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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du contrôle de géométrie dans l'espace}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
SABCD est une pyramide régulière à base carrée. M est le milieu de [SA], 
N est le point de [SC] tel que $SN =\dfrac{3}{4} SC$. 

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que les droites (MN) et (AC) sont sécantes. 
$M$ appartient à la droite $SA$ donc au plan $(SAC)$ ; de même $N$ appartient à la droite $SC$ donc au plan $(SAC)$.

On en déduit que la droite $(MN)$ appartient au plan $(SAC)$.

Dans le plan (SAC), S, M et A sont alignés ; S, N et C sont alignés dans le même ordre : $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{2}$ ; $\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{3}{4}$.

$\dfrac{SM}{SA}\neq\dfrac{SN}{SC}$. D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont coplanaires et non parallèles, donc elles sont \textbf{\textcolor{red}{sécantes}}.


\item %Placer le point d’intersection de (MN) et (AC).
Pour avoir le point d’intersection de (MN) et (AC), il suffit de prolonger les deux droites.

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(11.,6.)
\psline(0.,0.)(5.,0.)
\psline(5.,0.)(7,2.)
\psline[linestyle=dashed](7,2.)(2,2.)
\psline[linestyle=dashed](2,2.)(0.,0.)
\psline(3.,5.)(0.,0.)
\psline(3.,5.)(5.,0.)
\psline(3.,5.)(7,2.)
\psline[linestyle=dashed](3.,5.)(2,2.)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](-0.3,-0.32){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.,0.)
\rput[bl](5.16,-0.32){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.,2.)
\rput[bl](7.08,2.2){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,2.)
\rput[bl](1.66,2.2){\blue{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.,5.)
\rput[bl](3.08,5.2){\blue{$S$}}
\psdots[dotstyle=x](1.5,2.5)
\uput[l](1.5,2.5){M}
\psdots[dotstyle=x](6,2.75)
\uput[r](6,2.75){N}
\psline(6,2.75)(1.5,2.5)
\psplot{0}{11}{2*x/7}
\psplot{0}{11}{(10.875+0.25*x)/4.5}
\psdots[dotstyle=x](10.5,3)
\uput[d](10.5,3){K}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un tétraèdre ABCD, I est un point de l’arête [AB], J un point de l’arête [CD].
 
Le but de l’exercice est de trouver l’intersection des plans (AJB) et (CID). 

\begin{enumerate}
\item %Prouver que chacun des points I et J appartient à la fois aux plans (AJB) et   (CID). 
I appartient à la droite (AB) donc au plan (AJB)  et au plan (CID).

J appartient à la droite (CD) donc au plan (CID)  et au plan (AJD).

\item %Quelle est alors l’intersection de ces deux plans. 
L'intersection de deux plans est une droite.

I et J appartiennent à chacun des plans (AJD) et (CID) ; l'intersection de ces deux plans est donc la \textbf{\textcolor{red}{droite (IJ)}}.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(8.,6.)
\psline(0.,0.)(5.,0.)
\psline(5.,0.)(7,2.)
\psline[linestyle=dashed](7,2.)(2,2.)
\psline[linestyle=dashed](2,2.)(0.,0.)
\psline(3.,5.)(0.,0.)
\psline(3.,5.)(5.,0.)
\psline(3.,5.)(7,2.)
\psline[linestyle=dashed](3.,5.)(2,2.)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](-0.3,-0.32){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.,0.)
\rput[bl](5.16,-0.32){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.,2.)
\rput[bl](7.08,2.2){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,2.)
\rput[bl](1.66,2.2){\blue{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.,5.)
\rput[bl](3.08,5.2){\blue{$S$}}
%\psdots[dotstyle=x](1.5,2.5)
%\uput[l](1.5,2.5){M}
%\psdots[dotstyle=x]	(6,2.75)
%\uput[r](6,2.75){N}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](4,0)(5,2)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](4,0)(5,2)
\uput[d](4,0){I}
\uput[u](5,2){J}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}


\parbox{10cm}{
On considère un cube ABCDEFGH,  
 
I est un point de l’arête [AB], J un point de  l’arête [CG]. 

