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\newcommand{\ang}[2]{\widehat{\left( \overrightarrow{#1}, \overrightarrow{#2}\right)}}
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction des exercices sur les nombres complexes}}\end{center}


\subsection{}
 On considère trois points du plan $A,B$ et $C$ dont les affixes sont $z_A=1+\mathrm{i}$, $z_B=3+5\mathrm{i}$ et enfin
 
 $z_C =2(1+\sqrt{3}) + \mathrm{i} (3-\sqrt{3})$.
 \begin{enumerate}
 \item %Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}.$
 $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=\boxed{\textcolor{red}{2+4\mathrm{i}}}$ :  $z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=\boxed{\textcolor{red}{1+2\sqrt{3}+\mathrm{i}\left(2-\sqrt{3}\right)}}$.
 
 \item %En déduire que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
 $AB=\left\vert  z_{\overrightarrow{AB}}\right\vert=\left\vert 2+4\mathrm{i} \right\vert=2\left\vert 1+2\mathrm{i} \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{2\sqrt{5}}}$.
 
 $AC=\left\vert z_{\overrightarrow{AC}} \right\vert =\left\vert  1+2\sqrt{3}+\mathrm{i}\left(2-\sqrt{3}\right)\right\vert=\sqrt{\left(1+2\sqrt{3}\right)^2+\left(2-\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{1+4\sqrt{3}+12+4-4\sqrt{3}+3}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
 
 $AB=AC$ donc $ABC$ est isocèle en A.
 
 \item %À l'aide d'un quotient de complexes, démontrer que $\ang{{AB}}{{AC}}$ a pour mesure $-\frac{\pi}{3}$.
 $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{1+2\sqrt{3}+\mathrm{i}\left(2-\sqrt{3}\right)}{2+4\mathrm{i}}=\dfrac{\left(1+2\sqrt{3}+\mathrm{i}\left(2-\sqrt{3}\right)\right)\left(2-4\mathrm{i}\right)}{2^2+4^2}=\dfrac{2+4\sqrt{3}+8-4\sqrt{3}+\mathrm{i}\left(-4-8\sqrt{3}+4-2\sqrt{3}\right)}{20}\\=\dfrac{10-10\mathrm{i}\sqrt{3}}{20}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}}}$.
 
 $\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}\right)=\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\arg\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{3}}}$.
 
 \item %En déduire la nature du triangle $ABC$.
 $ABC$ est un  triangle isocèle en A avec un angle en A égal à $\dfrac{\pi}{3}$ donc $ABC$ est \textbf{\textcolor{red}{équilatéral}}
 
 Remarque : $\left\vert  \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right\vert=\dfrac{AB}{AC}=\left\vert \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} \right\vert=1$ donc $AB=AC$ et on retrouve que $ABC$ est isocèle. 
 \end{enumerate}

\subsection{}
 On considère dans le plan complexe l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M_t$ de coordonnées
 \begin{equation*}
 \begin{cases}
 x_{M_t} &= -1 + 2\cos(t)\\
 y_{M_t} &= 2 + 2\sin(t)\\
 \end{cases}
 \end{equation*}
 pour $t\in\mathbb{R}$, et $C$, le point d'affixe $z_C = -1+2\mathrm{i}$.
 
 \begin{enumerate}
 \item Soient $t\in\mathbb{R}$ et $z_t$ l'affixe de $M_t$. 
 %Calculer $|z_t-z_C|$. En déduire que $M_t$ se trouve sur un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon.
 $\left\vert z_t-z_C \right\vert=\left\vert 2\cos t+2\mathrm{i}\sin t \right\vert=2\left\vert \cos t+\mathrm{i}\sin t \right\vert=2\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{i}t} \right\vert=2$
 
 On en déduit que $M$ appartient au cercle $\mathscr{C}$ de centre $C$ et de rayon 2.
 
 \item Soit $M$ un point de $\mathcal{C}$ et $z$ son affixe. On pose :
 
 $z'=z-z_C.$
 \begin{enumerate}
 \item %Déterminer $|z'|$.
 $\left\vert z' \right\vert=2$.
 
 \item %En déduire la forme trigonométrique de $z'$, puis les coordonnées de $M$.
 On en déduit que $z'=2\cos t$ donc $z_M=-1+2\mathrm{i}+2\cos t+2\mathrm{i}\sin t$.
 
 \item %En déduire que $M\in\mathcal{E}.$
 On en déduit que :  \begin{equation*}
 \begin{cases}
 x_{M_t} &= -1 + 2\cos(t)\\
 y_{M_t} &= 2 + 2\sin(t)\\
 \end{cases}
 \end{equation*}
$M$ appartient donc à $\mathscr{E}$
 \end{enumerate}
 
 \item %Conclure sur la nature de $\mathcal{E}$.
 On a montré : $\begin{cases}\mathscr{E}\subset \mathscr{C}\\
 \mathscr{C}\subset \mathscr{E}\end{cases}$ donc $\mathscr{C}=\mathscr{E}$.
 \end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Les entiers de Gauß}}
 On appelle \emph{entier de Gauß} tout nombre complexe de la forme $k+\mathrm{i}\ell$, où $k$ et $\ell$ sont des entiers relatifs.
 On pose $z=k+\mathrm{i}l$ et $z'=k'+\mathrm{i}l'$.

 \begin{enumerate}
 
 \item %Montrer que la somme et la différence de deux entiers de Gauß sont des entiers de Gauß.
 $z+z'=\boxed{\textcolor{red}{(k+k')+\mathrm{i}(l+l')}}$ avec $k+k'\in\mathbb{Z}$ et $l+l'\in\mathbb{Z}$ donc la somme de deux entiers de Gauß est un entier de Gauß.
 
