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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : feuille d'exercices sur le théorème des valeurs intermédiaires}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Un cylindre a pour base un disque de rayon 1 \deci\metre{} et contient de l'eau sur une hauteur de 0,5 \deci\metre. On plonge dans ce cylindre une bille de diamètre $d$ (en \deci\metre). Le niveau de l'eau est alors tangent à la bille.\\
On se propose de calculer la valeur de $d$.\\\\

\begin{tabular}{cc}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1.5)
\psset{xunit=1.5,yunit=1.5}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray](-1,0)(1,0.5)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1,0.2)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0.5)(1,0.2)
\psellipse(0,2)(1,0.2)
\psline(-1,0)(-1,2)\psline(1,0)(1,2)
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,3)
\psset{xunit=1.5,yunit=1.5}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray](-1,0)(1,1)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1,0.2)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1)(1,0.2)
\psellipse(0,2)(1,0.2)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](0,0.5){0.75}
\psline(-1,0)(-1,2)\psline(1,0)(1,2)
\end{pspicture}
\end{tabular}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $d$ vérifie $0<d<2$ et \[d^3-6d+3=0.\]

\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $x^3-6x+3=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $]0~;~2[$.

\item Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de cette solution.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Avec une fonction auxiliaire}}
$f$ est la fonction définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1~;~1\}$ par \[f(x)=\dfrac{x^3+2x^2}{x^2-1}.\]
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ (unité graphique 2 cm).

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}}
$g$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[g(x)=x^3-3x-4.\]

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.

\item Étudier les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Étudier les variations de $g$. Dresser son tableau de variation.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$.

\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\item Étudier le signe de la fonction $g$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B : Étude de la fonction  $f$}}

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x\in\mathscr{D}$, \[f'(x)=\dfrac{xg(x)}{\left(x^2-1\right)^2}.\]

\item En déduire le tableau de variation de la fonction  $f$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $x\in\mathscr{D}$, \[f(x)=x+2+\dfrac{x+2}{x^2-1}.\]

\item En déduire que la courbe $\mathscr{C}$ admet une asymptote oblique $\Delta$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Étudier la position de la courbe $\mathscr{C}$ par rapport à la droite $\Delta$.
\end{enumerate}

\item Tracer la droite $\Delta$, les aymptotes verticales à $\mathscr{C}$ puis la courbe $\mathscr{C}$.


\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  