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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS - probabilités conditionnelles- exercices de bac}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2010}}
Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
 
Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
 
L'évènement : \og le $n$-ième sondage est positif \fg{} est noté $V_{n}$, on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $V_{n}$. 

\medskip

L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que: 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d'être aussi positif; 
\item[$\bullet~$] si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d'être aussi négatif. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : $p_{1} = 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item A : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont positifs \fg{} ; 
		\item B : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont négatifs \fg.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la probabilité $p_{3}$ pour que le 3\up{e} sondage soit positif. 
\item $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
 
Recopier et compléter l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé : 

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\Tdot\taput{$p_{n}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_{n+1}$}\taput{\psframe(0.7,0.4)}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\psframe(0.7,-0.4)}
 		}
	\pstree{\Tdot\tbput{$1 - p_{n}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_{n+1}$}\taput{\psframe(0.7,0.4)}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\psframe(0.7,-0.4)}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, établir que : $p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,1$. 
\item On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = p_{n} - 0,2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $u$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer la limite, quand $n$ tend vers $+ \infty$, de la probabilité $p_{n}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


%\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2009}}
%Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussette auprès de trois fournisseurs $\mathcal{F}_{1},~\mathcal{F}_{2},$ $\mathcal{F}_{3}$.
%
%Dans l'entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique.
%
%La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$, le tiers par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ et le reste par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$.
%
%\medskip
%
%Une étude statistique a montré que 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 5\:\% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur  $\mathcal{F}_{1}$ ont un défaut ;
%\item[$\bullet~$] 1,5\:\% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur  $\mathcal{F}_{2}$ ont un défaut ;
%\item[$\bullet~$] sur l'ensemble du stock, 3,5\:\% des paires de chaussette  ont un défaut.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\begin{enumerate}
%\item On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l'entreprise.
%
%\medskip
%
%On considère les évènements F$_{1}$, F$_{2}$, F$_{3}$ et D suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] F$_{1}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ \fg{} ;
%\item[$\bullet~$] F$_{2}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ \fg{} ;
%\item[$\bullet~$] F$_{3}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$ \fg{} ;
%\item[$\bullet~$] D : \og La paire de chaussettes prélevée présente un défaut \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%\begin{enumerate}
%\item Traduire en termes de probabilités les données de l'énoncé en utilisant les évènements précédents.
%
%\emph{Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cet expérience.}
%
%\medskip
%
%\item Calculer la probabilité qu'une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ et présente un défaut.
%\item Calculer la probabilité de l'évènement F$_{2} \cap \text{D}$.
%\item En déduire la probabilité de l'évènement F$_{3} \cap \text{D}$.
%\item Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$, quelle est la probabilité qu'elle présente un défaut ?
%\end{enumerate}
%\item L'entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires.
%
%On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, succesifs avec remise.
%
%	\begin{enumerate}
%		\item Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d'un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.
%		\item Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu'au plus une paire de chaussettes d'un lot présente un défaut est égale à $0,983.$
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2007}}
La végétation d'un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plantes :

40\:\% sont de type A, 41\:\% de type B et 19\:\% de type C.

On admet qu'au début de chaque année :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.
\item[$\bullet$]  chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante
de type A, B ou C.
\item[$\bullet$]  chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
La probabilité qu'une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est $0,6$ et celle qu'elle le soit par une plante de type B est $0,3$.

 La probabilité qu'une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est $0,6$ et celle qu'elle le soit par une plante de type A est $0,3$.
 
Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] A$_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type A \fg,
\item[$\bullet$] B$_{n}$ l'èvénement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type B \fg,
\item[$\bullet$] C$_{n}$ l'èvénement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type C \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On désigne par $p_{n},~ q_{n}$ et $r_{n}$ les probabilités respectives des événements A$_{n}$,  B$_{n}$ et C$_{n}$.

Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l'année $n^{\circ} 0$) on pose : $p_{0} =0,40, ~q_{0} =  0,41$ et $r_{0} = 0,19$.
 

\begin{enumerate}
\item  Recopier sur la copie et compléter l'arbre pondéré
ci-contre, en remplaÁant chaque point d'interrogation
par la probabilité correspondante. Aucune justification
n'est demandée pour cette question.
\item  \begin{enumerate}
\item  Montrer que $p_{1} = 0,363$ puis calculer $q_{1}$ et $r_{1}$.
\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[\left\{\begin{array}{l c l}
p_{n+1}&=& 0,6p_{n} + 0,3 q_{n}\\
q_{n+1}& =& 0,3p_{n} + 0,6q_{n}\\
\end{array}\right.\]
 \end{enumerate}
\item  On définit les suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$ sur $\mathbb{N}$ par
$S_{n} = q_{n} + p_{n}$ et $D_{n} = q_{n} - p_{n}$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\left(S_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on
précisera la raison. On admet que $\left(D_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,3$.
\item  Déterminer les limites des suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$.
\item  En déduire les limites des suites $\left(p_{n}\right),~ \left(q_{n}\right)$ et $\left(r_{n}\right)$.
Interpréter le résultat.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}




\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=8mm}
\begin{pspicture}(5,6)
\rput(1.75,5.5){début de} \rput(1.75,4.5){l'année $n^{\circ} 0$}
\rput(5.75,5.5){début de} \rput(5.75,4.5){l'année $n^{\circ} 1$}
\psline[linestyle=dashed](2,4.3)(2,2.7)
\psline[linestyle=dashed](4,4.3)(4,3.6)
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{A}\taput{?}}
		{\TR{A}\taput{?}
		\TR{B}\taput{?}
		\TR{C}\taput{?}
		}
\pstree[]{\TR{B}\taput{?}}
		{\TR{A}\taput{?}
		\TR{B}\taput{?}
		\TR{C}\taput{?}
		}
\pstree[]{\TR{C}\taput{?}}
		{\TR{C}\taput{?}
		
		}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}

\newpage
\setcounter{subsection}{0}

\textbf{\textcolor{red}{Correction}}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2010}}
\begin{enumerate}
\item %Calculer les probabilités des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item A : %\og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont positifs \fg{} ;
		D'apr\`es l'\'enonc\'e $p\left(V_{2} \right) = 0,6$ et $p_{V_{2}}(V_{3} = 0,6$, donc $p\left(V_{2}\cap V_{3} \right) = p\left(V_{2} \right) \times p_{V_{2}}\left(V_{3} \right) = 0,6 \times 0,6 = 0,36$. 
		\item B : %\og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont négatifs \fg.
On a $p\left(V_{2} \right) = 0,6 \Rightarrow p\left(\overline{V_{2}} \right) = 1 - 0,6 = 0,4$ et d'apr\`es l'\'enonc\'e $p_{\overline{V_{2}}}\left(V_{3} \right) = 0,9$.

Donc $p\left(\overline{V_{2}} \cap \overline{V_{3}}  \right) = p\left(\overline{V_{2}} \right) \times p_{\overline{V_{2}}}\left(\overline{V_{3}} \right) = 0,4 \times 0,9 = 0,36$.
	\end{enumerate} 
\item %Calculer la probabilité $p_{3}$ pour que le 3\up{e} sondage soit positif. 
On a $p_{3} = p\left(V_{3}\right) = p\left(V_{3}\cap V_{2} \right) + p\left(V_{3}\cap \overline{V_{2}} \right)$.

Or $p\left(V_{3} \cap \overline{V_{2}} \right) = p\left(\overline{V_{2}} \right) \times p_{\overline{V_{2}}}\left(V_{3}\right) = 0,4 \times (1 - 0,9) = 0,4 \times 0,1 = 0,04$.

Conclusion : $p_{3} = 0,36 + 0,04 = 0,4$.
\item %$n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
 
%Recopier et compléter l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé : 

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\Tdot\taput{$p_{n}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_{n+1}$}\taput{\psframe(0.7,0.4)\rput(0.35,0.2){0,6}}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\psframe(0.7,-0.4)\rput(0.35,-0.2){0,4}}
 		}
	\pstree{\Tdot\tbput{$1 - p_{n}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_{n+1}$}\taput{\psframe(0.7,0.4)\rput(0.35,0.2){0,1}}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\psframe(0.7,-0.4)\rput(0.35,-0.2){0,9}}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, établir que : $p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,1$.
On a (ce que l'on peut voir sur l'arbre) :

$p_{n+1}= p\left(V_{n+1} \right)  = p\left(V_{n+1}\cap V_{n} \right) + p\left(V_{n+1} \cap \overline{V_{n}} \right) = p_{n} \times 0,6 + \left(1 - p_{n}\right)\times 0,1 = 0,6p_{n}- 0,1p_{n} + 0,1 = 0,5p_{n} + 0,1$. 
\item %On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = p_{n} - 0,2$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $u$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = p_{n+1} - 0,2 =  0,5p_{n} + 0,1 - 0,2 = 0,5p_{n} - 0,1 = 0,5\left(p_{n} - 0,1\right) = 0,5u_{n}$.

