\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercices sur la dérivation}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{4}{3}\right\}$ par \[f(x)=\dfrac{1}{9x^2-24x+16}.\]

\noindent On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère. 


\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

\item En déduire les équations des asymptotes à la courbe $\mathscr{C}$.

\item Etudier la position de $\mathscr{C}$ par rapport à t'axe des abscisses.

\item Êtudier le sens de variation de $f$. 

\item Tracer les asymptotes. puis la courbe représentative de $f$ dans un repère. 
\end{enumerate}

\subsection{}
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ par : \[f(x)=\dfrac{ax+b}{x-3}\text{ où }a\text{ et }b\text{ sont des réels }.\]
\noindent On sait que la droite d'équation $y=4$ est asymptote horizontalle à la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ en $+\infty$.

\noindent De plus, $f'(1)=-\dfrac{1}{2}$.

\begin{enumerate}
\item Retrouver les valeurs de $a$ et $b$.

\item Étudier les limite de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\subsection{}
\textbf{\textcolor{red}{Première partie}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~4]$ par \[f(x)=\sqrt{x(4-x)}.\]

\noindent On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~4[$ et donner l'expression de la dérivée sur cet intervalle.

\item Démontrer que $f$ n'est dérivable ni en 0, ni en 4.

\item Étudier les variations de la fonction $f$.

\item Donner l'équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 2.

\item Tracer la courbe $\mathscr{C}_f$ et sa tangente au point d'abscisse 2.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Deuxième partie}}

\bigskip
\noindent On considère la fonction définie sur $[0~;~4]$ par \[g(x)=x\sqrt{x(4-x)}.\]

\noindent On note $\mathscr{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

\begin{enumerate}
\item Démontrre que la fonction $g$ est dérivable sur $]0~;~4[$ et donner l'expression de sa dérivée sur cet intervalle.

\item La fonction $g$ est-elle dérivable :

\begin{enumerate}
\item en 0 ?

\item en 4 ?
\end{enumerate}

\item Étudier les variations de la fonction $g$.

\item Démontrer que l'équation $g(x)=1$ admet une solution unique dans l'intervalle $[0~;~3]$.

\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de cette solution à 0,01 près.

\item Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse 2.

\item Tracer la courbe $\mathscr{C}_g$ et sa tangente au
point d'abscisse 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Troisième partie}}

\bigskip

On considère la fonction $k$ définine sur $]0~;~4]$ par \[k(x)=\dfrac{\sqrt{x(4-x)}}{x}.\]

\noindent On note $\mathscr{C}_k$ sa courbe représentative dans un repère.

\begin{enumerate}
\item  Étudier la limite de la fonction $k$ en 0.

\item Démontrer que la fonction $k$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~4[$ et donner I'expression de sa dérivée $k'$ sur cet intervalle.

\item La fonction $k$ est-elle dérivable en 4 ?

\item Étudier les variations de la fonction $k$.

\item Donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.

\item Tracer la courbe $\mathscr{C}_k$ et sa tangente au point d'abscisse 2.

\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  