\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du devoir surveillé commun \no 1 - TS$1$ \& TS$2$}}\end{center}

 


\subsection{}

%Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite $(u_n)$ :
\begin{enumerate}
\item $u_{n} = -2n^3+5n^2-4n+1$. On a une forme indéterminée du type $\og{}-\infty+\infty\fg{}.$.

On lève l'indétermination, en factorisant par le terme de plus haut degré.

$u_n= -2n^3+5n^2-4n+1=n^3\left(-2+\dfrac{5}{n}-\dfrac{4}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}\right)$.

$\lim_{n\rightarrow +\infty}n^3=+\infty$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-2+\dfrac{5}{n}-\dfrac{4}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}\right)=-2$ donc, par produit, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty}}$

\item $u_{n} = \dfrac{n^2-2n+3}{4n^3+5}$. On a une forme indéterminée. On factorise numérateur et dénominateur  chacun par  leur terme de plus haut degré, puis on simplifie.

$u_n=\dfrac{n^2\left[1-\frac2n+\frac3{n^2}\right]}{n^3\left[4+\frac5{n^3}\right]}=\dfrac{1-\frac2n+\frac3{n^2}}{n\left[4+\frac5{n^3}\right]}$.

$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left[4+\frac5{n^3}\right]=4$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left[1-\frac2n+\frac3n\right]=1$ donc par produit et quotient, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$.

\item %$u_{n} = \dfrac{1}{n}(n^2+5n-7)$

$u_{n} = \dfrac{1}{n}(n^2+5n-7)=n+5-\dfrac{7}{n}$.

$\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{7}{n}\right)=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$

\item $u_{n} = \sqrt{n^2+1}-n$. On a encore une forme indéterminée. 

Pour lever l'indétermination, on utilise la forme conjuguée.

$u_n=\dfrac{\left[\sqrt{n^2+1}-n\right]\left[\sqrt{n^2+1}+n\right]}{\left[\sqrt{n^2+1}+n\right]}=\dfrac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}$

$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^2+1\right)=+\infty$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{n^2+1}=+\infty$ d'où, par somme, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)=+\infty}}$ 

donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$
\end{enumerate}
\hfill\\




\subsection{}
%Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $6^n-1$ est divisible par $5$.\\
Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $6^n-1$ est divisible par $5$. La première chose à faire est de traduire cela sous forme mathématique.

\noindent Soit $\mathscr{P}_n$ la proposition : \og{}$6^n-1=5k_n,~k_n\in\mathbb{Z}$\fg{}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : pour $n=0$ : $6^0-1=1-1=0=5\times 0=5k_0$ avec $k_0=0\in\mathbb{Z}$. La propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : on suppose $\mathscr{P}_n$ vraie pour \textbf{un} rang $n$ quelconque, donc $6^n-1=5k_n,~k_n\in\mathbb{Z}$ (d'où $6^n+5k_n+1$).

\noindent Alors : $6^{n+1}-1=6\times 6^n-1=6\left(5k_n+1\right)-1=5\times 6k_n+6-1=5\times 6k_n+5=5\left(6k_n+1\right)=5k_{n+1}$ en posant $k_{n+1}=6k_n+1\in\mathbb{Z}$. On obtient bien un multiple de 5.

\noindent La propriété est  donc \textbf{héréditaire}.
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : d'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. $6^n-1$ est divisible par 5 pour tout $n$.



\newpage



\subsection{}
%Démontrer par récurrence que, pour tout $n\geqslant 1$, 
%$$\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.$$
Démontrons par récurrence que, pour tout $n\geqslant 1$, 
\[S_n=\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.\]
Soit $\mathscr{P}_n$ la propriété : \og{}$S_n=\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$\fg{} pour $n\geqslant 1$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : Pour $n=1$, on a $S_1=\dfrac{1}{2\times 3\times 4}=\dfrac{1}{6}$ et $\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}=\dfrac{1\times 4}{4\times 2\times 3}=\dfrac{1}{6}=S_1$ donc $P_1$ est vraie.

\item On suppose $P_n$ vraie pour un entier $n$ quelconque, donc \[S_n=\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\]
$S_{n+1}=S_n+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\dfrac{n(n+3)^2+4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}\\
=\dfrac{n^3+6n^2+9n+4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}$.

On doit montrer que cette expression vaut $\dfrac{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)}$.

Or : $\dfrac{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)}=\dfrac{(n+1)^2(n+4)}{4(n+1)(n+2)(n+3)}=\dfrac{\left(n^2+2n+1\right)(n+4)}{4(n+1)(n+2)(n+3)}\\
=\dfrac{n^3+6n^2+9n+4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{S_{n+1}=\dfrac{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)}}}$.

