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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du TD sur la fonction exponentielle (fin du chapitre)}}\end{center}

%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}
%
\subsection{}
On donne ci-dessous le tableau de variation d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{ax^2+bx+c}$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&\h{\mathrm{e}^{2}}&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
De plus, on sait que $f(0)=\mathrm{e}^{\frac 32}$.

\begin{enumerate}
\item %En utilisant les renseignements ci-dessous, trouver les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=\mathrm{e}^{\frac 32}\Leftrightarrow \mathrm{e}^{c}=\mathrm{e}^{\frac 32}\Leftrightarrow c=\dfrac{3}{2}$.

\item $f(1)\mathrm{e}^{2}\Leftrightarrow \mathrm{e}^{a+b+c}=\mathrm{e}^{2}\Leftrightarrow a+b+c=2$

\item $f=\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=ax^2+bx+c$ donc $f'=u'\mathrm{e}^{u}$ d'où $f'(x)=(2ax+b)\mathrm{e}^{ax^2+bx+c}$.

Alors $f'(1)=(2a+b)\mathrm{e}^{ax^2+bx+c}$ donc $f'(1)=0\Leftrightarrow (2a+b)\mathrm{e}^{ax^2+bx+c}=0\Leftrightarrow 2a+b=0$ car $\mathrm{e}^{ax^2+bx+c}>0$.
\end{enumerate}
Les trois nombres $a$, $b$ et $c$ sont donc solutions du système : $\begin{cases}a+b+c=2\\2a+b=0\\c=\dfrac{3}{2}\end{cases}$.

On en déduit que $b=-2a$ d'où $a=-\dfrac{1}{2}$, $b=1$ et $c=\dfrac{3}{2}$.

Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}+x+\frac 32}}}$

\item %Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
Limites en $-\infty$ et en $+\infty$ :

$\forall x\neq 0$, $f(x)=x^2\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{2x^2}\right)$.

$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{2x^2}\right)=-\dfrac{1}{2}$ et $\lim_{x\rightarrow ±pm\infty}x^2=+\infty$ donc, par produit, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=-\infty}}$.

\item %Vérifier que la droite d'équation $x=1$ est un axe de symétrie de la courbe représentative de $f$.
La droite d'équation $x=1$ est axe de symétrie de la courbe représentative de $f$ si, et seulement si, pour tout $h$, $f(1-h)=f(1+h)$.

Or, la parabole représentative de la fonction $x\mapsto -\frac{x^2}{2}+x+\frac 32$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=1$ puisque son sommet a pour abscisse $x=-\dfrac{b}{2a}=1$.

Par conséquent, la courbe représentative de $f$ est symétrique par rapport à cette droite d'équation $x=1$.
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Courbe}} : 
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-1.)(6.,9.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-5.,-1.)(6.,9.)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-5.,-1.)(6.,9.)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-5.0}{6.0}{2.718281828459045^((-x^(2.0))/2.0+x+3.0/2.0)}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](1.,-1.)(1.,9.)
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{D'après problème de bac S (Pondichéry 95)}}


Les trois parties peuvent  être traitées de façon indépendante.
\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A :}}\\

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la fonction $f$ définie par \\
%$f(x)=(\lambda x+\mu)e^{-x}$ vérifie $f''+2f'+f=0$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(\lambda x+\mu)e^{-x}$.\\
$f'(x)=\lambda \mathrm{e}^{-x}+(\lambda x+\mu)\times (-1)\mathrm{e}^{-x}=(\lambda-\lambda x-\mu)\mathrm{e}^{-x}=\boxed{\textcolor{red}{(\lambda-\mu-\lambda x)\mathrm{e}^{-x}}}$.\\
$f''(x)=-\lambda\mathrm{e}^{-x}-(\lambda-\mu-\lambda x)\mathrm{e}^{-x}=\boxed{\textcolor{red}{(-2\lambda+\mu+\lambda x)\mathrm{e}^{-x}}}$.

On en déduit que, pour tout $x$ :\\
$f''(x)+2f'(x)+f(x)=(-2\lambda+\mu+\lambda x)\mathrm{e}^{-x}+2(\lambda-\mu-\lambda x)\mathrm{e}^{-x}+f(x)\\
=(\lambda x+\mu)e^{-x}=[-2\lambda+\mu+\lambda x+2\lambda-2\mu-2\lambda x+\lambda x+\mu]\mathrm{e}^{-x}=0\mathrm{e}^{-x}=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f''+2f'+f=0}}$

On admet que toutes les fonctions vérifiant \\
$f''+2f'+f=0$ sont de cette forme.

