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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur la fonction exponentielle (2)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Asie juin 2010 partie A}}
On note $f$ la fonction 
définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[ f(x) = \dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}.\] 

On note $\mathcal{C}$ la courbe repr
ésentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$. L'unité graphique est 1~cm.
 
\begin{enumerate}
\item  
Étude des limites 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$. 
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$. 
\item Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux r
ésultats, pour la courbe $\mathcal{C}$  ?
\end{enumerate} 
\item 
Étude des variations de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, la fonction 
dérivée de la fonction $f$ s'exprime, pour tout réel $x$ strictement positif, par : 

\[f'(x) = - \dfrac{1}{x^4}\text{e}^{\frac{1}{x}}(2x + 1).\] 
 
		\item Déterminer le signe de $f'$ et en 
déduire le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle  $]0~;~+\infty[$. 
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et donner la valeur approchée de $\alpha$ arrondie au centième.
	\end{enumerate} 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2010}}
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1.\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
\item 
Étudier les variations de la fonction $g$. 
\item Donner le tableau de variations de $g$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution. On note $\alpha$ cette solution. 
		\item 
À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
		\item Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$. 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie 1. 
\item En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 3}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$.

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

La figure est donnée en annexe.
 
Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] $M$ le point de $(\mathcal{C})$ de coordonnées $(x~;~f(x))$,
\item[ ] $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$,
\item[ ] $Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$. 

On rappelle que le réel $\alpha$ a été défini dans la partie 1. 
\item Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$.
 
La tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ?
 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
\end{enumerate}


 
\begin{center}
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(4,3)
\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,3){$y$}\uput[ul](0,0){O}\uput[u](2.5,0.28){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 2.71828 x exp 1 add div}
\multido{\n=-1.0+0.16667}{31}{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-2.0+0.16667}{31}
{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)}
\multido{\n=-2+1}{6}
{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  