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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille 3}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2014}}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par 

\[
f(x) = \text{e}^x \quad  \text{et} \quad  g(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1
\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.
 
\begin{enumerate}
\item Intersection de deux courbes:
\hspace*{-1cm}
\[
M(x~;~y)\in \mathcal{C}_{f}\cap \mathcal{C}_{g}\Longleftrightarrow f(x)=g(x)\Longleftrightarrow \text{e}^x=2\text{e}^{\frac{x}{2}}-1\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l}
X=\text{e}^{\frac{x}{2}}\\
X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2=0
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \text{e}^{\frac{x}{2}}=1\Longleftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=0}}
\]
Ainsi $M$ a pour coordonnées $(0\,;\,1)$.
\[
f'(x)=\text{e}^x\Longrightarrow \boxed{\textcolor{red}{f'(0)=1}}\quad;\quad g'(x)=\text{e}^{\frac{x}{2}}\Longrightarrow \boxed{\textcolor{red}{g'(0)=1}}
\]

En $M$, leurs tangentes ont, toutes deux le même coefficient directeur $1$,

elles ont donc \textbf{\textcolor{red}{même tangente}} $\Delta$ d'équation $y-1=1(x-0)\Longleftrightarrow y=x+1$.
\item Étude de la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$
 
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - x - 2$. 
\begin{enumerate}
\item Limite de la fonction $h$ en $- \infty$:
\[
\lim_{x\to-\infty}h(x)=\lim_{x\to-\infty}(-x)=+\infty\ \text{car}\ \lim_{x\to-\infty}\text{e}^{\frac{x}{2}}=0
\] 
\item Pour tout réel $x\neq 0$
\[
 x\left(\frac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}-1-\dfrac{2}{x}\right)=\cancel{x}\times\text{e}^{\frac{x}{2}}\times \frac{2}{\cancel{x}}-x-\cancel{x}\frac{2}{\cancel{x}}=2\text{e}^{\frac{x}{2}} - x - 2=h(x)
\] 

Limite de la fonction $h$ en $+ \infty$:
\[
\lim_{x\to+\infty}h(x)=\lim_{x\to+\infty}x\times \frac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}=+\infty,\ \text{car}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0\ \text{et}\ \lim_{X=\frac{x}{2}\to+\infty}\frac{\text{e}^X}{X}=+\infty
\] (croissances comparées) 

\item Fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$:
\[
h'(x)=2\times\frac{1}{2}\text{e}^{\frac{x}{2}}-1=\boxed{\textcolor{red}{\text{e}^{\frac{x}{2}}-1}}
\]
\[
h'(x)>0\Longleftrightarrow 	\text{e}^{\frac{x}{2}}>1 \Longleftrightarrow \frac{x}{2}>0\Longleftrightarrow x>0\ \text{et}\ h'(x)<0\Longleftrightarrow 	\text{e}^{\frac{x}{2}}<1 \Longleftrightarrow \frac{x}{2}<0\Longleftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x<0	 }}
\] 
\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variations}} de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$:
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
\m{h(x)}&&\d&0&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\item La fonction $h$ possède un minimum en $0$ qui est $0$. Donc:
\[
\forall x,\ x\in\mathbb{R},\ h(x)\geqslant 0\Longleftrightarrow 2\text{e}^{\frac{x}{2}}-x-2=2\text{e}^{\frac{x}{2}}-1-x-1\geqslant 0\Longleftrightarrow\boxed{\textcolor{red}{ 2\text{e}^{\frac{x}{2}}-1\geqslant x+1}}
\]
\item Ainsi la courbe $\mathcal{C}_{g}$ se trouve au dessus de la droite d'équation $y=x+1$ qui est la droite $\Delta$.
	\end{enumerate} 
\item Étude de la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ 
\begin{enumerate}
\item On a vu plus haut (question 1.) que, pour tout réel $x$, $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}}-1\right)^2=f(x)-g(x)\geqslant 0$. 
\item Ainsi la courbe $\mathcal{C}_{f}$ se trouve au dessus de la courbe $\mathcal{C}_{g}$.

Ainsi, $\left|f(x)- g(x)\right| = \left(f(x) - g(x)\right)$.
\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

				
\subsection{\textcolor{blue}{Métropole septembre 2014}}

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, une courbe $\mathcal{C}$ et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0~;~1) et $(-1~;~3)$.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.5)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-2.5)(3,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](0,1){A}\uput[l](-1,3){B}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[d](-1,0){$- 1$}\uput[r](0,3){3}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}\uput[d](-2,-1.2){$\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{1 x add x 3 mul 2.71828 x dup mul exp div sub}
\psplot{-1.5}{1.5}{1 x 2 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center} 

On désigne par $f$ la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}$. 