\item %Déterminer la fonction $f$ dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées $(0 ;1)$ et admet en ce point une tangente horizontale.\\
Parmi les fonctions précédentes, on cherche la fonction $f$ dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées $(0 ;1)$ et admet en ce point une tangente horizontale.

On doit avoir $f(0)=1$ donc $\mu=1$ et $f'(0)=0$ donc $\lambda-\mu=0$, c'est-à-dire $\lambda=\mu=1$.

Pr conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=(x+1)\mathrm{e}^{-x}}}$ .
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B :}}\\
On note $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x+1)e^{-x}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O ;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j})$. (unité graphique : 4 cm)
\begin{enumerate}
\item %Étudier le sens de variation de $f$.
D'après la partie A, $f'(x)=(\lambda-\mu-\lambda x)\mathrm{e}^{-x}=\boxed{\textcolor{red}{-x\mathrm{e}^{-x}}}$ puisque $\lambda=\mu=1$.

$f'(x)$ est donc du signe de $-x$, donc positif pour $x\leqslant 0$ et négatif pour $x\geqslant 0$.

$f$ est donc croissante sur $]-\infty~;~0]$ puis décroissante sur $[0~;~+\infty[$.

\item %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et donner une interprétation graphique du résultat.\\
Limite en $+\infty$ :

$f(x)=x\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}=\dfrac{1}{\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}}+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}$.

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$ (croissances comparées), donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}}=0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)=+\infty$ donc, par somme, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0}}$.

On en déduit que l'axe des abscisses est \textbf{\textcolor{red}{asymptote}} à la courbe $\mathscr{C}$ au voisinage de $+\infty$.

%Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
Limite de $f$ en $-\infty$ :

$\lim_{x\rightarrow -\infty}(x+1)=\infty$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}(-x)=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{-x}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{X}=+\infty$.

Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}}$.


\item %Dresser le tableau de variation de $f$.
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation de $\mathbf{f}$}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{1}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Montrer que l'équation $f(x)=\frac{1}{4}$ admet exactement  deux solutions réelles. On notera $\alpha$ et $\beta$ ces solutions ($\alpha < \beta$).\\
%Montrer que $\alpha$ appartient à l'intervalle $\left]-1 ;-\frac{1}{2}\right[$.\\
%Déterminer une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près par défaut en justifiant la méthode employée.
Sur $]-\infty~;~0]$, $f$ est continue, $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ et $f(0)=1>\dfrac{1}{4}$ donc $\dfrac{1}{4}\in]-\infty~;~1]$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=\dfrac{1}{4}$ admet une solution (unique car $f$ est monotone) sur $]-\infty~;~0$] : on la note $\alpha$.\\
Même raisonnement sur $[0~;~+\infty[$ : on a une solution $\beta$ dans $[0~;~+\infty[$.

$f(-1)=0$ donc $\alpha\geqslant -1$ ; $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{\frac12}\approx 0,8>\dfrac{1}{4} $ donc $\boxed{\textcolor{red}{0<\alpha<-\dfrac{1}{2}}}$.

\bigskip

À la calculatrice, en faisant un tableau de valeurs de pas de plus en plus petits, on trouve successivement $2<\beta<3$, puis $2,6<\beta<2,7$ et enfin $\boxed{\textcolor{red}{2,69<\beta<2,70}}$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\textbf{\textcolor{blue}{Partie C :}}\\

Pour tout entier $k$, on note $f_k$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=(x+1)e^{-kx}$.On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de $f_k$ dans le repère orthonormal joint.\\
Lorsque $k=1$, on retrouve la fonction $f$ étudiée dans la partie B, c'est-à-dire que dans ce cas, $f_1=f$ et $\mathcal{C}_1=\mathcal{C}$.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la nature de la fonction $f_0$ ?
$f_0(x)=x+1$ dnc $f_0$ est une fonction affine.

