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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de géométrie dans l'espace}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2006}}
\begin{enumerate}
\item Un vecteur $\overrightarrow{n}_{1}$ normal à $(P_{1})$ est $\overrightarrow{n}_{1}\left(\begin{array}{rrr}-2\\1\\1\\\end{array}\right)$.  Un vecteur $\overrightarrow{n}_{2}$ normal à $(P_{2})$ est $\overrightarrow{n}_{1}\left(\begin{array}{rrr}1\\-2\\4\\\end{array}\right)$.
Ces deux vecteurs sont non nuls et $\overrightarrow{n}_{1} \cdot \overrightarrow{n}_{2} = -2 \times 1 + 1 \times (-2) + 1 \times 4 = 0.$ Ces vecteurs étant orthogonaux, les deux plans sont \textbf{\textcolor{red}{perpendiculaires}}.

\item En posant $z = t$ les coordonnées de la droite commune aux deux plans vérifient \\
$\left\{\begin{array}{l c l}
-2x + y &=& 6 - t\\
x - 2y &=& 9 -4t\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
-2x + y &=& 6 - t\\
2x - 4y &=& 18 -8t\\
\end{array}\right. \Rightarrow -3y = 24 - 9t \iff y = - 8 + 3t$ et en reportant dans l'une des équations des plans $x = - 7 + 2t$.\\
Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (P_{1} \cap (P_{2}) = (\text{D} \iff \boxed{\textcolor{red}{\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&-7 + 2t\\y&=&-8 + 3t\\z&=&t\\\end{array}\right.}}$.

\item \begin{enumerate}
\item On a $-18 - 4 - 1 - 6 = 0$ Faux et $-9 + 8 - 4 - 9 = 0$ \textbf{\textcolor{red}{Faux}}

\item A$M^2 = (x + 9)^2 + (y + 4)^2 + (z + 1)^2 = (2 + 2t)^2 + (-4 + 3t)^2 + (t + 1)^2 = 14t^2 - 14t + 21 = \boxed{\textcolor{red}{7\left(2t^2 - 2t + 3\right).}}$

\item $f(t) = 2t^2 - 2t + 3 = 2\left(t^2 - t + \dfrac{3}{2}\right) =
 2\left[\left(t - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\right] =
  2\left[\left(t - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{5}{4}\right] \geqslant 2\times \dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{2}> 0$. Ce trin\^ome est donc décroissant sur $]- \infty~;~\dfrac{1}{2}]$, croissant sur $[\dfrac{1}{2}~;~+ \infty[$ et a un minimum en $\dfrac{1}{2}.$\\
Le point correspondant est $\boxed{\textcolor{red}{M_{\text{mini}} = \text{I}\left(- 6~;~ - \dfrac{13}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)}}$. 
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item La représentation paramétrique de (D) donne les coordonnées d'un vecteur directeur de (D), donc un vecteur normal à (Q), c'est le vecteur 
$\overrightarrow{q}\left(\begin{array}{l}
2\\3\\1\\\end{array}\right)$.\\
Une équation de (Q) est donc : $2x + 3y + z + \alpha = 0$. A 
$\in (\text{Q}) \iff \\-18 - 12 - 1 + \alpha = 0 \iff \alpha = 31$.\\
Une équation de (Q) est donc : $M \in  (\text{Q}) \iff 2x + 3y + z + 31 = 0.$
\item Le triangle A$M$I est rectangle en I. Le c\^oté [AI] a une longueur inférieure à celle de l'hypoténuse [A$M$] : I est bien le projeté orthogonal de A sur (D) .
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du sud novembre 2006}}
Dans l'espace rapporté à un repére orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on 
considére les points :

A de coordonnées $(3 ~;~ 1 ~;~-5)$, B de coordonnées $(0 ~;~ 4 
~;~ -5)$, C de coordonnées $(-1 ~;~ 2 ~;~ -5)$ et D de 
coordonnées (2 ; 3 ; 4).

