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\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercices de bac sur la fonction $\ln$ (feuille 2)} }\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole-Réunion juin 2016}}
\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 
\[f(x) = x - \ln \left(x^2 + 1\right).\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $f(x) = x$.
\item Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l'exception de la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ que l'on admet.

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\cb&&\ch&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}

%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(9,3)
%\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3)
%\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$- \infty$} \uput[u](5,2.4){$1$} \uput[u](8.5,2.4){$+ \infty$} 
%\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){+} \rput(5,2.25){0}\rput(7,2.25){+}
%\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](8.5,2){$+ \infty$}\rput(0.5,1){$f(x)$}
%\psline{->}(2,0.3)(8,1.7)
%\end{pspicture}
\end{center}

\item  Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1], $f(x)$ appartient à [0~;~1].
\item  On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline

Variables 	&$N$ et $A$ des entiers naturels ;\\ \hline
Entrée 		&Saisir la valeur de $A$\\ \hline
Traitement 	&$N$ prend la valeur $0$\\
			&Tant que $N - \ln\left(N^2 + 1\right) < A$\\
			&\hspace{0,6cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
			&Fin tant que\\ \hline
Sortie &Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Que fait cet algorithme ?
		\item Déterminer la valeur $N$ fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour $A$ est 100.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n -\ln \left(u_n^2 + 1\right)$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ appartient à [0~;~1].
\item Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\item On note $\ell$ sa limite, et on admet que $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell) = \ell$.

En déduire la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2015}}
Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par 

\[v_1 = \ln (2) \quad \text{et, pour tout entier naturel }\: n \:\text{non nul},\: v_{n+1} = \ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right).\]\index{fonction exponentielle}

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$ non nul.

On définit ensuite la suite $\left(S_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ non nul par :

\[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k = v_1 + v_2 + \cdots + v_n.\]

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de $\left(S_n\right)$.

\bigskip

\textbf{Partie A -- Conjectures à l'aide d'un algorithme}\index{algorithme}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de $S_n$ pour
une valeur de $n$ choisie par l'utilisateur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline

Variables :		& $n$, $k$ entiers\\
&$S$, \:$v$ réels\\
Initialisation :& Saisir la valeur de $n$\\
&$v$ prend la valeur \ldots\\
&$S$ prend la valeur \ldots\\
Traitement :& Pour $k$ variant de \ldots à \ldots faire\\
&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
\ldots prend la valeur \ldots\\
\ldots prend la valeur \ldots
\end{tabular}\\
&Fin Pour\\
Sortie :& Afficher $S$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\item À l'aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de $S_n$. Les valeurs arrondies au
dixième sont données dans le tableau ci-dessous :
\footnotesize
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$n$		&10	&100 	&\numprint{1000} 	& \numprint{10000} & \numprint{100000} 	& \numprint{1000000}\\ \hline
$S_n$	&2,4&4,6	&6,9		&9,2		&11,5			&13,8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\normalsize
En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la
suite $\left(S_n\right)$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B -- Étude d'une suite auxiliaire}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = \text{e}^{v_n}$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $u_1 = 2$ et que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{u_n}$.
\item Calculer $u_2,\: u_3$ et $u_4$. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{n+1}{n}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C -- Étude de }\boldmath $(Sn)$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$.
\item  Vérifier que $S_3 = \ln (4)$.
\item  Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $S_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(S_n\right)$.
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  