\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\fbox{\textbf{\textcolor{red}{Géométrie dans l'espace}}}}
\date{}
\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents
\newpage




\subsection{\textcolor{red}{Positions relatives dans l'espace}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Position relative de deux droites}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Deux droites $d_1$ et $d_2$ peuvent être coplanaires ou non coplanaires.\\
Si elles sont coplanaires (contenues dans le même plan), elles peuvent être sécantes en un point, strictement parallèles ou confondues. Si elles ne sont pas coplanaires, aucun plan ne contient les deux droites. (exemple : certains arêtes d'un cube)
\end{bclogo}

\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}

\noindent\begin{minipage}[c]{0.3\linewidth}
\begin{pspicture*}(2.4,0.9)(6.7,3.5)
\psline[linewidth=1.2pt](2.64,2.42)(4.84,1.54)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](3.3,2.3){$d=d'$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\scriptsize

\textbf{(a)}: $d=d'$

parallèles, coplanaires.
\end{minipage}
\hspace{-2.1cm}
\begin{minipage}[c]{0.32\linewidth}
\begin{pspicture*}(0.9,0.9)(6.7,3.5)
\psline[linewidth=1.8pt](4.58,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.8pt](6.58,3)(4.58,1)
\psline(1,1)(3,3)
\psline(3,3)(6.58,3)
\rput[bl](1.45,1.15){\scriptsize $\mathcal P$}

\psline[linewidth=1.2pt](2.64,2.42)(4.84,1.54)
\psline[linewidth=1.2pt](2.34,1.54)(5.2,2.42)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](3.1,2.3){$d$}
\rput[bl](4.3,2.3){$d'$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\scriptsize

\textbf{(b)}: $d$ et $d'$ \emph{sécantes}

$d,d'\subset$ un unique plan.
\end{minipage}
\hspace{-1.5cm}
\begin{minipage}[c]{0.32\linewidth}
\begin{pspicture*}(0.9,0.9)(6.7,3.5)
\psline[linewidth=1.8pt](4.58,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.8pt](6.58,3)(4.58,1)
\psline(1,1)(3,3)
\psline(3,3)(6.58,3)
\rput[bl](1.45,1.15){\scriptsize $\mathcal P$}

\psline[linewidth=1.2pt](2.88,2.6)(5.08,1.72)
\psline[linewidth=1.2pt](2.38,2.1)(4.58,1.22)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](3.7,2.32){$d$}
\rput[bl](3.45,1.28){$d'$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\scriptsize

\textbf{(c)}: $d$ et $d'$ \emph{parallèles strictes}

$d,d'\subset$ dans un unique plan.
\end{minipage}
\hspace{-1.5cm}
\begin{minipage}[c]{0.32\linewidth}
\begin{pspicture*}(0.9,0.9)(6.7,3.5)
\psline[linewidth=1.8pt](4.58,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.8pt](6.58,3)(4.58,1)
\psline(1,1)(3,3)
\psline(3,3)(6.58,3)
\rput[bl](1.45,1.15){\scriptsize $\mathcal P$}

\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=gray](4.22,1.43)(4.56,2.52)
\psline[linewidth=1.2pt](2.88,2.6)(5.08,1.72)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=gray](4.94,3.74)(4.56,2.52)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x](4.56,2.52)
\rput[bl](3.7,2.32){$d$}
\rput[bl](4.46,3.26){\gray{$d'$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\scriptsize