\item %Étudier, suivant les valeurs de $x$, le signe de \\
%$(x+1)(e^{-x}-1)$. En déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_k$ et de $\mathcal{C}_{k+1}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\mathrm{e}^{-x}-1$ s'annule pour $x=0$ et $\mathrm{e}^{-x}-1>0$ pour $x<0$

\item $x+1=0$ pour $x=-1$ et $x+1>0$ pour $x>-1$.

\item On renseigne un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&0&&\pI\\
\hline
x+1&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\mathrm{e}^{-x}-1&&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
(x+1)\left(\mathrm{e}^{-x}+1\right)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Or, pour tout $x$, $f_{k+1}(x)-f_k(x)=(x+1)\mathrm{e}^{-(k+1)x}-(x+1)\mathrm{e}^{-kx}=(x+1)\mathrm{e}^{-kx}\left(\mathrm{e}^{-x+1}\right)$ qui est du signe de $\boxed{\textcolor{red}{(x+1)\left(\mathrm{e}^{-x}+1\right)}}$, expression dont on a étudié le signe ci-dessus.

On en déduit que $\mathscr{C}_{k+1}$ est au-dessus de $\mathscr{C}_k$ sur $[-1~;~0]$ et en dessous sur $]-\infty~;~-1]$ et sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\item On suppose que $k$ est non nul.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'_k(x)$ pour tout $k$ non nul.
$f'_k(x)=\mathrm{e}^{-kx}-k(x+1)\mathrm{e}^{-x}=(1-k(x+1))\mathrm{e}^{-x}=\boxed{\textcolor{red}{(1-k-kx)\mathrm{e}^{-x}}}$.

\item %En déduire le sens de variation de la fonction $f_k$ (distinguer les cas : $k>0$ et $k<0$).
$f'_k(x)$ est du signe de $1-k-kx$ (expression d'une fonction affine, de coefficient directeur $-k$).

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $k<0$, $-k>0$ donc la fonction $x\mapsto 1-k-kx$ est croissante et s'annule pour $x=\dfrac{1-k}{k}$, donc $f'_k$ est négative sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1-k}{k}\right]$ et positive sur $\left[\dfrac{1-k}{k}~;~+\infty\right[$.

$f_k$ est décroissante sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1-k}{k}\right]$ puis croisante sur $\left[\dfrac{1-k}{k}~;~+\infty\right[$.

\item Si $k>0$, c'est le contraire.

\end{enumerate}

On note que l'extremum a pour abscisse $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1-k}{k}}}$.

\item %On a représenté sur le graphique ci-dessous quatre courbes $\mathcal{E}$,$\mathcal{F}$, $\mathcal{G}$ et $\mathcal{H}$ correspondant à quatre valeurs différentes de $k$. Identifier ces valeurs, en justifiant la réponse.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\mathscr{F}$ est une droite, donc correspond à $\boxed{\textcolor{red}{k=0}}$.

\item Pour $\mathscr{E}$, la fonction est d'abord décroissante puis croissante, donc $k<0$ ; le minimum a pour abscisse $-2$, donc $\dfrac{1-k}{k}=-2$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{k=-1}}$.

\item $\mathscr{G}$ et $\mathscr{H}$ correspondent à des fonctions d'abord croissantes puis décroissantes, donc $k>0$.

$\mathscr{G}$ a un maximum pour $x=0$, donc $\mathscr{G}$ correspond à $\boxed{\textcolor{red}{k=1}}$.

\item Le maximum de $\mathscr{H}$ a une abscisse valant environ $-0,7$, donc correspond à $\boxed{\textcolor{red}{k=4}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\end{multicols}



\begin{center}
\psset{xunit=2,yunit=0.4}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,10)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(5,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-10)(0,8)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3,-12)(5,8)
%repre
\uput[dr](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=100,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3}{1.3}{x 1 add 2.71828 x exp mul}
\psplot{-2}{5}{x 1 add }
\psplot[plotpoints=100,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{5}{x 1 add 2.71828 x neg exp mul}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=cyan,linewidth=1.5pt]{-1.15}{5}{x 1 add 2.71828 x 4 mul neg exp mul}
\uput[r](1,5){$\mathscr{E}$}
\uput[r](1,2){$\mathscr{F}$}
\uput[u](3,0.2){$\mathscr{G}$}
\uput[u](-0.75,5){$\mathscr{H}$}

\end{pspicture}

\end{center}
\label{fin}
\end{document}  