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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : Exercices sur la convergence monotone}}\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
La suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par : $u_0 = 2$  et $u_{ n +1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ 

\begin{enumerate}
\item Montrer que cette suite est majorée par 6.

\item Montrer que cette suite est croissante. 

Que peut-on déduire ?

\item Conjecturer la limite de cette suite.

\item Démontrer que cette limite est la bonne après avoir prouvé que la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n = u_n- 6$ est géométrique.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{D'après Polynésie septembre 2008}}
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :
\[v_{0} =  6~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\]

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = 1,4x - 0,05x^2.\]
	\begin{enumerate}
		\item  étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
		\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\\
 0 \leqslant  v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.
	\end{enumerate}

\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{Développement décimal illimité}}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Effectuer à la main la division de 106 par 33 jusqu'à la sixième décimale.

\item La division a-t-elle des chances de s'arrêter ?

Que peut-on en déduire pour le nombre $\dfrac{106}{33}$ ?
\end{enumerate}

\item Inversement, on se demande s'il existe un nombre rationnel (quotient de deux entiers) admettant pour écriture $2,4545\underline{45}$ où la séquence \og{}45\fg{} se répète indéfiniment.
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $x$ peut être considéré comme la limite de la suite $\left(x_n\right)_{n\geqslant 1}$ où : \[x_n=2+\dfrac{45}{100}+\dfrac{45}{100^2}+\cdots+\dfrac{45}{100^n}.\]

\item Montrer que $2+\dfrac{5}{11}\left[1-\dfrac{1}{100^n}\right]$.

\item En déduire que $\left(x_n\right)$ tend vers un nombre rationnel $x$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}


\end{multicols}

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%La suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par : $u_0 = 2$  et $u_{ n +1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ 
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%\begin{enumerate}
%\item Montrer que cette suite est majorée par 6.
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%\item Montrer que cette suite est croissante. 
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%Que peut-on déduire ?
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%\item Conjecturer la limite de cette suite.
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%\item Démontrer que cette limite est la bonne après avoir prouvé que la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n = u_n- 6$ est géométrique.
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%\end{enumerate}
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%\subsection{\textcolor{blue}{D'après Polynésie septembre 2008}}
%On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :
%\[v_{0} =  6~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\]
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%\begin{enumerate}
%\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = 1,4x - 0,05x^2.\]
%	\begin{enumerate}
%		\item  étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
%		\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\\
% 0 \leqslant  v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.
%	\end{enumerate}
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%\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
%\end{enumerate}
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%\subsection{\textcolor{blue}{Développement décimal illimité}}
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%\begin{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Effectuer à la main la division de 106 par 33 jusqu'à la sixième décimale.
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%\item La division a-t-elle des chances de s'arrêter ?
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%Que peut-on en déduire pour le nombre $\dfrac{106}{33}$ ?
%\end{enumerate}
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%\item Inversement, on se demande s'il existe un nombre rationnel (quotient de deux entiers) admettant pour écriture $2,4545\underline{45}$ où la séquence \og{}45\fg{} se répète indéfiniment.
%\begin{enumerate}
%\item Expliquer pourquoi $x$ peut être considéré comme la limite de la suite $\left(x_n\right)_{n\geqslant 1}$ où : \[x_n=2+\dfrac{45}{100}+\dfrac{45}{100^2}+\cdots+\dfrac{45}{100^n}.\]
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%\item Montrer que $2+\dfrac{5}{11}\left[1-\dfrac{1}{100^n}\right]$.
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%\item En déduire que $\left(x_n\right)$ tend vers un nombre rationnel $x$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
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