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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Pondichéry avril 2017}}\end{center}

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne. 

Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2~m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe 
$\mathcal{C}$. 

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-0.2)(3,3.2)

\psframe[fillstyle=vlines](-3,0)(3,3)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{13.5 x dup mul 2 mul sub ln}
\psline(2.5,0)(-2.5,0)}
\rput(-2.1,2.5){montagne}\rput(0,1.6){zone de creusement}
\uput[ur](1,2.1){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-0.2)(3,3.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center} 

On admet que $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 2,5~;~2,5]$ par: 

\[f(x) = \ln \left(- 2x^2 + 13,5\right).\] 

L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement. 

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath! 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f ‘(x)$ pour $x \in  [- 2,5~;~2,5]$. 
\item Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $f$ sur 
$[- 2,5~;~2,5]$. 

En déduire le signe de $f$ sur $[- 2,5~;~2,5]$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Aire de la zone de creusement}

\medskip 

On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}$ est-elle un arc de cercle de centre 0 ? Justifier la réponse.
\item Justifier que l'aire, en mètre carré, de la zone de creusement est 

$\mathcal{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$. 
\item L'algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de $I = \displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$, notée $a$. 

On admet que : $a \leqslant  I \leqslant a + \dfrac{f(0) - f(2,5)}{n}\times  2,5$. 

	\begin{enumerate}
		\item Le tableau fourni ci-dessous, donne différentes valeurs obtenues pour R et S lors de l'exécution de l'algorithme pour $n = 50$. 

Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes. 
		\item En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
 Variables\\
			\hspace{1cm}\begin{tabular}{|l} 
				$R$ et $S$ sont des réels\\
 				$n$ et $k$ sont des entiers\\
 			\end{tabular}\\ 
Traitement \\
			\hspace{1cm}\begin{tabular}{|l} 
			$S$ prend la valeur $0$\\
			Demander la valeur de $n$\\
			Pour $k$ variant de $1$ à $n$ faire\\
						\hspace{1cm}\begin{tabular}{|l}  
						$R$ prend la valeur $\dfrac{2,5}{n} \times  f\left(\dfrac{2,5}{n}\times k \right)$\\
						$S$ prend la valeur $S + R$\\
						\end{tabular}\\ 
Fin Pour\\ 
Afficher $S$\\ 
\end{tabular}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 

Le tableau ci-dessous donne les valeurs de $R$ et de $S$, arrondies à $10^{-6}$, obtenues lors de l'exécution de l'algorithme pour $n = 50$. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-2}
Initialisation						&$S = 0$,   $n = 50 $&\multicolumn{2}{c}{~}\\  \hline     
Boucle Pour						&Étape $k$ 			&  $R$ &  $S$\\ \hline   
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  1							&   \ldots   		&\ldots\\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  2							&   \numprint{0,130060}&\numprint{0,260 176}  \\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  3							&   \numprint{0,129968}&\numprint{0,390144} \\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  4							&   \numprint{0,129837}   &\ldots\\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c}{~}	&\multicolumn{1}{c}{\vdots}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&24 &  \numprint{0,118 137}&   \numprint{3,025705}\\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{~}&25&   \numprint{0,116970}&   \numprint{3,142675} \\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\ \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&49&   \numprint{0,020106}&   \numprint{5,197538} \\ \cline{2-4}   
\multicolumn{1}{c|}{~}&50&   \ldots&  \ldots  \\ \hline
Affichage &$S = \ldots$&\multicolumn{2}{c}{~}\\ \cline{1-2}
\end{tabularx}
\end{center}



\label{fin}
\end{document}  