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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{}\textcolor{red}{Correction du TD sur les propriétés algébriques des nombres complexes} }\end{center}

%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Produit}}
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ et $b$ deux réels quelconques.

%Montrer que $(a+\mathrm{i}b)^2=a^2-b^2+2\mathrm{i}ab$.
$(a+\mathrm{i}b)^2=a^2+2\mathrm{i}ab+(\mathrm{i}b)^2=a^2+2\mathrm{i}ab+\mathrm{i}^2b^2=\boxed{\textcolor{red}{a^2-b^2+2\mathrm{i}ab}}$

\item %Calculer $(1+\mathrm{i})^2$, $(1+\mathrm{i})^3$ et $(1+\mathrm{i})^4$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(1+\mathrm{i})^2=1^2+2\mathrm{i}-1=\boxed{\textcolor{red}{2\mathrm{i}}}$

\item $(1+\mathrm{i})^3=(1+\mathrm{i})^2(1+\mathrm{i})=2\mathrm{i}(1+\mathrm{i})=2\mathrm{i}+2\mathrm{i}^2=\boxed{\textcolor{red}{-2+2\mathrm{i}}}$

\item $(1+\mathrm{i})^4=\left[(1+\mathrm{i})^2\right]^2=(2\mathrm{i})^2=4\mathrm{i}^2=\boxed{\textcolor{red}{-4}}$
\end{enumerate}

\item On pose $j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $j^2$ puis $j^3$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $j^2=\left(-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}-2\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}+\dfrac{3}{4}\mathrm{i}^2=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$

\item On remarque $j^2=\overline{j}$ donc $j^3=j\times j^2=j\overline{j}=\left\vert j \right\vert^2=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\end{enumerate}
\item %En déduire $j^n$ selon les valeurs de $n$.
On raisonne selon la divisibilité de $n$ par 3 : on a trois cas :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $n=3k,~k\in\mathbb{N}$ : $j^n=j^{3k}=\left(j^3\right)^k=1^k=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $n=3k+1,~k\in\mathbb{N}$ : $j^n=j^{3k+1}=\left(j^3\right)^k\times j=1^k\times j=\boxed{\textcolor{red}{j}}$

\item $n=3k+2,~k\in\mathbb{N}$ : $j^n=j^{3k+2}=\left(j^3\right)^k\times j^2=1^k\times j^2=\boxed{\textcolor{red}{j^2}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}

\item Soit $z=3+4\mathrm{i}$ ; %calculer $z\overline{z}$.
$z\overline{z}=3^2+4^2=9+16=\boxed{\textcolor{red}{25}}$

\item Soit $z=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$. %Calculer $z\overline{z}$.
$z\overline{z}=\cos^2\theta+\sin^2\theta=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\noindent Pouvait-on deviner la réponse sans calcul ?

Oui, car $M(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$ est un point du cercle trigonométrique et $z\overline{z}=OM^2=1^2=1$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Inverse d'un nombre complexe}}
Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$A=$]
\item $\dfrac{1}{\mathrm{i}}=\dfrac{\mathrm{i}}{\mathrm{i}^2}=\dfrac{\mathrm{i}}{-1}=\boxed{\textcolor{red}{-\mathrm{i}}}$

\item $\dfrac{1}{2+3\mathrm{i}}=\dfrac{2-3\mathrm{i}}{2^2+3^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{13}-\dfrac{3}{13}\mathrm{i}}}$

\item $\dfrac{1}{7-4\mathrm{i}}=\dfrac{7+4\mathrm{i}}{7^2+4^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{65}+\dfrac{4}{65}\mathrm{i}}}$

\item $\dfrac{1}{j}=\dfrac{j^2}{j^3}=j^2=\overline{j}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}}}$
\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection{\textcolor{blue}{Quotient de deux nombres complexes}}
Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :


\begin{enumerate}[$A=$]

\item $\dfrac{2+3\mathrm{i}}{5-7\mathrm{i}}=\dfrac{(2+3\mathrm{i})(5+7\mathrm{i})}{5^2+7^2}=\dfrac{10-21+14\mathrm{i}+15\mathrm{i}}{74}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{11}{74}+\dfrac{29}{74}\mathrm{i}}}$.