On suppose, de plus, qu'il existe un réel $a$ tel que pour tout réel $x$, 
$f(x) = x + 1 + ax\text{e}^{- x^2}$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A. 
Le point A a pour abscisse 0; $f(0)=1$ donc $\mathcal C$ passe par le point A\,$(0\,;\,1)$.

		\item% Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB). 
Le coefficient directeur de la droite (AB) est 
$\dfrac{y_{\text B}-y_{\text A}}{x_{\text B}-x_{\text A}} =
\dfrac{3-1}{-1-0}=\boxed{\textcolor{red}{-2}}$.

		\item% Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}$.
D'après la formule $\left (\mathrm{e}^{u}\right )'=u'\mathrm{e}^u$ et la dérivée d'une somme et d'un produit:

$f'(x)=1+0+a\mathrm{e}^{-x^2} +ax(-2x)\mathrm{e}^{-x^2} = \boxed{\textcolor{red}{1-a\left (2x^2-1\right )\mathrm{e}^{-x^2}}}$ 
 
 
		\item On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A; cela veut dire que le coefficient directeur de  (AB) est égal au nombre dérivé de la fonction $f$ en $x_{\text A}$ soit $f'(0)$.
		
On a donc $f'(0)=-2 \iff 1 - a\left (0-1\right )\mathrm{e}^0 = -2 \iff 1+a=-2 \iff \boxed{\textcolor{red}{a=-3}}$ 

%Déterminer la valeur du réel $a$. 
	\end{enumerate} 
	
\item D'après la question précédente, pour tout réel $x$, 
$f(x) = x + 1 - 3x\text{e}^{- x^2} \text{ et } f'(x) =\boxed{\textcolor{red}{ 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}}}$.

	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\cg -1~;~0\cg$, $f(x) > 0$. 

$\forall x \in \mathbb{R},\ \mathrm{e}^{-x^2}>0$\\
$\forall x \in \left] -1~;~0\right],\ -3x \geqslant 0 $
Par produit $\forall x \in \left] -1~;~0\right],\  -3x\mathrm{e}^{-x^2} \geqslant 0$\\
$\forall x \in \left] -1~;~0\right],\   x+1>0$
par somme, $\forall x \in \left] -1~;~0\right]$, $\boxed{\textcolor{red}{x+1-3x\mathrm{e}^{-x^2}>0}}$

Donc, pour tout $x$ de $\left] -1~;~0\right]$, $f(x)>0$.

		\item% Démontrer que pour tout réel $x$ inférieur ou égal à $- 1, \:f'(x) > 0$.
Si $x \leqslant -1$, alors $x^2\geqslant 1$ donc $2x^2\geqslant 2$, donc $2x^2-1\geqslant 1$ et donc $3\left (2x^2-1\right )\geqslant 3$.

Comme pour tout $x$, $\mathrm{e}^{-x^2}>0$, on peut dire que pour tout $x \leqslant -1$, $3\left (2x^2-1\right )\mathrm{e}^{-x^2} >0 $ (par produit).
Donc, pour tout $x \leqslant -1$, $f'(x)=1+ 3\left (2x^2-1\right )\mathrm{e}^{-x^2}>0$.
		 
		\item% Démontrer qu'il existe un unique réel $c$ de l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right]$ tel que $f(c) = 0$.
Sur $\left] -\infty\,;\,-1\right]$, $f'(x)>0$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle donc sur l'intervalle $\left [ -\dfrac{3}{2}\,;\, -1\right ]$.

Or $f\left (-\dfrac{3}{2}\right ) \approx -0,026<0$ et $f(-1)\approx 1,10>0$ donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\left [ -\dfrac{3}{2}\,;\, -1\right ]$; on l'appelle $c$.
		
%Justifier que $c <   - \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}$.
Or $f\left (- \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}\right ) \approx 0,017 >0$ donc $c \in \left [ -\dfrac{3}{2}\,;\, -\dfrac{3}{2} + 2.10^{-2} \right[$ et donc $c < -\dfrac{3}{2}+2.10^{-2}$. 
	\end{enumerate} 

	\end{enumerate} 
\label{fin}
\end{document}  