%Quelle est l’intersection des plans (ABJ) et (CGI) ?
I appartient à la droite (AB) donc au plan (ABJ), ainsi qu'au plan (CGI).

J appartient à la droite (CG) donc au plan (CGI), ainsi qu'au plan (ABJ).

I et J appartiennent donc à l'intersection de ces deux plans, donc l'intersection des plans (ABJ) et (CGI) est la \textbf{\textcolor{red}{droite (IJ)}}.}\hfill
\parbox{7cm}{
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49019607843137253 0.49019607843137253 1.}
\psset{unit=0.6,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(8.,8.)
\pspolygon(0.,5.)(5.,5.)(7.,7.)(2.,7.)
\psline(0.,0.)(5.,0.)
\psline(5.,0.)(7.,2.)
\psline[linestyle=dashed](7.,2.)(2.,2.)
\psline[linestyle=dashed](2.,2.)(0.,0.)
\psline(0.,5.)(5.,5.)
\psline(5.,5.)(7.,7.)
\psline(7.,7.)(2.,7.)
\psline(2.,7.)(0.,5.)
\psline(0.,0.)(0.,5.)
\psline(5.,0.)(5.,5.)
\psline(7.,2.)(7.,7.)
\psline[linestyle=dashed](2.,2.)(2.,7.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](-0.3,-0.32){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.,0.)
\rput[bl](5.16,-0.32){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.,2.)
\rput[bl](7.08,2.2){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,2.)
\rput[bl](1.66,2.2){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,5.)
\rput[bl](-0.32,4.6){\blue{$E$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.,5.)
\rput[bl](5.18,4.74){\darkgray{$F$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.,7.)
\rput[bl](7.08,7.12){\darkgray{$G$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.,7.)
\rput[bl](2.08,7.12){\darkgray{$H$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](4.08,0.)
\rput[bl](4.16,0.2){\xdxdff{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](7.,5.38)
\rput[bl](7.08,5.58){\xdxdff{$J$}}
\end{pspicture*}
\end{center}}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points $A(0~;~3~;~4)$, $B(1~;~-1~;~-1)$ et $C(2~;~0~;~2)$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}-1\\4\\5\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=-1+4+15=18$.\marginpar{1 pt}

\item %En déduire une mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.
On en déduit $BA=\sqrt{(-1)^2+4^2+5^2}=\sqrt{42}$ ; $BC=\sqrt{1^2+1^2+3^2}=\sqrt{11}$.

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA\times BC\times \cos\widehat{ABC}$ d'où $18=\sqrt{42}\times \sqrt{11}\cos\widehat{ABC}$ donc $\cos\widehat{ABC}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{18}{\sqrt{42}\times \sqrt{11}}}}$.\marginpar{1.5 pt}

On en déduit que $\widehat{ABC}\approx \boxed{\textcolor{red}{33,13\text{ \degre}}}$.\marginpar{0.5 pt}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère le point A(1~;~3~;~-5) et le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\-5\\2\end{pmatrix}$.

%Donner  une équation du plan $\mathscr{P}$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et passant par $A$.
Une équation du plan $\mathscr{P}$ est $1\left(x-1\right)-5\left(y-3\right)+2(z+5)=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{x-5y+2z+24=0}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ d'équations respectives :\\
$\mathscr{P}~: ~2x+3y-5z+8=0$ et \\
$\mathscr{Q}~:~3x-7y-3z-5=0$.

%Les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ sont-ils perpendiculaires ?
$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.

$\overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}3\\-7\\-3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{Q}$.

$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}=2\times 2+3\times (-7)+(-5)\times (-3)=6-21+15=0$.

$\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{n'}$ donc $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ sont \textbf{\textcolor{red}{orthogonaux}}.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne \\
$2x+3y-z+2=0$ et un point $A(1~;~5~;~-2)$.

%Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ passant par $A$ et perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$.
$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$, donc un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$.

Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est : 
\[\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=1+2t\\y=5+3t\\z=-2-t\end{cases}~t\in\mathbb{R}}}\]

\label{fin}
\end{document} 