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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 1}}\end{center}




\subsection{}
%Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : \[\dfrac{2x+5}{3x+5}\geqslant \dfrac{x-1}{5x-1}\]
Soit l'inéquation (I) : \[\dfrac{2x+5}{3x+5}\geqslant \dfrac{x-1}{5x-1}\]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Ensemble de définition}} :

Il faut qu'aucun des dénominateurs ne s'annule, donc l''ensemble de définition n est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{5}{3}~;~\dfrac{1}{5}\right\}}}$.

\item On suppose que $x\in\mathscr{D}$. (on peut alors raisonner par équivalences)

Alors : $(I)\Leftrightarrow \dfrac{2x+5}{3x+5}- \dfrac{x-1}{5x-1} \geqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{(2x+5)(5x-1)-(3x+5)(x-1)}{(3x+5)(5x-1)}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{\left(10x^2-2x+25x-5\right)-\left(3x^2-3x+5x-5\right)}{(3x+5)(5x-1)}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{7x^2+21x}{(3x+5)(5x-1)}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{7x(x+3)}{(3x+5)(5x-1)}\geqslant 0$.

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : il faut absolument factoriser !!!

\item On renseigne un tableau de signes :

Le numérateur s'annule pour $x=-3$ ou $x=0$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&-\dfrac{5}{3}&&0&&\dfrac{1}{5}&&\pI\\
\hline
7x&&-&\l&-&\bb&-&\z&+&\bb&+&\\
\hline
x+3&&-&\z&+&\bb&+&\l&+&\bb&+&\\
\hline
3x+5&&-&\l&-&\bb&+&\l&+&\bb&+&\\
\hline
5x-1&&-&\l&-&\bb&-&\l&-&\bb&+&\\
\hline
\dfrac{7x(x+3)}{(3x+5)(5x-1)}&&+&\z&-&\bb&+&\z&-&\bb&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Conclusion : ce quotient doit être supérieur ou égal à 0.

L'ensemble des solutions est : 

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-3\right]\cup\left]-\dfrac{5}{3}~;~0\right]\cup\left]\dfrac{1}{5}~;~+\infty\right[}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x)=x+1+\dfrac{4}{x^2}\].
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ et l'écrire sous forme de fraction rationnelle.
$f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables.

Pour tout $x>0$, $f(x)=x+1+4\times \dfrac{1}{x^2}$, donc $f'(x)=1+0+4\times \left(-\dfrac{2}{x^3}\right)=1-\dfrac{8}{x^3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^3-8}{x^3}}}$

\item %Vérifier que $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^b+ab^2-aêb-ab^2-b^3=a^3-b^3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}}$.

\item %En déduire la factorisation de $f'(x)$.
$f'(x)=\dfrac{x^3-8}{x^3}=\dfrac{x^3-2^3}{x^3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(x-2)(x^2+x+2)}{x^3}}}$.

\item %En déduire les variations de $f$.
Pour étudier les variations de $f$, on étudie le signe de sa dérivée sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x>0$ donc $x^3>0$

\item $x^2+x+2$ a une discriminant égal à -7, négatif, donc $x^2+x+2>0$ pour $x>0$

\item $x-2>0$ pour $x>2$ et $x-2<0$ pour $x<2$
\end{enumerate}
On en déduit que $f'(x)\leqslant 0$ pour $0<x\leqslant 2$  et $f'(x)\geqslant 0$ pour $x\geqslant 2$.
Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&2&&\pI\\
\hline
x-2&\bb&-&\z&+&\\
\hline
x^2+x+2&\bb&+&\l&+&\\
\hline
x^3&\bb&+&\l&+&\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&&\d&4&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item On note $\mathscr{D}$ la droite d'équation $y=x+1$.

%En étudiant le signe de $f(x)-(x+1)$, trouver la position relative de $\mathscr{C}$ et de $\mathscr{D}$.
Pour tout $x>0$, $f(x)-(x+1)=\dfrac{4}{x^2}$ donc $f(x)-(x+1)>0$ et $f(x)>x+1$.

$\mathscr{C}$ est donc au-dessus de $\mathscr{D}$.