\textbf{(d)}: $d$ et $d'$ non coplanaires 

 $d$ et $d'$ ni sécantes, ni parallèles
\end{minipage}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Position relative de deux plans}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Deux plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_2$ de l'espace sont soit sécants, soit parallèles.\\
S'ils sont sécants, l'intersection est une droite.\\
S'ils sont parallèles, ils sont distincts ou confondus.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Plans sécants :\\une droite d'intersection
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=blue](3.5,3)(5,3)(4,0)(0,0)(1,3)(1.5,3) 
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](1.5,3)(3.5,3)
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \psline[linecolor=red](3.17,0)(3,-0.5)(1,1.5)(2,4.5)(3.5,3)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dotted](3.5,3)(4,2.5)(3.17,0)
         \rput(2.1,3.9){\textcolor{red}{$P_2$}}
         \psline(2.3,-0.5)(3.7,3.7)
         \rput(3.8,3.9){$d$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Plans strictement parallèles :\\aucun point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=blue](0.35,1)(0,0)(4,0)(5,3)(4.7,3)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](4.7,3)(1,3)(0.35,1)
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \pspolygon[linecolor=red](0,1)(4,1)(5,4)(1,4) 
         \rput(1.2,3.6){\textcolor{red}{$P_2$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Plans parallèles confondus :\\un plan d'intersection
      \begin{pspicture}(6,5)
         \pspolygon(0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \rput(1,0.3){$P_1=P_2$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Position relative d'une droite et d'un plan}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Une droite $\mathscr{D}$ et un plan $\mathscr{P}$ sont soit sécants, soit parallèles.\\
S'ils sont sécants, ils n'ont qu'un point commun.\\
S'ils sont parallèles, $\mathscr{D}$ est incluse dans $\mathscr{P}$ ou ils n'ont aucun  point commun.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droite et plan sécants :\\un point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,4)
         \pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \psline[linecolor=red](1,3.3)(2,1.5)
         \psdot[dotstyle=+,dotscale=2](2,1.5)
         \rput(2.3,1.8){$A$}
         \psline[linecolor=red, linestyle=dashed](1.5,2.4)(3,-0.3)
         \rput(3.1,0.4){\textcolor{red}{$d$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droite et plan parallèles :\\droite incluse dans le plan
      \begin{pspicture}(6,4)
         \pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \psline[linecolor=red](0.8,0)(4,3)
         \rput(3,2.5){\textcolor{red}{$d$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droite et plan parallèles :\\aucun point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,4)
         \pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \psline[linecolor=red](3,-0.5)(1,3.5)
         \rput(2.6,-0.3){\textcolor{red}{$d$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques :}} \\
Pour définir un plan, il faut trois points distincts, ou une droite et un point extérieur à la droite, ou deux droites sécantes ou strictement parallèles.

\subsection{\textcolor{red}{Règles d'incidence}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Propriété fondamentale}}
Dans un plan de l'espace, toutes les propriétés fondamentales de la géométrie plane s'appliquent.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{itemize}
      \item Deux droites de l'espace sont \textbf{parallèles} si elles sont coplanaires et non sécantes,
      \item Deux plans de l'espace sont \textbf{parallèles} lorsqu'ils ne sont pas sécants,
      \item    Une droite et un plan de l'espace sont \textbf{parallèles} lorsqu'ils ne sont pas sécants.
\end{itemize}
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
\begin{itemize}

\item Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles,.

\item  Si deux droites sécantes d'un plan $\mathscr{P}$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d'un plan $\mathscr{Q}$ alors les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ sont parallèles,


\item Si deux plans sont parallèles à un même troisième, alors ils sont parallèles,

\item   Si deux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
  \end{itemize}
\end{bclogo}

