-3}$ faire :\\
							&\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
								$t$ prend la valeur $t + p$\\
								$C$ prend la valeur $f(t)$
							\end{tabular}\\
							&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}:			&Afficher $t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme.
		
Arrondir les valeurs à $10^{-2}$ près.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&Initialisation &Étape 1& Étape 2\\ \hline
$p$	&0,25		&			&\\ \hline
$t$	&3,5		&			&\\ \hline
$C$	&0,21		&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2015}}
Soit $a$ un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par :\index{suite}

\[u_0 = a\quad  \text{et,  pour tout}\: n\:  \text{de}\:\: \mathbb{N},\quad u_{n+1} = \text{e}^{2u_n} - \text{e}^{u_n}.\]

On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire : \[u_{n+1} = \text{e}^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} - 1\right)\].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : 

\[g(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - x.\]\index{fonction exponentielle}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g '(x)$ et prouver que, pour tout réel $x $ :  \[g'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(2\text{e}^{x} + 1\right).\]
		\item Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de son minimum.
		\item En remarquant que $u_{n+1} - u_n = g\left(u_n\right)$, étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
 	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $a \leqslant 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \leqslant 0$.
		\item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
		\item Dans le cas où $a$ vaut $0$, donner la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
 	\end{enumerate}		
\item Dans cette question, on suppose que $a > 0$.
	
La suite $\left(u_n\right)$ étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout entier naturel $n$,\:$u_n\geqslant a$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[u_{n+1} - u_n \geqslant g(a).\]
		
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : 
		
		$u_n \geqslant a + n \times g(a)$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
 	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $a = 0,02$.
	
L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n > M$, où $M$
désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.\index{algorithme}
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\textbf{Variables}& $n$ est un entier, $u$ et $M$ sont deux réels\\ \hline
&$u$ prend la valeur $0,02$\\
\textbf{Initialisation}& $n$ prend la valeur 0\\
&Saisir la valeur de $M$\\ \hline
\textbf{Traitement}&Tant que \ldots\\
&\ldots\\
&\ldots\\
&Fin tant que\\ \hline
\textbf{Sortie}& Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Sur la copie, recopier la partie \og Traitement \fg{} en la complétant.
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si $M = 60$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  