\item %Construire la droite $\mathscr{D}$ et la courbe représentative de $f$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.7pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(11.,12.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-1.)(11.,12.)
\psgrid[subgriddiv=1](-1.,-1.)(11.,12.)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{0.01}{10}{x+1+4/x^2}
\psplot{0.01}{10}{x+1}
\uput[r](1,6){$\mathscr{C}$}
\uput[d](1,2){$\mathscr{D}$}
\psline{<->}(1.5,4)(2.5,4)
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{enumerate}

Penser à tracer la tangente horizontale en $x=2 !$
\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par : \[g(x)=x^3+6x^2+1.\]
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les variations de $g$ sur son ensemble de définition.
$g$ est dérivable comme polynôme ; $g'(x)=3x^2+12x=\boxed{\textcolor{red}{3x(x+4)}}$.

Ls racines sont -4 et 0.

Sur ]-4~;~0], $g'(x)$ est su signe opposé à celui du coefficient de $x^2$ donc négatf.

Sur $[0~;~+\infty[$, $g'(x)\geqslant 0$.

\textbf{\textcolor{red}{Tableau de variation}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&-4&&0&&\pI\\
\hline
g'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{g(x)}&\bb&&\d&1&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire le signe de $g(x)$.
Le minimum de $g$ est 1, donc $g(x)>0$ sur $]-4~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par \[f(x)=\dfrac{x^3-2}{x+4}\].
\begin{enumerate}
\item %Déterminer $f'(x)$.
$f$ est dérivable comme fonction rationnelle (quotient de polynômes).

$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=x^3-2\\v(x)=x+4\end{cases}$.

$f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=3x^2\\v'(x)=1\end{cases}$.

$f'(x)=\dfrac{3x^2(x+4)-\left(x^3-2\right)}{(x+4)^2}=\dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2g(x)}{(x+4)^2}}}$.


\item %En déduire les variations de $f$ ; dresser le tableau de variation de $f$.
$f'$ est donc du signe de g ; par conséquent, $f'$ est positive sur $]-4~;~+\infty[$ ; $f$ est donc \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur cet intervalle.

\end{enumerate}


\end{enumerate}


\subsection{}%Indice première S Œ 121 page 134
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=6$, $u_1=1$ et la relation de récurrence $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Soient deux réels $\alpha$ et $\beta$ distincts tels que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ sont définies par 

$v_n=u_{n+1}-\alpha u_n$ et $w_n=u_{n+1}-\beta u_n$ .


\begin{enumerate}
\item %Montrer que $\alpha$ et $\beta$ sont les solutions de l'équation $x^2=5x-6$.
On suppose que $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\beta$.

Pour tout $n$, $v_{n+1}=\beta v_n$.

Cela donne : $u_{n+2}-\alpha u_{n+1}=\beta v_n\Leftrightarrow \left(5u_{n+1}-6u_n\right)-\alpha u_{n+1}=\beta v_n\Leftrightarrow (5-\alpha)u_{n+1}-6u_n=\beta v_n\Leftrightarrow (5-\alpha)u_{n+1}-6u_n=\beta u_{n+1}-\alpha\beta u_n$.

On en déduit que : $\begin{cases}5-\alpha=\beta\\\alpha\beta=6\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\alpha+\beta=5\\\alpha\beta=6\end{cases}$.

En écrivant que $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $\alpha$, on retrouve le même système.

$\begin{cases}\alpha+\beta=5\\\alpha\beta=6\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\beta=\dfrac{6}{\alpha}\\\alpha+\dfrac{6}{\alpha}=5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\beta=\dfrac{6}{\alpha}\\\alpha^2-5\alpha+6=0,\end{cases}$

$\alpha$ est donc solution de l'équation $x^2-5x+6=0$.

\item %En déduire les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ (on prendra $\alpha<\beta$).
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\alpha=2\text{ et }\beta=3}}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $v_n=-11\times 3^n$ pour tout entier naturel $n$.
$\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\beta=3$, dp,c $v_n=v_0\times q^n$ avec $v_0=u_1-\alpha u_0=u_1-2_0=1-12=-11$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_n=-11\times 3^n}}$.