\bigskip

\psset{unit=0.7}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=red](0.5,0)(2.9,2)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](2.9,2)(4,3)
         \rput(1.4,0.3){\textcolor{red}{$d_1$}}
         \psline[linecolor=blue](1.3,2)(4.25,0.75)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0.75,2.25)(1.3,2)
         \rput(4.1,1.3){\textcolor{blue}{$\delta_1$}}
         \psline[linecolor=red](0.5,2)(4,5)
         \rput(1.4,2.3){\textcolor{red}{$d_2$}}
         \psline[linecolor=blue](0.75,4.25)(4.25,2.75)
         \rput(4.1,3.3){\textcolor{blue}{$\delta_2$}}
         \psline(0.7,2)(0,0)(4,0)(5,3)(4.5,3)
         \psline[linestyle=dotted](4.5,3)(1,3)(0.7,2)
         \rput(0.5,0.3){$P$}
         \pspolygon(0,2)(4,2)(5,5)(1,5) 
         \rput(1.2,4.6){$Q$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=blue](0.35,1)(0,0)(4,0)(5,3)(4.7,3)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](4.7,3)(1,3)(0.35,1)
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P$}}
         \psline[linecolor=red](0.35,2)(0,1)(4,1)(5,4)(4.7,4)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dotted](4.7,4)(1,4)(0.35,2)
         \rput(0.5,1.3){\textcolor{red}{$Q$}}
         \pspolygon(0,2)(4,2)(5,5)(1,5) 
         \rput(0.5,2.3){$R$}
      \end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(6,5.5)
         \psline(0.35,2)(0,1)(4,1)(5,4)(4.7,4)
         \psline[linestyle=dotted](4.7,4)(1,4)(0.35,2)
         \rput(0.5,1.3){$P$}
         \psline(1.8,5)(1,5)(0,2)(4,2)(5,5)(2.5,5)
         \psline[linestyle=dotted](1.8,5)(2.5,5)
         \rput(1.2,4.7){$Q$}
         \psline[linecolor=red](3.17,1)(3,0.5)(1,2.5)(2,5.5)(2.5,5)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dotted](2.5,5)(4,3.5)(3.17,1)
        \rput(1.4,2.7){\textcolor{red}{$R$}}
         \psline[linecolor=blue](2.3,0.5)(2.8,2)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.8,2)(3.7,4.7)
         \rput(3.9,4.3){\textcolor{blue}{$d$}}
         \psline[linecolor=blue](1.3,1.5)(2.7,5.7)
         \rput(2.8,5.3){\textcolor{blue}{$\delta$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Théorème du \og toit \fg{}}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Théorème}}
Si on a :
\begin{itemize}
\item deux droites parallèles $d$ et $d'$;
\item un plan Pcontenant $d$;
\item un plan Q contenant $d'$;
\item P et Q sécants selon une droite $\delta$.
\end{itemize}
Alors, l'intersection $\delta$ des deux plans est parallèle aux droites $d$ et $d'$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\begin{center}
   \begin{pspicture}(7,6.1)
      \psline[linecolor=red](3.5,0.5)(7,4) 
      \psline(4,1)(2,4)(1,1)
      \psline[linestyle=dashed](3.5,3.5)(4.5,6.5)
      \psline(4.5,6.5)(6.5,3.5)
      \psline[linecolor=red](0.5,0.5)(2.8,2.8) 
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](2.8,2.8)(4.2,4.2)
      \psline[linecolor=red](1.3,3.3)(5,7)
      \rput(1.3,0.6){\textcolor{red}{$d_1$}}
      \rput(4.3,0.6){\textcolor{red}{$d_2$}}
      \rput(1.5,4){\textcolor{red}{$\delta$}}
      \rput(1.7,2.1){$P$}
      \rput(4.1,1.7){$Q$}
   \end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Orthogonalité dans l'espace}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Droite perpendiculaire à un plan}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
Dans un plan $\mathscr{P}$, soient deux droites $d_1$ et $d_2$ sécantes en $A$ et une droite $\Delta$.\\
On suppose que la droite $\Delta$ est perpendiculaire en $A$ à $d_1$ et en $A$ à $d_2$.\\
Alors, la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{\textcolor{blue}{Théorème}}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Théorème}}
Si une droite est perpendiculaire à un plan en un point $A$, alors elle est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan qui passent par $A$.
\end{bclogo}

\newpage
\subsection{\textcolor{red}{Rappels sur le produit scalaire dans le plan}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs colinéaires, alors le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ est le nombre réel (scalaire) défini par : 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs de même sens, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=OA\times OB$.

\item si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs de  sens opposés, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-OA\times OB$.

\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : \\
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=OA^2$\\

Si l'un des deux vecteurs est nul, leur produit scalaire est nul.\\


\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On définit le carré scalaire du vecteur $\overrightarrow{u}$ par : $\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=OA^2=||\overrightarrow{u}||^2$.
\end{bclogo}

\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :} }\\
On munit une droite $\mathscr{D}$ d'un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}\right)$. On considère les points $A(4)$, $B(7)$, $C(8)$, $D(-3)$.\\
Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Produit scalaire de deux vecteurs quelconques :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Le projeté orthogonal d'un point $B$ sur une droite $\mathscr{D}$ $\left(B\notin\mathscr{D}\right)$, est le point $H$ de $\mathscr{D}$ tel que les droites $\mathscr{D}$ et $(BH)$ soient perpendiculaires.\\
Si $B\in \mathscr{D}$, son projeté orthogonal sur $\mathscr{D}$ est lui-même.
\end{bclogo}

