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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2016}}
\textbf{Partie A}

Voici deux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ qui donnent pour deux personnes $P_1$ et $P_2$ de corpulences différentes la concentration $C$ d'alcool dans le sang (taux d'alcoolémie) en fonction du temps $t$ après ingestion de la même quantité d'alcool. L'instant $t = 0$ correspond au moment où les
deux individus ingèrent l'alcool.

$C$ est exprimée en gramme par litre et $t$ en heure.

\emph{Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps}

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.5)(6.5,1.75)
\psaxes[linewidth=.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(6.5,1.75)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{2 x mul 2.71828 x exp div}
\uput[u](1.5,1){$\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{3 x mul 2.71828 x exp div}\uput[u](1.5,0.65){\blue $\mathcal{C}_2$}
\uput[u](6.25,0){$t$}\uput[r](0,1.65){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La fonction $C$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $C'$ sa fonction dérivée. À
un instant $t$ positif ou nul, la vitesse d'apparition d'alcool dans le sang est donnée
par $C'(t)$.

À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?

La vitesse est visiblement maximale pour $t=0$ car c'est la tangente aux courbes en $O(0~;~0)$ qui semble avoir le coefficient directeur le plus élevé parmi toutes les tangentes.


\emph{On dit souvent qu'une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l'alcool.}
\item Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus
corpulente. Justifier le choix effectué.


La courbe $\mathcal{C}_1$ montre que le taux d'alcoolémie de $P_1$ admet un maximum plus élevé que pour $P_2$.

On en déduit que la personne la moins corpulente est $P_1$

\item Une personne à jeûn absorbe de l'alcool. On admet que la concentration $C$ d'alcool
dans son sang peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[f(t) = A t\text{e}^{-t}\]

où $A$ est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d'alcool
absorbée.
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(0)$.
		
		
		\underline{\blue première méthode} (longue mais utilisable dans la partie B):
		
		$f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$.
		
		$f=uv \Longrightarrow f'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}
		u(t)=At\\v(t)=\text{e}^{-t}
		\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
				u'(t)=A\\v'(t)=-\text{e}^{-t}
				\end{cases}$		
		
		$\forall t \in [0~;~+\infty[~,~f'(t)=A(1-t)\text{e}^{-t}$ et $f'(0)=A$
		
		\vspace{1cm}
		\underline{\blue deuxième méthode} (peut-être un peu plus astucieuse):
		
$		\lim_{h\rightarrow 0}{\dfrac{f'(h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}{A\text{e}^{-h}}=A$ (limite finie)
		
		On en déduit que $f$ est dérivable en 0 et $f'(0)=A$
		
		
		\item L'affirmation suivante est-elle vraie ?
		
\og À quantité d'alcool absorbée égale, plus $A$ est grand, plus la personne est corpulente. \fg


L'affirmation est FAUSSE 

si $A_1>A_2$ alors $A_1t\text{e}^{-t}>A_2t\text{e}^{-t}$ car $t\text{e}^{-t}>0$ sur $[0~;~+\infty[$

On en déduit que la courbe associée à $A_1$ est au dessus de celle associée à $A_2$ donc la personne associée à $A_1$ est de plus faible corpulence que la personne associée à $A_2$ 

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Un cas particulier}

\medskip

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de
rhum. La concentration $C$ d'alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé
en heure, par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(t) = 2 t\text{e}^{-t}.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.


On a vu dans la partie précédente que $\forall t \in [0~;~+\infty[~,~f'(t)=A(1-t)\text{e}^{-t}$ or $A\text{e}^{-t}>0$

donc $f'(t)$ est du signe de $1-t$, on peut donc déterminer les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$


%$$\tabvar{%
%\tx{t}&\tx{0}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
%\tx{f'(t)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
%\tx{f(t)}&\txb{0}&\fm&\txh{\dfrac{2}{\text{e}}}&\fd&\txb{}\cr
%}$$
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$1$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(t)$} \uput[u](2.5,1.9){$+$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$-$}
\rput(0.5,1){$f(t)$} \uput[u](1.1,0){0} \uput[d](4,2){$\frac{2}{\text{e}}$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}


\item À quel instant la concentration d'alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle
est alors sa valeur? Arrondir à $10^{-2}$ près.



La concentration d'alcool dans le sang de Paul est maximale 1h après l'absorption. 

Elle est alors d'environ 0,74 $g.l^{-1}$

\item Rappeler la limite de $\dfrac{\text{e}^t}{t}$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et en déduire celle de $f(t)$ en $+ \infty$.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.


$\lim_{t\rightarrow +\infty}{\dfrac{\text{e}^{t}}{t}}=+\infty$

$\lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)=\lim_{t\rightarrow =\infty}{2 \times \dfrac{t}{\text{e}^{t}}  }=\lim_{t\rightarrow +\infty}+\infty\left(2 \times \dfrac{1}{\left( \dfrac{\text{e}^{t}}{t}\right)}=0\right)$ par quotient


On en déduit que l'alcool finit par s'éliminer totalement.