\item %Déterminer l'expression du terme général $w_n$.
D même, $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $\alpha=2$, donc $w_n=w_0\times 2^n=\boxed{\textcolor{red}{-17\times 2^n}}$

\end{enumerate}

\item En déduire l'expression du terme général de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout $n$, $v_n-w_n=\left(u_{n+1}-\alpha u_n\right)-\left(u_{n+1}-\beta u_n\right)\\
=(\beta-\alpha)u_n=u_n$ donc $u_n=v_n-w_n=\boxed{\textcolor{red}{-11\times 3^n+17\times 2^n}}$
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Tours de Hanoï}}
On note $D_n$ le nombre minimal de déplacements nécessaires pour transporter une tour de $n$ étages ($n\geqslant 1$).

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $D_1=1$, $D_2=3$, $D_3=7$.
Il est facile de montrer que, pour tout $n$, $D_{n}=2D_{n-1}+1$.

En effet, une tour de $n$ disques est constituée d'une tour de $n-1$ disques, au-dessus d'un grand disque.

En effet, soient A, B et C les trois emplacements des tours. Pour déplacer une tour de n disques de A vers C, on effectue ces trois étapes :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item     déplacer la tour des n-1 premiers disques de A vers B (étape qui nécessite $D_{n-1}$ déplacements, d’où la récurrence) ;

\item déplacer le plus grand disque de A vers C (un déplacement supplémentaire) ;


\item  déplacer la tour des n-1 premiers disques de B vers C (à nouveau xn-1 déplacements).

\end{enumerate}
\end{enumerate}
Le nombre de déplacements de disques vérifie donc la relation de récurrence : $d_n+2D_{n-1}+1$.

On trouve $D_1=1$, $D_2=3$, $D_3=7$.

\item %Montrer que $D_4=15$.
De même, $D_4=15$

\item %Exprimer une relation entre $D_{n+1}$ et $D_n$.
voir précédemment.

\item %Conjecturer une expression de $D_n$ en fonction de $n$.
On conjecture que $D_n=2^n-1$.

\item %Démontrer cette relation par récurrence.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $n=1$, $2^n-1=2-1=1=D_1$

\item On suppose que $D_n=2^n-1$.

$D_{n+1}=2D_n+1=2\left(2^n-1\right)+1=2^{n+1}-2+1=2^{n+1}-1$ donc la propriété est héréditaire.
\end{enumerate}

D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\item %En admettant que l'on effectue un déplacement par seconde, combien de temps faudra-t-il de temps pour reconstituer une tour de 80 étages ?
Le temps nécessaire pour reconstituer une tour de 80 étages est $2^{80}-1$ secondes, donc $\dfrac{2^{80}-1}{86400}$ jours, soit environ $3,8\times 10^{16}$ ans (donc plus que l'âge de l'univers !)
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[\left\{\begin{array}{l}u_0=\frac12\\u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{u_n+2}\end{array}\right..\]



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}



Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0<u_n<1$.

\noindent Montrons d'abord par récurrence que, pour tout $n$, $u_n\geqslant 0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} :$u_0=\dfrac{1}{2}$ donc c'est vrai pour $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité }}: on suppose $u_n>0$ pour un entier $n$. Alors $u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{u_n+2}>0$ donc c'est vrai au rang $n+1$
\end{enumerate}
On en déduit que $u_n>0$ pour tout $n$.

\bigskip
Montrons maintenant par récurrence que, pour tout $n$, $u_n<1$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : $u_0=\dfrac{1}{2}<1$ donc c'est vrai pour $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} :  on suppose $u_n<1$ pour un entier $n$ quelconque.

\noindent $u_{n+1}-1=\dfrac{u_n+1}{u_n+2}-1=\dfrac{u_n+1-u_n-2}{u_n+2}=\dfrac{-1}{u_n+2}<0$ puisque $u_n>0$. on en déduit que $u_{n+1}-1<0$ donc $u_{n+1}<1$.

\noindent La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

On a donc montré que, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{0<u_n<1}}$.

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  
}