Cette \'egalit\'e montre que la suite $u$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $0,5$ ; son premier terme est $u_{1} = p_{1} - 0,2 = 1 - 0,2 = 0,8$.
		\item %Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que pour tout entier naturel $n$ non nul $u_{n} = u_{1}\times r^{n - 1} = 0,8 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = \dfrac{0,8}{2^{n-1}}$.

De la d\'efinition de $u_{n}$ il r\'esulte que $p_{n} = 0,2 + \dfrac{0,8}{2^{n-1}}$. 
		\item %Calculer la limite, quand $n$ tend vers $+ \infty$, de la probabilité $p_{n}$.
On sait que $0 <\dfrac{1}{2} < 1$ entra\^{\i}ne que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{0,8}{2^{n-1}} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_{n} = 0,2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2009}}
%%\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%%Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussette auprès de trois fournisseurs $\mathcal{F}_{1},~\mathcal{F}_{2},$ $\mathcal{F}_{3}$.
%
%%Dans l'entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique.
%
%%La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$, le tiers par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ et le reste par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$.
%
%%\medskip
%
%%Une étude statistique a montré que 
%
%%\setlength\parindent{5mm}
%%\begin{itemize}
%%\item[$\bullet~$] 5\:\% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur  $\mathcal{F}_{1}$ ont un défaut ;
%%\item[$\bullet~$] 1,5\:\% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur  $\mathcal{F}_{2}$ ont un défaut ;
%%\item[$\bullet~$] sur l'ensemble du stock, 3,5\:\% des paires de chaussette  ont un défaut.
%%\end{itemize}
%%\setlength\parindent{0mm}
%
%\begin{enumerate}
%\item %On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l'entreprise.
%
%\medskip
%
%%On considère les évènements F$_{1}$, F$_{2}$, F$_{3}$ et D suivants :
%
%%\setlength\parindent{5mm}
%%\begin{itemize}
%%\item[$\bullet~$] F$_{1}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ \fg{} ;
%%\item[$\bullet~$] F$_{2}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ \fg{} ;
%%\item[$\bullet~$] F$_{3}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$ \fg{} ;
%%\item[$\bullet~$] D : \og La paire de chaussettes prélevée présente un défaut \fg.
%%\end{itemize}
%%\setlength\parindent{0mm}
%	\begin{enumerate}
%		\item %Traduire en termes de probabilités les données de l'énoncé en utilisant les évènements précédents.
%On a : $p\left(\text{F}_{1}\right) = \dfrac{1}{2}~; ~p\left(\text{F}_{2}\right) = \dfrac{1}{3}$. Puis :
%
%$p_{\text{F}_{1}}(D) = \dfrac{5}{100} = \dfrac{1}{20}~;~p_{\text{F}_{2}}(D) = \dfrac{1,5}{100} = \dfrac{15}{1000}\dfrac{3}{200}~;~p(D) = \dfrac{3,5}{100} = \dfrac{35}{1000} = \dfrac{7}{200}$.
%
%%\emph{Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cet expérience.}
%
%\medskip
%
%\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
%{
%	\pstree{\TR{F$_{1}$}\taput{$\frac{1}{2}$}}
%	  { 
%		  \TR{D}\taput{$\frac{1}{20}$}
%		  \TR{$\overline{\mathrm{D}}$}\tbput{\ldots}	   
%	  }
%	\pstree{\TR{F$_{2}$}\tbput{$\frac{1}{3}$}}
%	  {
%		  \TR{D}\taput{$\frac{3}{200}$}
%		  \TR{$\overline{\mathrm{D}}$}\tbput{\ldots} 
%	  }
%	\pstree{\TR{F$_{3}$}\tbput{\ldots}}
%	  {
%		  \TR{D}\taput{\ldots}
%		   \TR{$\overline{\mathrm{D}}$}\tbput{\ldots}
%	  }	
%}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%		\item %Calculer la probabilité qu'une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ et présente un défaut.