\makeatletter
\define@key[psset]{}{transpalpha}{\pst@checknum{#1}\pstranspalpha}
\psset{transpalpha=1}
\def\psfs@transp{%
  \addto@pscode{/Normal .setblendmode \pstranspalpha .setshapealpha }%
  \psfs@solid}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(6.5,4)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=transp,transpalpha=0.1](5.82,0.42)(5.4,0.42)(5.4,0)(5.82,0)
\psline{->}(0,0)(2.7,0)
\psline{->}(0,0)(5.82,2.88)
\psplot{1}{6}{(-0-0*x)/2.7}
\psline(5.82,2.88)(5.82,0)
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](2.7,0)
\rput[bl](2.78,0.12){\xdxdff{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.82,2.88)
\rput[bl](5.9,3){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=darkgray](5.82,0)
\rput[bl](5.9,0.12){\darkgray{$H$}}
\uput[d](-1,0){$\mathscr{D}$}
\end{pspicture*}
%%%%
\makeatletter
\define@key[psset]{}{transpalpha}{\pst@checknum{#1}\pstranspalpha}
\psset{transpalpha=1}
\def\psfs@transp{%
  \addto@pscode{/Normal .setblendmode \pstranspalpha .setshapealpha }%
  \psfs@solid}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-1)(3.5,4)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=transp,transpalpha=0.1](-1.32,0)(-1.32,0.42)(-1.74,0.42)(-1.74,0)
\psline{->}(0,0)(2.7,0)
\psline{->}(0,0)(-1.74,2.72)
\psplot{-4.3}{3.5}{(-0-0*x)/2.7}
\psline(-1.74,2.72)(-1.74,0)
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O$}}
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\psdots[linecolor=blue](-1.74,2.72)
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\psdots[linecolor=darkgray](-1.74,0)
\uput[dl](-1.66,0.12){\darkgray{$H$}}
\uput[d](-3,0){$\mathscr{D}$}
\end{pspicture*}
%%%%%%%%%
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4,4)
\psline{->}(0,0)(2.7,0)
\psline{->}(0,0)(0,2.56)
\psplot{1}{4}{(-0-0*x)/2.7}
\psline(0,2.56)(0,0)
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O=H$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](2.7,0)
\rput[bl](2.78,0.12){\xdxdff{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](0,2.56)
\rput[bl](0.08,2.68){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\uput[d](2,0){$\mathscr{D}$}
\end{pspicture*}\\

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls, on définit leur produit scalaire par : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OH}$, où $H$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(OA)$.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Vecteurs orthogonaux}}
\begin{minipage}{16cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ est nul.
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\textcolor{red}{Conséquences :}\\

\bigskip

\parbox{8cm}{\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-7)(7,1)
\psline{->}(0.06,-2.24)(3.6,-2.22)
\psline{->}(0.06,-2.24)(5.64,0.28)
\psline{->}(0.06,-2.24)(5.64,-4)
\psline(5.64,0.28)(5.64,-4)
\psline(3.6,-2.22)(5.64,-2.21)
\psdots[linecolor=blue](0.06,-2.24)
\rput[bl](0.14,-2.12){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](3.6,-2.22)
\rput[bl](3.68,-2.1){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](5.64,0.28)
\rput[bl](5.72,0.4){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](5.64,-4)
\rput[bl](5.72,-3.88){\darkgray{$C1$}}
\psdots[linecolor=darkgray](5.64,-2.21)
\rput[bl](5.72,-2.08){\darkgray{$H$}}
\end{pspicture*}}\hfill
\parbox{10cm}{$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$}