\item Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle
que la législation autorise une concentration maximale d'alcool dans le sang de $0,2$~g.L$^{-1}$ pour un jeune conducteur.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe deux nombres réels $t_1$ et $t_2$ tels que 
		
$f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2$.

$f$ est continue et strictement croissante sur $[0~,~1]$ à valeurs dans $\left[0~;~\dfrac{2}{\text{e}} \right]$ 

or $0,2 \in \left[0~;~\dfrac{2}{\text{e}} \right]$  donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, 

l'équation $f(t)=0,2$ admet une unique solution $t_1$ sur $[0~,~1]$.

de même, $f$ est continue et strictement décroissante sur $[1~,~+\infty[$ à valeurs dans $\left]0~;~\dfrac{2}{\text{e}} \right]$ 

or $0,2 \in \left]0~;~\dfrac{2}{\text{e}} \right]$  donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires,

l'équation $f(t)=0,2$ admet une unique solution $t_2$ sur $[1~,~+\infty[$. 


		\item Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant
en toute légalité ?
		
Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.

Par balayage, on obtient $t_1\approx 0,112 $ et $t_2\approx 3,577$

donc Paul doit attendre au minimum 3 heures et 35 minutes avant de reprendre le volant.


	\end{enumerate}
\item La concentration minimale d'alcool détectable dans le sang est estimée à 
	
$5 \times 10^{-3}$~g.L$^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe un instant $T$ à partir duquel la concentration d'alcool dans le
sang n'est plus détectable.

On sait que $\lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)=0$ donc par définition de la limite, pour tout $\epsilon >0$ il existe $T \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $t >T~,~f(t)\in ]-\epsilon~;~\epsilon[$

ici on pose $\epsilon =5 \times 10^{-3}$

Donc il existe un instant $T$ à partir duquel l'alcool n'est plus détectable dans le sang.


		\item On donne l'algorithme suivant où $f$ est la fonction définie par 
		
$f(t) = 2 t\text{e}^{-t}$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Initialisation} :	& $t$ prend la valeur $3,5$\\
							&$p$ prend la valeur $0,25$\\
							&$C$ prend la valeur $0,21$\\
\textbf{Traitement} :		& Tant que $C > 5 \times 10^{-3}$ faire :\\
							&\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
								$t$ prend la valeur $t + p$\\
								$C$ prend la valeur $f(t)$
							\end{tabular}\\
							&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}:			&Afficher $t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme.
		
Arrondir les valeurs à $10^{-2}$ près.


	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
	&Initialisation &Étape 1& Étape 2\\ \hline
$p$	&0,25		&	0,25		& 0,25\\ \hline
$t$	&3,5		&	3,75		&4\\ \hline
$C$	&0,21		&	0,18		&0,15\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?



La valeur affichée par l'algorithme est le temps nécessaire, en heure, pour que l'alcool ne soit plus détectable dans le sang.

\vspace{0.5cm}
Si on poursuit l'algorithme jusqu'à son terme, on obtient $8,25$ à l'affichage donc il faut 8~h et 15~minutes pour que l'alcool ne soit plus détectable dans le sang



	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2015}}

%Soit $a$ un nombre réel fixé non nul.
%
%Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par:
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

\[u_0 = a\quad  \text{et,  pour tout}\: n\:  \text{de}\:\: \mathbb{N},\quad u_{n+1} = \text{e}^{2u_n} - \text{e}^{u_n}.\]

%On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire : $u_{n+1} = \text{e}^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} - 1\right)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : 

\[g(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - x.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $g '(x)$ et prouver que, pour tout réel $x $ :  $g'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(2\text{e}^{x} + 1\right)$.
		$g$ est dérivable comme somme et composée de fonctions dérivables.
		
		 Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $g'(x)=2\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x}-1=\left(2\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2-\mathrm{e}^{x}-1\right)=2X^2-X-1$ en posant $X=\mathrm{e}^{x}$.
		
 $2X^2-X-1$ a pour racines 1 et $-\dfrac{1}{2}$ donc $2X^2-X-1=2\left(X-1\right)\left(X+\dfrac{1}{2}\right)=(X-1)\left(2X+1\right)$.

 On en déduit : $g'(x)=\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(2\mathrm{e}^{x}+1\right)$

\item %Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de son minimum.
Pour tout $x$ réel, $\mathrm{e}^{x}>0$ donc $2\mathrm{e}^{x}+1>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)$.
		
$\mathrm{e}^{x-1}=0$ pour $x=0$ et $\mathrm{e}^{x}-1>0\iff \mathrm{e}^{x}>1\iff x>0$.
		
On en déduit le tableau de variation de $g$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\filet
g'(x)&&-&\z&+&\\
\filet
\m{g(x)}&&\d&0&\c&\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
$g$ a donc pour minimum 0, atteint pour $x=0$.