\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{\text{AB}}\left(\begin{array}{l}-3\\ 3\\0\\
\end{array}\right),~\overrightarrow{\text{AD}}\left(\begin{array}{l}-1\\ 2\\9\\
\end{array}\right)$. Il n'existe pas de réel $\alpha$ tel que $\overrightarrow{\text{AB}} = \alpha\overrightarrow{\text{AD}}$. Les points A, B et D  ne sont pas  alignés.
\item Les égalités $3 + 1 = 4$ et $0 + 4= 4$ sont vraies ; les points A et B appartiennent au plan. Donc la droite (AB) est contenue dans le plan d'équation cartésienne : $x + y = 4$.
\item Les coordonnées des trois points vérifient l'équation. L'équation proposée est bien celle du plan (BCD), ces trois points étant manifestement disjoints deux à deux.
\item Les coordonnées de A ne vérifient pas l'équation précédente. Donc A n'appartient pas au plan (BCD). Les points A, B, C et D ne sont pas  coplanaires.
\item La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD) si et seulement si la distance de A à ce plan est égale au rayon du cercle, c.à.d si $d(\text{A},~(\text{BCD)}) = \dfrac{81}{\sqrt{18^2 + 9^2 + 5^2}} = 9 \iff  \dfrac{81}{\sqrt{430}} = 9$ qui est une égalité fausse. La proposition est fausse.
\item Une représentation paramétrique de la droite (BD) est obtenue en traduisant l'égalité vectorielle $\overrightarrow{\text{B}M} = \lambda \overrightarrow{\text{BD}}$ qui se traduit par le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 2\lambda\\
y&=&4 - \lambda\\
z&=& - 5 - 5\lambda\\
\end{array}\right.$  qui se traduit en posant $2\lambda = 1 - 2k \iff \lambda = \dfrac{1}{2} - k$ par le système proposé par l'énoncé. La proposition est vraie.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{D'aprés Nouvelle-Calédonie mars 2008}}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On sait que le vecteur $\overrightarrow{n}(4~;~1~;~2)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ et donc qu'une équation d'un plan $\mathcal{P}$ perpendiculaire à $\mathcal{D}$ est $4x + 1y + 2z + d = 0$. A appartient à  ce plan si $4 \times (-1) + 1 \times 2 + 2 \times 3 + d = 0 \iff 4 + d = 0 \iff d = - 4.$\\
		Une équation du plan $\mathcal{P}$  est donc : $4x + 1y + 2z - 4 = 0$.
		%Donner une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$, perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$ et passant par A.
		\item  On voit que la valeur $t = -3$ donne les coordonnées du point B.%Vérifier que le point B$(-3~;~3~;~-4)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
		\item On sait que la distance $d_{\text{B}}$ du point B au plan $\mathcal{P}$ est égale à $d(\text{B},~\mathcal{P}) = \dfrac{\left|4x_{\text{B}} + y_{\text{B}} +2 z_{\text{B}} - 4  \right|}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{\left|4 \times (-3) + 3 +2 \times (-4) - 4  \right|}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{21}{\sqrt{21}} = \sqrt{21}$. %Calculer la distance $d_{\text{B}}$ entre le point B et 
%le plan $\mathcal{P}$.
		\item La droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire à $\mathcal{P}$, donc orthogonale à toute droite de $\mathcal{P}$. On a donc un triangle rectangle de cÙtés $d_{\text{B}}$ et $d$ et d'hypoténuse [AB]. Le théorème de Pythagore permet d'écrire $d^2 = \text{AB}^2 - d_{\text{B}}^2$.\\
		AB$^2 = (-2)^2 + 1^2 + (-7)^2 = 54$.\\
Donc $d^2 = 54 - 21 = 33$. Finalement $d = \sqrt{33}$.%  Exprimer la  distance $d$ en fonction de $d_{\text{B}}$ et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de $d$.
	\end{enumerate}
\item On a A$M^2 = (10 + 4t)^2 + (4 + t)^2 + (-1 + 2t)^2 =\\
 100 + 16t^2 +  80t + 16 + t^2 + 8t + 1 + 4t^2 - 4t = 21t^2 + 84t +117$. \\
La distance de A à la droite $\mathcal{D}$ est la plus petite distance A$M$, donc le carré de la distance correspond au minimum du trinÙme $21t^2 + 84t +117$.\\
$21t^2 + 84t +117 = 21 \left(t^2 + 4t + \dfrac{117}{21}\right) = 21\left[ (t + 2)^2 - 4 + \dfrac{117}{21}\right] = 21\left[ (t + 2)^2 + \dfrac{33}{21}\right].$\\
Le minimum est obtenu pour $t = -2$ ; pour cette valeur le trinÙme vaut  \\
$21 \times \dfrac{33}{21} = 33 = d^2$. Et finalement $d = \sqrt{33}$.
%Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}$. Exprimer A$M^2$ en fonction de $t$. Retrouver alors la valeur de  $d$.
\end{enumerate}
%\end{multicols}


\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2013}}
\begin{center}
Les bonnes réponses sont \textbf{b. \;  c. \; a. \; b.}
\end{center}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent
des paramètres réels.

%PLAN (P)
Le plan (P) a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$ et donc, par
propriété, il a  pour vecteur normal
$\vec{n}\left(\begin{tabularx}{0.7cm}{X}
1\\
$-2$\\
3
\end{tabularx}\right)$.


%PLAN (S)
Le plan (S) a pour représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2 + t + 2t'\\
y& =&\hspace{0.2cm}0  - t - 2t'\\
z &=& -1 - t + 3t'
\end{array}\right.$

Par propriété,  le plan (S) passe par F$(-2~;~0~;~-1)$ et a pour vecteurs de
base $\vec{u} \left(
\begin{array}{c}
   1 \\
-1 \\
   -1
\end{array}
\right)$ et $\vec{v}\left(
\begin{array}{c}
  2 \\
 -2\\
  3
\end{array}
\right)$


\medskip

\medskip

%DROITE (D)
La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l
c l}
x&=&-2 + t\\
y &=&-t \\
z&=&-1 - t
\end{array}\right.$
\medskip

Par propriété, la droite (D) passe par F$(-2~;~0~;~-1)$ et a pour vecteur
directeur $\vec{u}\left(
\begin{array}{c}
  1 \\
 -1\\
  -1
\end{array}
%%%%%% correction 'contenue dans le plan (D)'
\right)$, elle est donc clairement contenue dans le plan (S) pour la
valeur $t'=0$.\\

On donne les points de l'espace M$(-1~;~2~;~3)$ et N$(1~;~-2~;~9)$.