%%%%%%
\parbox{8cm}{\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1,-7)(16,3)
\psplot{1}{15}{(--9.78-0.02*x)/-3.78}
\psline{->}(5.04,-2.56)(1.26,-2.58)
\psplot{1}{15}{(--33.71-3.78*x)/0.02}
\psplot{1}{15}{(--55.12-3.78*x)/0.02}
\psline{->}(8.92,-0.46)(14.58,0.52)
\psplot{1}{15}{(-15.03--0.02*x)/3.78}
\psline{->}(8.94,-3.93)(14.62,-6.46)
\psline{->}(8.94,-3.93)(14.58,1.6)
\psdots[linecolor=blue](5.04,-2.56)
\rput[bl](5.12,-2.44){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](1.26,-2.58)
\rput[bl](1.34,-2.46){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](8.92,-0.46)
\rput[bl](9,-0.34){\blue{$C$}}
\rput[bl](9.04,6){$b$}
\psdots[linecolor=blue](14.58,0.52)
\rput[bl](14.66,0.64){\blue{$D$}}
\rput[bl](-4.2,-3.82){$d$}
\psdots[linecolor=darkgray](8.94,-3.93)
\rput[bl](9.02,-3.8){\darkgray{$C_{1}$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](14.62,-6.46)
\rput[bl](14.7,-6.34){\xdxdff{$D_{1}$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](14.57,1.6)
\rput[bl](14.66,1.72){\xdxdff{$D_{2}$}}
\end{pspicture*}}\hfill
\parbox{10cm}{$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C_{1}D_{1}}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C_{2}D_{2}}$.}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ un repère orthonormé. On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\vert\vert \overrightarrow{u} \vert\vert\times \vert\vert \overrightarrow{v} \vert\vert\cos\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

\item Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$, on a $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Cela vient de la définition initiale.

\item $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{v}=x'\overrightarrow{i}+y'\overrightarrow{j}$.

On en déduit :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\right).\left(x'\overrightarrow{i}+y'\overrightarrow{j}\right)=x\overrightarrow{i}\times x\overrightarrow{i}+x\overrightarrow{i}\times y'\overrightarrow{j}+y\overrightarrow{j}\times x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\times y'\overrightarrow{j}=xx'+yy'$ car $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=\vert\vert \overrightarrow{i} \vert\vert^2=1$, $\overrightarrow{j}.\overrightarrow{j}=\vert\vert \overrightarrow{j} \vert\vert^2=1$ et $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{i}=0$
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Vecteur directeur d'une droite}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\mathscr{D}$ une droite .

\noindent Un vecteur $\overrightarrow{u}$ non nul est un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ si, et seulement si, tout vecteur $\overrightarrow{v}$ de $\mathscr{D}$ est colinéaire à $\overrightarrow{u}$.
\end{bclogo}

\bigskip

Conséquence : soit $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ non nul et soit $A\left(x_1~;~y_A\right)$ un point.

\noindent $M(x~;~y)$ appartient à la droite passant par A et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ si, et seulement si, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.

\noindent $\overrightarrow{u\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ et $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-x_1\\y-y_A\end{pmatrix}$.

\noindent On en déduit $a\left(y-y_A\right)-b\left(x-x_A\right)=0$ (équation cartésienne de $\mathscr{D}$).

\subsubsection{\textcolor{blue}{Vecteur normal à une droite}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\mathscr{D}$ une droite .

\noindent Un vecteur $\overrightarrow{u}$ non nul est un vecteur normal à $\mathscr{D}$ si, et seulement si, tout vecteur $\overrightarrow{v}$ de $\mathscr{D}$ est orthogonal à $\overrightarrow{u}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Équation cartésienne d'une droite $\mathscr{D}$}}
Soit $A\left(x_A~;~y_A\right)$ un point et soit $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ un vecteur non nul.

\noindent Une équation cartésienne de $\mathscr{D}$ est $a\left(x-x_A\right)+b\left(y-y_A\right)=0$
\end{bclogo}

\bigskip

Démonstration :

\noindent Soit $M(x~;~y)$ un point quelconque. $M(x~;~y)$ appartient à $\mathscr{D}$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux.

$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-x_1\\y-y_A\end{pmatrix}$.

\noindent $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AM}=0\Leftrightarrow a\left(x-x_A\right)+b\left(y-y_A\right)=0$ (c.q.f.d)

\subsection{\textcolor{red}{Repérage dans l'espace}}
Quatre points O, I, J et K définissent un repère de l'espace si et seulement si ces quatre points ne sont pas coplanaires.