 Idem pour la différence.

 \item %Montrer que le produit de deux entiers de Gauß est un entier de Gauß.
 $\boxed{\textcolor{red}{zz'=\left(kk'-ll'\right)+\mathrm{i}\left(kl'+k'l\right)}}$ avec $kk'-ll'\in\mathbb{Z}$ et $kl'+k'l\in\mathbb{Z}$ donc le produit de deux entiers de Gauß est un  entier de Gauß.
 
 \item %Déterminer l'écriture algébrique de l'inverse de $2\mathrm{i}$. L'inverse d'un entier de Gauß est-il nécéssairement un entier de Gauß ?
 $2\mathrm{i}$ est un entier de Gauß mais $\dfrac{1}{2\mathrm{i}}=-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$ car $\dfrac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$ mais $-\dfrac{1}{2}$ n'est \textbf{\textcolor{red}{pas}} un entier donc l'inverse d'un entier de Gauß n'est pas forcément un entier de Gauß.
 \end{enumerate}
Pour les curieux, voir \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_de_Gauss}{ici}.

\subsection{}
 On se propose dans cet exercice de calculer la valeur exacte
 de $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$.
 
 \begin{enumerate}
 \item %Démontrer que pour tout nombre complexe \\$z\neq 1$ :
Pour tout nombre complexe \\$z\neq 1$,  $ 1+z+z^2+z^3+z^4= \frac{1-z^5}{1-z}.$ (somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $z$).

 \item %En utilisant la valeur $z_0=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{2\pi}{5}}$ dans la formule précédente, démontrer que :
% $$ \left(z_0^2+ \frac{1}{z_0^2}\right) + \left(z_0 + \frac{1}{z_0}\right) +1=0.$$
On pose $z_0=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{5}}$.
On a : $1+z_0+z_0^2+z_0^3+z_0^4= \boxed{\textcolor{red}{\frac{1-z_0^5}{1-z_0}}}$.

Or $1-z_0^5=1-\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{5}}\right)^5=1-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=0$.\\

$1+z_0+z_0^2+z_0^3+z_0^4=0\Leftrightarrow z_0^2\left(\dfrac{1}{z_0^2}+\dfrac{1}{z_0}+1+z_0+z_0^2\right)$.

On en déduit que $z_0^2\left(\dfrac{1}{z_0^2}+\dfrac{1}{z_0}+1+z_0+z_0^2\right)=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{\left(z_0^2+\dfrac{1}{z_0^2}\right)+\left(z_0+\dfrac{1}{z_0}\right)+1=0}}$ en divisant par $z_0^2$ non nul et en associant les nombres deux par deux.

 \item %Démontrer que : $$ \left(z_0^2+ \frac{1}{z_0^2}\right) = \left(z_0 + \frac{1}{z_0}\right)^2-2.$$
$ \left(z_0 + \frac{1}{z_0}\right)^2-2=z_0^2+2+\dfrac{1}{z_0^2}-2=z_0^2+\dfrac{1}{z_0^2}$ d'où le résultat.

\bigskip

 $\left(z_0 + \frac{1}{z_0}\right)= \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}5}+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}5}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}5}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}5}=\boxed{\textcolor{red}{2\cos \dfrac{2\pi}{5}}}.$
 
 \item %En déduire, en utilisant la relation trouvée à la question 2., que $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$ est solution d'une équation du second degré que l'on précisera, puis calculer la valeur exacte cherchée.
$ \left(z_0^2+\dfrac{1}{z_0^2}\right)+\left(z_0+\dfrac{1}{z_0}\right)+1=0\Leftrightarrow \left(\left(z_0 + \frac{1}{z_0}\right)^2-2\right)+\left(z_0+\dfrac{1}{z_0}\right)+1=0\Leftrightarrow 4\cos^2\dfrac{2\pi}{5}-2+2\cos\dfrac{2\pi}{5}+1=0\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{4\cos^2\dfrac{2\pi}{5}+2\cos\dfrac{\pi}{5}-1=0}}$.

$\cos\dfrac{2\pi}{5}$ est donc une solution de l'équation $4X^2+2X-1=0$.
$\Delta=20>0$ ; l'équation a deux solutions : $X_1=\dfrac{-2-\sqrt{20}}{8}=\dfrac{-2-2\sqrt{5}}{8}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}<0$ et $X_2=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}>0$.

Comme $\cos\dfrac{2\pi}{5}>0$ car $0\leqslant \dfrac{2\pi}{5}\leqslant \dfrac{\pi}{2}$, on en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}}}$
 \end{enumerate}



\label{fin}
\end{document} 