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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercice de bac (loi normale)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2016}}
\emph{Les deux parties \text{A} et \text{B} peuvent être traitées de façon indépendante}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de
connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoire $T$
suivant une loi normale de moyenne $\mu = 13,9$ et d'écart type $\sigma$.\index{loi normale}

La fonction densité de probabilité de $T$ est représentée ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=1.3cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.1)(30,3)
%\psgrid
\psline(-1.5,0)(30,0)
\multido{\n=-1+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,-0.05)}
\def\m{13.9}% moyenne 
\def\s{4.1}% écart type
\def\f{30/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.5}{30}{\f}
\uput[d](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[d](10,0){10}\uput[d](13.9,0){13,9}
\psline[linestyle=dashed](13.9,0)(13.9,2.9)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On sait que $p(T \geqslant 22) =  0,023$.

En exploitant cette information :
	\begin{enumerate}
		\item hachurer sur le graphique donné en annexe, deux domaines distincts
dont l'aire est égale à $0,023$ ;
		\item déterminer $P(5,8 \leqslant T \leqslant 22)$. Justifier le résultat.
Montrer qu'une valeur approchée de $\sigma$ au dixième est $4,1$.
	\end{enumerate}
\item On choisit un jeune en France au hasard.
	
Déterminer la probabilité qu'il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine.
	
Arrondir au centième.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.
 
La Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des Œuvres et la Protection des droits sur Internet) souhaite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage.
 
Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole $(\mathcal{P})$ suivant :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X}
On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16 à 24 ans.\\
Pour chaque jeune de cet échantillon :
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le jeune lance un dé équilibré à 6 faces ;
l'enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ;
\item[$\bullet~~$] l'enquêteur pose la question : \og Effectuez-vous un téléchargement illégal au
moins une fois par semaine ? \fg{} ;
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}\\
\begin{tabular}{|m{11cm}|}\hline
$\blacksquare$~~si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondre à la question par
\og Oui \fg{} ou \og Non\fg{} de façon sincère ;\\
$\blacksquare$~~ si le résultat du lancer est \og 1 \fg{} alors le jeune doit répondre \og Oui \fg{} ;\\
$\blacksquare$~~ si le résultat du lancer est \og 3 ou 5 \fg{} alors le jeune doit répondre \og Non \fg.\\ \hline
\end{tabular}\\ 
\end{tabularx}

\medskip

Grâce à ce protocole, l'enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question
posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.

\medskip

On note $p$ la proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une
fois par semaine le téléchargement illégal sur internet.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Calculs de probabilités}

On choisit aléatoirement un jeune faisant parti du protocole $(\mathcal{P})$.\index{probabilités}

On note : $R$ l'évènement \og le résultat du lancer est pair\fg,

$O$ l'évènement \og le jeune a répondu Oui \fg.

Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :\index{arbre de probabilité}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$R$}}
	{\TR{$O$}
	\TR{$\overline{O}$}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{R}$}}
	{\TR{$O$}
	\TR{$\overline{O}$}
	}
}
\end{center}
\smallskip

En déduire que la probabilité $q$ de l'évènement \og le jeune a répondu Oui\fg{} est :

\[q = \dfrac{1}{2}p + \dfrac{1}{6}.\]

\item \emph{Intervalle de confiance}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item À la demande de l'Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le
protocole $(\mathcal{P})$. Sur un échantillon de taille \numprint{1500}, il dénombre $625$ réponses \og Oui \fg.
		
Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la proportion $q$
de jeunes qui répondent \og Oui \fg{} à un tel sondage, parmi la population des jeunes
français âgés de 16 à 24 ans.\index{intervalle de confiance}
		\item Que peut-on en conclure sur la proportion $p$ de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord, juin 2016}}
Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A
et B. L'entreprise considère qu'une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre
est compris entre 0,9 cm et 1,1 cm.

\smallskip

\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} sont indépendantes.}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude du fonctionnement des machines a permis d'établir les résultats suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]96\,\% de la production journalière est vendable.
\item[$\bullet~~$]La machine A fournit 60\,\% de la production journalière.
\item[$\bullet~~$]La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98\,\%.
\end{itemize}

\smallskip

On choisit une bille au hasard dans la production d'un jour donné. On définit les évènements
suivants :

$A$ : \og la bille a été fabriquée par la machine A \fg{} ;

$B$ : \og la bille a été fabriquée par la machine B \fg{} ;

$V$ : \og la bille est vendable \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.\index{probabilités}
\item Justifier que $P(B \cap V) = 0,372$ et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu'elle provient de la machine B.
\item Un technicien affirme que 70\,\% des billes non vendables proviennent de la machine B.

A-t-il raison ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les
machines A et B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d'une bille prélevée au hasard
dans la production de la machine B par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale
d'espérance $\mu = 1$ et d'écart-type $\sigma = 0,055$.\index{loi normale}

Vérifier que la probabilité qu'une bille produite par la machine B soit vendable est bien
celle trouvée dans la partie A, au centième près.
\item De la même façon, le diamètre d'une bille prélevée au hasard dans la production de
la machine A est modélisé à l'aide d'une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale
d'espérance $\mu = 1$ et d'écart-type $\sigma',\: \sigma'$ étant un réel strictement positif.

Sachant que $P(0,9 \leqslant Y \leqslant 1,1) = 0,98$, déterminer une valeur approchée au millième de $\sigma'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et
équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées, les billes sont
conditionnées en sachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le
remplissage d'un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans
la production journalière.

Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les
billes de couleur noire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes.
	\begin{enumerate}
		\item On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet choisi contienne exactement $10$ billes noires. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
		\item Dans un sachet de $40$ billes, on a compté $12$ billes noires. Ce constat permet-t-il de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes ?
	\end{enumerate}
\item Si l'entreprise souhaite que la probabilité d'obtenir au moins une bille noire dans un
sachet soit supérieure ou égale à 99\,\%, quel nombre minimal de billes chaque sachet
doit-il contenir pour atteindre cet objectif ?
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  