\noindent Si on prend O comme origine, les vecteurs du repère sont alors $\overrightarrow{\text{}}OI$ , $\overrightarrow{\text{}}OJ$ et $\overrightarrow{\text{}}OK$ constituent un repère.

\noindent Pour tout point M de l'espace, il existe alors trois nombres $x$, $y$ et $z$ uniques tels que $\overrightarrow{\text{OM}}=x\overrightarrow{\text{OI}}+y\overrightarrow{\text{OJ}}+z\overrightarrow{\text{OK}}$.

\noindent Ces trois nombres sont les coordonnées de M dans ce repère. On écrit $M(x~;~y~;~z)$.

\noindent $\left(O~;~\boxed{\textcolor{red}{OI}}~;~\overrightarrow{\text{OJ}}~;~\overrightarrow{\text{OK}}\right)$ est un repère orthonormé si, et seulement si, les droites (OI), (OJ) et (OK) sont deux  deux perpendiculaires et si $OI=OJ=OK=1$.


\subsection{\textcolor{red}{Produit scalaire dans l'espace}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Produit scalaire}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace.\\
$A$, $B$ et $C$ sont trois points de l'espace tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.\\
Il existe au moins un plan $\mathscr{P}$ contenant ces trois points $A$, $B$ et $C$ (unique si les points ne sont pas alignés).\\
Le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ est le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ calculé dans le plan $\mathscr{P}$.\\
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} il ne dépend pas du choix des points : en effet, dans $\mathscr{P}$, on a : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}(AB^2+AC^2-BC^2)$. Si l'on choisit trois autres points $A'$, $B'$ et $C'$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A'B'}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{A'C'}$, alors : \\
$\overrightarrow{A'B'}.\overrightarrow{A'C'}=\dfrac{1}{2}(A'B'^2+A'C'^2-B'C'^2)=\dfrac{1}{2}(AB^2+AC^2-BC^2)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.\\
Autrement dit : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\overrightarrow{u||}^2+||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2\right)}}$

\subsubsection{\textcolor{blue}{Différentes façons de calculer le produit scalaire}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}||\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

\item Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$ où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$.

\item Un repère orthonormal dans l'espace étant choisi, si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}$, alors : \\
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=aa'+bb'+cc'$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

Les propriétés du produit scalaire de deux vecteurs de l'espace sont les mêmes que celles de deux vecteurs du plan.
En particulier : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Vecteur normal à un plan, équation cartésienne d'un plan}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Un vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à un plan $\mathscr{P}$ si $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à tout vecteur du plan.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}$ un vecteur et $A(x_A;y_A;z_A)$ un point. 

Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ passant par $A$ et ayant $\overrightarrow{n}$ comme vecteur normal est : $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$\\

\textbf{ \textcolor{red}{Réciproquement}} : $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne d'un plan ayant pour vecteur normal $\overrightarrow{n}(a;b;c)$.
\end{bclogo}
 
\bigskip

\textcolor{red}{Démonstration} : $M(x;y;s)\in\mathscr{P}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$\\
il suffit de calculer le produit scalaire.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Plans sécants}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour montrer que deux plans sont sécants, donc non parallèles, il suffit de montrer que ces deux plans ont des vecteurs normaux non colinéaires.
\end{bclogo}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Droite}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une droite est l'intersection de deux plans.\\
Les coordonnées d'un point d'une droite vérifient les équations de deux plans et vérifient donc un système de deux équations.\\
Une droite peut donc être représentée par un système de deux équations cartésiennes de plans
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Équation paramétrique d'une droite}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit une droite $d$ passant par $A(x_A;y_A,z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$. 

Les coordonnées $(x;y;z)$ de tout point $M$ de $d$ sont de la forme :\\
$\begin{cases}x=x_A+ka\\y=y_A+kb\\z=z_A+kc\end{cases}$.\\
C'est ce qu'on appelle  représentation paramétrique de $d$.

\textbf{\textcolor{red}{Réciproque}} : évidente
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :  $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires, d'où $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{u}$. on en déduit le résultat en considérant les coordonnées.
\label{fin}
\end{document} 