\medskip

\begin{enumerate}
%Q1
\item La bonne réponse est \textbf{b.~} en excluant les trois autres ou
en vérifiant directement.
\medskip

\textbf{a.~} N'est pas un plan mais une droite.\\


\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l} 	
x&=&t + t'\\ y&=& 1 - t- 2t'\\z&=& 1 - t - 3t'\end{array}\right.$ passe
par (0; 1; 1) $\notin$(P)\\

\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 1 + 2t + t'\\y&=& 1 - 2t + 2t'\\z&=& - 1 - t'\end{array}\right.$
passe par (1; 1; $-1$) $\notin$(P)\\

\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t + 2t'\\y&=& 1- t + t'\\z&=& - 1 - t\end{array}\right.$
passe par le point A(0; 1; $-1$) qui est élément de (P) car
$0-2\time1+3\times(-1)+5=0$
et a pour vecteurs directeurs $\vec{u}\left( \begin{tabularx}{0.7cm}{X}
1\\
$-1$\\
$-1$
\end{tabularx}  \right)$
et $\vec{v}\left(\begin{tabularx}{0.7cm}{X}
2\\
1\\
0
\end{tabularx}\right)$. Or
$\vec{n} \cdot \vec{u}=0$ et  $\vec{n} \cdot \vec{v}=0$ donc $\vec{n}$
normal à deux vecteurs non colinéaires du plan, il est normal au plan.
On a bien une représentation paramétrique du plan (P).

%Q2
\item  La bonne réponse est \textbf{c.~} \og La droite (D) est une droite
du plan (P). \fg
\medskip

Remplaçons, pour $t$ quelconque, les coordonnées d'un point de la droite
dans l'équation du plan (P).
Quel que soit $t \in \mathbb{R}$, $-2-t-2\times (-t)+3\times
(-1-t)+5=-2-3+5+t+2t-3t=0$,  donc tout point de $\Delta$ appartient à (P),
la droite est contenue dans (P).\\

%Q3	
\item La bonne réponse est \textbf{a.~} \og La droite (MN) et la droite
(D) sont orthogonales. \fg
\medskip

$\overrightarrow{MN}$  $\left( \begin{tabularx}{0.7cm}{X}
2\\
$-4$\\
$6$
\end{tabularx}  \right)$  et $\overrightarrow{u} \left(
\begin{array}{c}
   1 \\
-1 \\
   -1
\end{array}
\right)$

donc $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{u}=1+2-3=0$ prouve que (MN) est orthogonale à
(D).
%Q4		
\item La bonne réponse est \textbf{b.~} \og La droite ($\Delta$) et la
droite d'intersection de (P) et (S). \fg
\medskip

On vérifie que la droite $\Delta$ est contenue dans chacun des deux plans
(qui ne sont pas confondus par ailleurs).\\
	\begin{itemize}
\item [.] Pour tout $t \in \mathbb{R}$, $t-2\times(-2 - t)+3\times (-3 - t) + 5 =
t+4+2t-9-3t+5=0$ prouve  $(\Delta) \subset (\text{P})$.
\item [.] Soit E le point de $\Delta$ de paramètre $t=0$ :  E$(0~;~
-2~;~-3)$ et soit  F le point  de paramètre $t = -2$ : F($-2~;~0~;~1$). On
reconnaÓt le point de (S) de paramètre $(t= 0, t'= 0)$ donc F
$\in(\text{S})$. \\
Montrons que E $\in (\text{S})$. \\
Résolvons le système
$\left\{\begin{array}{l c l}
0&=&-2 + t + 2t'\\
-2& =&\hspace{0.4cm} - t - 2t'\\
- 3 &=& -1 - t + 3t'
\end{array}\right.$ \\

En additionnant les lignes (1) et (3) on obtient $5t'=0$ donc $t'=0$ et en
remplaçant dans les trois équations on obtient bien une seule valeur de
$t=2$. \\Cela prouve que E $\in (\text{P})$ pour ($t=2$, $t'=0$). \\
Conclusion : les points E et F sont dans (S),  donc la droite ($\Delta$)
est entièrement contenue dans (S).
\end{itemize}
\medskip

La droite ($\Delta$) étant simultanément contenue dans les deux plans
(non confondus) est la droite d'intersection.
\end{enumerate}

(\emph{Remarque}: Les réponses  \textbf{a.~} et  \textbf{c.~} pouvaient
Ítre éliminées de manière directe,  mais la réponse \textbf{b.~}
exclut aussi la réponse  \textbf{d.~}).




\label{fin}
\end{document}  