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% pour le pied de page central
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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de géométrie dans l'espace}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2006}}
L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.

Soit $\left(P_{1}\right)$ le plan d'équation cartésienne \[-2 x +y 
+ z-6 = 0\]  et $\left(P_{2}\right)$ le plan d'équation 
cartésienne \[x-2y+ 4z-9 =0\].
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont 
perpendiculaires.

On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si 
un vecteur normal non nul à l'un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l'autre.
\item  Soit (D) la droite d'intersection de $\left(P_{1}\right)$ et 
$\left(P_{2}\right)$.


Montrer qu'une représentation paramétrique de (D) est : 
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& -7 + 2t\\
y&=& - 8 + 3t\\
z& =&t\\
\end{array}\right. (t~\in~\mathbb{R}).\]
\item  Soit $M$ un point quelconque de (D) de paramètre $t$ et soit 
A le point de coordonnées
$(-9~;~-4~;~- 1)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que A n'appartient ni à $\left(P_{1}\right)$, ni 
à $\left(P_{2}\right)$.
		\item  Exprimer A$M^2$ en fonction de $t$.
		\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=2t^2 -2t + 
3.$
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Étudier les variations de $f$.
\item[$\bullet~$] Pour quel point $M$, la distance A$M$ est-elle 
minimale ?

Dans la suite, on désignera ce point par I.
\item[$\bullet~$] Préciser les coordonnées du point I.
 \end{itemize}
	\end{enumerate}
\item  Soit (Q) le plan orthogonal à (D) passant par A.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une équation de (Q).
		\item  Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du sud novembre 2006}}
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on 
considère les points :

A de coordonnées $(3 ~;~ 1 ~;~-5)$, B de coordonnées $(0 ~;~ 4 
~;~ -5)$, C de coordonnées $(-1 ~;~ 2 ~;~ -5)$ et D de 
coordonnées (2 ; 3 ; 4).

\emph{Pour chacune des six affirmations ci-dessous, 
préciser si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.}
\begin{enumerate}
\item Les points A, B et D sont alignés.
\item La droite (AB) est contenue dans le plan d'équation 
cartésienne : $x + y = 4$.
\item Une équation cartésienne du plan (BCD) est : $18x - 9y - 5z 
+ 11 = 0$.
\item Les points A, B, C et D sont coplanaires.
\item La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan 
(BCD).

\item Une représentation paramétrique de la droite (BD) est : 
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1-2k\\
y&=&\dfrac{7}{2}+k,~~\\
z&=& - \dfrac{1}{2} - 9k\\
\end{array}\right.  k \in \mathbb{R}\]
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{D'après Nouvelle-Calédonie mars 2008}}
L'espace est rapporté à un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)${} orthonormé. Soit $t$ un nombre réel.
On donne le point A$(-1~;~2~;~3)$	et la droite $\mathcal{D}$ de système d'équations paramétriques :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&9 + 4t\\
y&=&6 + t\\
z&=&2 + 2t\\
\end{array}\right.\]
Le but de cet exercice est de calculer de deux façons différentes la distance $d$ entre le point A et la droite $\mathcal{D}$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$, perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$ et passant par A.
		\item Vérifier que le point B$(-3~;~3~;~-4)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
		\item On admet que la distance entre un point $M_0\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ et un plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ est $\dfrac{\left\vert ax_0+by_0+cz_0+d \right\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
		
		Calculer la distance $d_{\text{B}}$ entre le point B et 
le plan $\mathcal{P}$.
		\item Exprimer la  distance $d$ en fonction de $d_{\text{B}}$ et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de $d$.
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}$. Exprimer A$M^2$ en fonction de $t$. Retrouver alors la valeur de  $d$.
\end{enumerate}

\end{multicols}


\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2013}}
L'espace est rapporté à  un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent des paramètres réels.

Le plan (P) a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$. 

Le plan (S) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 + t + 2t'\\
y&=&- t - 2t'\\
z&=&- 1 - t + 3t'
\end{array}\right.$ 

La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 + t\\
y&=&- t \\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right.$
 
On donne les points de l'espace M$(-1~;~2~;~3)$ et N$(1~;~-2~;~9)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une représentation paramétrique du plan (P) est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t\\y&=& 1- 2t\\ z&=& -1 + 3t \end{array}\right.$&
\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t + 2t'\\y&=& 1- t + t'\\z&=& - 1 - t\end{array}\right.$\\\\
\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l} 	 
x&=&t + t'\\ y&=& 1 - t- 2t'\\z&=& 1 - t - 3t'\end{array}\right.$& 
\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 1 + 2t + t'\\y&=& 1 - 2t + 2t'\\z&=& - 1 - t'\end{array}\right.$
\end{tabularx}

\medskip 	 	 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A$(- 8~;~3~;~2)$. 
		\item La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires. 
		\item La droite (D) est une droite du plan (P). 
		\item La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.
	\end{enumerate}		 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les plans (P) et (S) sont parallèles. 
		\item La droite $(\Delta)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&t\\y&=&- 2 - t\\z &=& -3-t \end{array}\right.$ est la droite d'intersection des plans  (P) et (S). 
		\item Le point M appartient à  l'intersection des plans (P) et (S). 
		\item Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}  