\item $\dfrac{5+9\mathrm{i}}{5-9\mathrm{i}}=\dfrac{(5+9\mathrm{i})^2}{5^2+9^2}=\dfrac{25-81+90\mathrm{i}}{5^2+9^2}=-\dfrac{5	6}{106}+\dfrac{90}{106}\mathrm{i}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{28}{53}+\dfrac{45}{53}\mathrm{i}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on associe, à tout point $M$ d'affixe $z$; le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{z-3}{\mathrm{i}z+2}$.\\
On désigne par A le point d'affixe 3 et par $B$ celui d'affixe $2\mathrm{i}$.\\

\begin{enumerate}
\item  On pose $z = x + \mathrm{i}y$ et $z'=x'+\mathrm{i}y'$, avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels.\\
%Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$  et $y$.

Remarque : $z'$ est défini pour $z\neq -\dfrac{2}{\mathrm{i}}$ donc $z\neq 2\mathrm{i}$ ; il faut donc que $M\neq B$.

On a $z'=\dfrac{z-3}{\mathrm{i}z+2}=\dfrac{x+\mathrm{i}y-3}{\mathrm{i}(x+\mathrm{i}y)+2}=\dfrac{x-3+\mathrm{i}y}{2-y+\mathrm{i}x}=\dfrac{[(x-3)+\mathrm{i}y][(2-y)-\mathrm{i}x]}{x^2+(2-y)^2}\\
=\dfrac{(x-3)(2-y)+xy+\mathrm{i}[-x(x-3)+y(2-y)]}{x^2+(2-y)^2}=\dfrac{2x+3y-6+i\left(-x^2+3x-y^2+2y\right)}{x^2+(2-y)^2}$.

On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{x'=\dfrac{2x+3y-6}{x^2+(2-y)^2}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{y'=\dfrac{-x^2+3x-y^2+2y}{x^2+(2-y)^2}}}$

\item %Démontrer que l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan, tels que $M'$ soit un point de l'axe des réels $(0~;~\overrightarrow{u})$, est le cercle de diamètre $[AB]$ privé d'un point que l'on précisera. 
$M'$ appartient  l'axe $\left(O~;~\overrightarrow{u}\right)$ équivaut à $y'=0$ avec $M\neq B$.

Or $y'=0\Leftrightarrow -x^2+3x-y^2+2y=0\Leftrightarrow x^2-3x+y^2-2y\Leftrightarrow \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}+(y-1)^2-1=0\Leftrightarrow \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+(y-1)^2=\dfrac{13}{4}$.

En appelant $\Omega$ le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{2}~;~1\right)$, l'équation ci-dessus s'écrit $\Omega M^2=\dfrac{13}{4}$ qui est l'équation du cercle de centre $\Omega$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{13}}{2}$.

Les coordonnées de A et de B vérifient cette équation et $\Omega$ est clairement le milieu de [AB].

$\Gamma$ est donc le \textbf{\textcolor{red}{cercle de diamètre [AB], privé de B}}.

\item %Résoudre l'équation $\dfrac{z-3}{\mathrm{i}z+2}=1$.\\
Pour $z\neq 2\mathrm{i}$, $\dfrac{z-3}{\mathrm{i}z+2}=1\Leftrightarrow z-3=\mathrm{i}z+2\Leftrightarrow z(1-\mathrm{i})=5\Leftrightarrow z=\dfrac{5}{1-\mathrm{i}}=\dfrac{5(z+\mathrm{i})}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}\mathrm{i}}}$.

%On désigne par K le point d'affixe $\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}\mathrm{i}$.\\
On remarque que la solution précédente est $z_K$.

%Justifier sans calcul que $K\in\Gamma$. 
1 est un réel donc l'affxe d'un point de l'axe $\left(O~;~\overrightarrow{u}\right)$ ; d'après la question précédente, $z_K$ est l'affixe d'un point de $\Gamma$ donc \textbf{\textcolor{red}{K appartient au cercle $\mathbf{\Gamma}$}}.
\end{enumerate}

%\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  