%		Cette probabilité est égale à $p\left(\text{F}_{1}\right) \times p_{\text{F}_{1}}(D) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{40}= \dfrac{5}{200}$.
%		\item %Calculer la probabilité de l'évènement F$_{2} \cap \text{D}$.
%De la m\^eme faÁon cette probabilité est égale à (troisième branche) à $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{200} = \dfrac{1}{200}.$
%		\item %En déduire la probabilité de l'évènement F$_{3} \cap \text{D}$.
%On a $p\left(\text{F}_{3}\right) = 1 - p\left(\text{F}_{1}\right) - p\left(\text{F}_{2}\right) = 1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$.
%
%D'autre part $p(D) = \dfrac{7}{200} = p\left(\text{F}_{1}\right) \times p_{\text{F}_{1}}(\text{D}) + p\left(\text{F}_{2}\right) \times p_{\text{F}_{2}}(\text{D}) + p\left(\text{F}_{3}\right) \times p_{\text{F}_{3}}(\text{D}) \iff \dfrac{7}{200} = \dfrac{1}{40} + \dfrac{1}{200}  + \dfrac{1}{6}p_{\text{F}_{3}}(\text{D})\iff p_{\text{F}_{3}}(\text{D}) = 6\left[\dfrac{7}{200} - \dfrac{1}{40} -\dfrac{1}{200} \right] = 6\left[\dfrac{6}{200} - \dfrac{1}{40} \right] = 6\left[\dfrac{6}{200} - \dfrac{5}{200} \right] = \dfrac{6}{200} = \dfrac{3}{100}$.
%
%On a donc $p\left(\text{F}_{3} \cap \text{D} \right) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{3}{100} = \dfrac{1}{200}$.
%		\item %Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$, quelle est la probabilité qu'elle présente un défaut ?
%		On a $p_{\text{F}_{3}}(\text{D}) = \dfrac{p\left(\text{F}_{3} \cap \text{D} \right)}{p\left(\text{F}_{3} \right)} = \dfrac{\frac{1}{200}}{\frac{1}{6}} = \dfrac{6}{200} = \dfrac{3}{100}$.
%	\end{enumerate}
%\item %L'entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires.
%
%%On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, succesifs avec remise.
%
%	\begin{enumerate}
%		\item %Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d'un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.
%Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de chaussettes défectueuses sur un tirage de 6 chaussettes. Elle suit une loi binomiale de paramètres $n = 6$ et de probabilité $p(\text{D}) = 0,035.$
%
%Or $p(X = 2) = \displaystyle\binom{6}{2}0,035^2 (1 - 0,035)^4 = 15 \times 0,035^2 \times 0,965^4 \approx \nombre{0,015934} \approx 0,016$ (au millième près).		
%		\item %Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu'au plus une paire de chaussettes d'un lot présente un défaut est égale à $0,983.$
%		Cette probabilité est égale à $p(X = 0) + p(X = 1) = \displaystyle\binom{6}{0}0,035^0 (1 - 0,035)^6 + \displaystyle\binom{6}{1}0,035^1 (1 - 0,035)^5 \approx \nombre{0,80754} + \nombre{0,175734} \approx \nombre{0,9832}\approx 0,983$ (au millième près).
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2007}}
\begin{enumerate}
\item  
%\begin{center}
\begin{pspicture}(5,5)
\rput(1.75,5.5){début de} \rput(1.75,4.5){l'année $n^{\circ} 0$}
\rput(3.75,5.5){début de} \rput(3.75,4.5){l'année $n^{\circ} 1$}
\psline[linestyle=dashed](2,4.3)(2,2.7)
\psline[linestyle=dashed](4,4.3)(4,3.6)
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{A$_{0}$}\taput{$0,4$}}
		{\TR{A$_{1}$}\taput{$0,6$}
		\TR{B$_{1}$}\tbput{$0,3$}
		\TR{C$_{1}$}\tbput{$0,1$}
		}
\pstree[]{\TR{B$_{0}$}\taput{$0,41$}}
		{\TR{A$_{1}$}\taput{$0,3$}
		\TR{B$_{1}$}\tbput{$0,6$}
		\TR{C$_{1}$}\tbput{$0,1$}
		}
\pstree[]{\TR{C$_{0}$}\tbput{$0,19$}}
		{\TR{C$_{1}$}\taput{$1$}		
		}
}
\end{pspicture}
%\end{center}

\vspace{3cm}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  On a  $p_{1} = p(\text{A}_{0} ~\cap~ \text{A}_{1}) + p(\text{B}_{0} ~\cap~ \text{A}_{1}) = 0,4 \times 0,6 + 0,41 \times 0,6 = 0,24 + 0,123 = 0,363$.
		