		\item %En remarquant que $u_{n+1} - u_n = g\left(u_n\right)$, étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=\left(\mathrm{e}^{2u_n}-\mathrm{e}^{u_n}\right)-u_n=g\left(u_n\right)\geqslant 0$ puisque le minimum de $g$ est 0.
		
 On en déduit que la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.
	\end{enumerate}
	
\item Dans cette question, on suppose que $a \leqslant 0$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \leqslant 0$.
		Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \leqslant 0$.
		

\begin{itemize}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation :}} $u_0=a\leqslant 0$ donc la propriété est vraie au rang 0.

\bigskip

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}}: on suppose la propriété vraie pour un rang $n$ quelconque, donc $u_n\leqslant 0$.

 On a : $u_{n+1}=\mathrm{e}^{2u_n}-\mathrm{e}^{u_n}=\mathrm{e}^{u_n}\left(\mathrm{e}^{u_n}-1\right)$.

 D'après l'hypothèse de récurrence, $u_n\leqslant 0$ donc $\mathrm{e}^{u_n}\leqslant 1$ d'où \\
$\mathrm{e}^{u_n}-1\leqslant 0$.

 Comme $\mathrm{e}^{u_n}>0$, on en déduit que $u_{n+1}\leqslant 0$.

 La propriété est donc \textbf{héréditaire}.
\end{itemize}


D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

		\item %Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
La suite $\left(u_n\right)$ est alors croissante et majorée par 0, donc convergente vers une réel $\ell\geqslant 0$.

		\item %Dans le cas où $a$ vaut $0$, donner la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
On suppose que $a=0$. Le premier terme de la suite vaut 0. La suite est croissante et majorée par 0, donc tous les termes de la suite valent 0 et la suite \textbf{\textcolor{red}{converge vers 0}}.
	\end{enumerate}
			
\item Dans cette question, on suppose que $a > 0$.
	
La suite $\left(u_n\right)$ étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout entier naturel $n$,\:$u_n\geqslant a$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n \geqslant g(a)$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=g\left(u_n\right)$.

 Comme $u_n\geqslant a>0$, tous les termes de la suite sont positifs. D'après les variations de $g$ sur $[0~;~=\infty[$, on a $g\left(u_n\right)\geqslant g(a)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}—u_n\geqslant g(a)}}$.

		\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : 
Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : 
		$u_n \geqslant a + n \times g(a)$.
		\begin{itemize}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation }}: Pour $n=0$, $a + n \times g(a)=a+0\times g(a)=a$ ; or $u_n\geqslant a$, donc la propriété est vraie au rang $n=0$. La propriété est initialisée.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose que, pour un entier $n$ quelconque,

$u_n \geqslant a + n \times g(a)$.

 Alors : $u_{n+1}-u_n=g\left(u_n\right)\iff u_{n+1}=u_n+g\left(u_n\right)$
 
$\geqslant \left(a+n\times g(a))\right)+g\left(u_n\right)$ (d'après l'hypothèse de récurrence).

Or $u_n\geqslant a>0$ donc $g\left(u_n\right)\geqslant g(a)$ puisque la fonction $g$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.

Par conséquent $\geqslant \left(a+n\times g(a))\right)+g\left(u_n\right)\geqslant a+n\times g(a)+g(a)$

$=a+(n+1)g(a)$.

La propriété est donc \textbf{héréditaire}.
\end{itemize}

D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$, donc, pour tout $n \in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}\geqslant a+n\times g(a)}}$.

		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		$a>0$ donc $g(a)> g(0)=0$. 
		
		 On en déduit que $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(a+n\times g(a)\right)=+\infty$, donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\boxed{\textcolor{red}{+\infty}}$ d'après le théorème des gendarmes.
		
	\end{enumerate}
	
\item Dans cette question, on prend $a = 0,02$.

 D'après la question précédente, la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$.
	
%L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n > M$, où $M$
%désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.
	
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|X|}\hline
%\textbf{Variables}& $n$ est un entier, $u$ et $M$ sont deux réels\\ \hline
%&$u$ prend la valeur $0,02$\\
%\textbf{Initialisation}& $n$ prend la valeur 0\\
%&Saisir la valeur de $M$\\ \hline
%\textbf{Traitement}&Tant que \ldots\\
%&\ldots\\
%&\ldots\\
%&Fin tant que\\ \hline
%\textbf{Sortie}& Afficher $n$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Sur la copie, recopier la partie \og Traitement \fg{} en la complétant.
		La partie à compléter de l'algorithme est :

Tant que $u\leqslant M$\\
$u$ prend la valeur $\mathrm{e}^{u}\left(\mathrm{e}^{u}-1\right)$\\
$n$ prend la valeur $n+1$\\
Fin Tant que

		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si $M = 60$.
		Pour $M = 60$, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{n=36}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  