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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercices sur les nombres complexes}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Livre sesamaths}}
 On considère trois points du plan $A,B$ et $C$ dont les affixes sont $z_A=1+\mathrm{i}$, $z_B=3+5\mathrm{i}$ et enfin
 
 $z_C =2(1+\sqrt{3}) + \mathrm{i} (3-\sqrt{3})$.
 \begin{enumerate}
 \item Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}.$
 \item En déduire que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
 \item \`A l'aide d'un quotient de complexes, démontrer que $\ang{{AB}}{{AC}}$ a pour mesure $-\frac{\pi}{3}$.
 \item En déduire la nature du triangle $ABC$.
 \end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Livre sesamaths}}
 On considère dans le plan complexe l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M_t$ de coordonnées
 \begin{equation*}
 \begin{cases}
 x_{M_t} &= -1 + 2\cos(t)\\
 y_{M_t} &= 2 + 2\sin(t)\\
 \end{cases}
 \end{equation*}
 pour $t\in\mathbb{R}$, et $C$, le point d'affixe $z_C = -1+2\mathrm{i}$.
 \begin{enumerate}
 \item Soient $t\in\mathbb{R}$ et $z_t$ l'affixe de $M_t$. Calculer $|z_t-z_C|$. En déduire que $M_t$ se trouve sur un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon.
 \item Soit $M$ un point de $\mathcal{C}$ et $z$ son affixe. On pose :
 
 $z'=z-z_C.$
 \begin{enumerate}
 \item Déterminer $|z'|$.
 \item En déduire la forme trigonométrique de $z'$, puis les coordonnées de $M$.
 \item En déduire que $M\in\mathcal{E}.$
 \end{enumerate}
 \item Conclure sur la nature de $\mathcal{E}$.
 \end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{Les entiers de Gauß}}
 On appelle \emph{entier de Gauß} tout nombre complexe de la forme $k+\mathrm{i}\ell$, où $k$ et $\ell$ sont des entiers relatifs.
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que la somme et la différence de deux entiers de Gauß sont des entiers de Gauß.
 \item Montrer que le produit de deux entiers de Gauß est un entier de Gauß.
 \item Déterminer l'écriture algébrique de l'inverse de $2\mathrm{i}$. L'inverse d'un entier de Gauß est-il nécéssairement un entier de Gauß ?
 \end{enumerate}

\subsection{}
 On se propose dans cet exercice de calculer la valeur exacte  de $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$.
 \begin{enumerate}
 \item Démontrer que pour tout nombre complexe \\$z\neq 1$ :
 $$ 1+z+z^2+z^3+z^4= \frac{1-z^5}{1-z}.$$
 \item En utilisant la valeur $z_0=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{2\pi}{5}}$ dans la formule précédente, démontrer que :
 $$ \left(z_0^2+ \frac{1}{z_0^2}\right) + \left(z_0 + \frac{1}{z_0}\right) +1=0.$$
 \item Démontrer que : $$ \left(z_0^2+ \frac{1}{z_0^2}\right) = \left(z_0 + \frac{1}{z_0}\right)^2-2.$$
 et que :
 $\left(z_0 + \frac{1}{z_0}\right)= 2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right).$
 \item En déduire, en utilisant la relation trouvée à la question 2., que $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$ est solution d'une équation du second degré que l'on précisera, puis calculer la valeur exacte cherchée.
 
 \end{enumerate}


\end{multicols}



\label{fin}
\end{document} 