De même  on  calcule $q_{1} = p(\text{A}_{0} ~\cap~ \text{B}_{1}) + p(\text{B}_{0} ~\cap~ \text{B}_{1}) = 0,4 \times 0,3 + 0,41 \times 0,6 = 0,12 + 0,3246 = 0,366$.

Et $r_{1} =  p(\text{A}_{0} ~\cap~ \text{C}_{1}) + p(\text{B}_{0} ~\cap~ \text{C}_{1}) + p(\text{C}_{0} ~\cap~ \text{C}_{1}) = 0,4 \times 0,1 + 0,41 \times 0,1 + 0,19 \times 1 = 0,04 + 0,041 + 0,19 = 0,271$.

On vérifie que $0,363 + 0,366 + 0,271 = 1,000$
 
		\item  
\begin{pspicture}(5,4)
%\rput(1.75,5.5){début de} \rput(1.75,4.5){l'année $n^{\circ} 0$}
%\rput(3.75,5.5){début de} \rput(3.75,4.5){l'année $n^{\circ} 1$}
%\psline[linestyle=dashed](2,4.3)(2,2.7)
%\psline[linestyle=dashed](4,4.3)(4,3.6)
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{A$_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
		{\TR{A}\taput{$0,6$}
		\TR{B}\tbput{$0,3$}
		\TR{C}\tbput{$0,1$}
		}
\pstree[]{\TR{B$_{n}$}\taput{$q_{n}$}}
		{\TR{A}\taput{$0,3$}
		\TR{B}\tbput{$0,6$}
		\TR{C}\tbput{$0,1$}
		}
\pstree[]{\TR{C$_{n}$}\tbput{$r_{n}$}}
		{\TR{C}\taput{$1$}
		
		}
}
\end{pspicture}

\vspace{2.5cm}

En reprenant les deux premières branches en remplaÁant A par A$_{n}$ (avec une probabilité $p_{n}$ d'y arriver)  et B par B$_{n}$ (avec une probabilité $q_{n}$ d'y arriver), on obtient 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
p_{n+1}&=& 0,6p_{n} + 0,3 q_{n}\\
q_{n+1}& =& 0,3p_{n} + 0,6q_{n}\\
\end{array}\right.\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item   $S_{n} = q_{n} + p_{n}$ donc $S_{n+1} = q_{n+1} + p_{n+1} = 0,3p_{n} + 0,6q_{n} + 0,6p_{n} + 0,3 q_{n} = 0,9q_{n} + 0,9p_{n} = 0,9\left(q_{n} + p_{n}\right) = 0,9S_{n}$ ce qui montre que la suite $\left(S_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ de premier terme $q_{0} + p_{0} = 0,81$.
		
De même   $D_{n} = q_{n} - p_{n}$, donc $D_{n+1} = q_{n+1} - p_{n+1} = 0,3p_{n} + 0,6q_{n} - \left(0,6p_{n} + 0,3 q_{n} \right) = 0,3q_{n} - 0,3p_{n} = 0,3\left(q_{n} - p_{n} \right) = 0,3D_{n}$. Donc $\left(D_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,3$ de premier terme $q_{0} - p_{0} = 0,01.$
		\item  On sait que $S_{n} = (0,9)^n\cdot S_{0} = (0,9)^n\times 0,81$.
		
Or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}0,9^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}S_{n} = 0$. (car $-1 < 0,9 < 1$).

Même limite pour la suite $\left(D_{n}\right)$.
		\item  On a : $\left\{\begin{array}{l c l}
		S_{n} = q_{n} + p_{n}&=& 0,81\cdot (0,9)^n\\
		D_{n} = q_{n} - p_{n}&=&0,01\cdot (0,3)^n
		\end{array}\right.$

On en d\'eduit par diff\'erence et par somme :

$\left\{\begin{array}{l c l}
p_{n}&=&\dfrac{1}{2}\left(S_{n} - D_{n}\right)\\
q_{n}&=&\dfrac{1}{2}\left(S_{n} + D_{n}\right)
\end{array}\right.$

On a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}p_{n}  = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}q_{n} = 0$.

D'après la loi des probabilités totales on en déduit que 
\[\lim_{n \to + \infty} r_{n} = 1.\]
Cela signifie qu'à longue échéance il n'y aura plus que des plantes du type C (ce qui semble normal puisque seules celles-ci se remplacent, alors que celles du type A et B se raréfient.)
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  