La propriété est donc \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : d'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\hfill\\




\subsection{}
On considère une suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ et telle qu'aucun de ses termes ne soit nul.\\
On définit alors la suite $(v_n)$ sur $\mathbb{N}$ par $v_n=-\dfrac{4}{u_n}$.\\
%Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
%\begin{enumerate}
%\item Si la suite $(u_n)$ est convergente, alors la suite $(v_n)$ est convergente.
%
%\item Si la suite $(u_n)$ est minorée par $2$, alors la suite $(v_n)$ est minorée par $2$.
%
%\item Si la suite $(u_n)$ est décroissante, alors la suite $(v_n)$ est croissante.
%
%\item Si la suite $(u_n)$ est divergente, alors la suite $(v_n)$ admet $0$ comme limite.
%\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Si la suite $(u_n)$ est convergente, alors la suite $(v_n)$ est convergente.

\textbf{\textcolor{red}{Faux }}:  Si $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell\in\mathbb{R}$ avec $\ell\neq 0$, $\left(v_n\right)$ converge vers $-\dfrac{4}{\ell}$, mais alors on se doute qu'il y a un problème pour $\ell=0$.

Prenons par exemple la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac1{n+1}$. On obtient alors $v_n=-4(n+1)$, terme général d'une suite qui tend vers $-\infty$, donc non convergente.

\item Si la suite $(u_n)$ est minorée par $2$, alors la suite $(v_n)$ est minorée par $2$.

\textbf{\textcolor{red}{faux}} : Par hypothèse, $(u_n)$ est minorée par 2.\\
Alors : $\forall n\in\mathbb{N}$, $2\leq u_n\Rightarrow 0\leq\cfrac1{u_n}\leq\cfrac12\Rightarrow -\cfrac4{u_n}\geq -1\Rightarrow v_n\geq -2$, donc la suite $\left(v_n\right)$ semble minorée par -2.

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : $u_n=2$ (suite constante), bien minorée par 2 ; $v_n+-\dfrac{4}{u_n}=-\dfrac{4}{2}=-2$ qui n'est donc pas minoré par 2 !

\textbf{\textcolor{red}{Faux :}} reprenons comme exemple $u_n=\cfrac1{n+1}$ qui est bien le terme général d'une suite décroissante. On obtient $v_n=-2(n+1)$, donc une suite $(v_n)$ décroissante.

\item \textbf{\textcolor{red}{faux}}. Prenons $u_n=(-1)^n$. Alors, $v_n=-\cfrac2{(-1)^n}=\pm 2$. Cette suite vaut alternativement 2 ou -2, donc ne converge pas vers 0.
\end{enumerate}

\hfill\\




\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n-4n+2$.
\begin{enumerate}
\item On trouve $u_1 = 5$ ; $u_2 = 13$ et $u_3 = 33$.

\item Pour tout entier naturel $n$, soit la propriété P(n) : \og{}$u_n\geqslant 2n$\fg{}.

On montre $P (n)$ par récurrence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  Initialisation : pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $2\times 0 = 0$ donc $P (0)$ est vraie.

\item Hérédité : Soit $n\in\mathbb{N}$. On suppose que $P(n)$ est vraie pour un entier $n$ donc  $u_n \geqslant  2n$. (hypothèse de récurrence).

$u_n \geqslant  2n\Rightarrow3u_n\geqslant 6n\Rightarrow u_{n+1}\geqslant 2n + 2=2(n+1)\Rightarrow u_{n+1}\geqslant 2(n + 1)$, donc $P(n + 1)$ est vraie.
\end{enumerate}
\textbf{Conclusion} : pour tout entier naturel n, on a bien $u_n\geqslant 2n$.

\item $o_n\geqslant 2n$ pour tout $n$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}(2n)=+\infty$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$ d'après le théorème de comparaison.

\item  Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n=u_n-2n$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n$, $v_{n+1} = u_{n+1} - 2(n + 1) = 3u_n - 4n + 2 - 2n - 2= 3\left(u_n - 2n\right) = \boxed{\textcolor{red}{3v_n}}$, donc $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=3$.

\item $v_0=1$ donc, pour tout $n$, $v_n =v_0q^n= 3^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n = 3^n + 2n}}$.

\item $S_n =\sum_{i=0}^{i=n}3^i+\sum_{i=0}^{i=n}[2i]=\sum_{i=0}^{i=n}3^i+2\sum_{i=0}^{i=n}i=\dfrac{3^{n+1}-1}{3-1}+2\times \dfrac{n(n+1)}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\times 3^{n+1}-\dfrac{1}{2}+n(n+1)}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hfill\\




\subsection{}
%On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : 

%\[u_{0} = - 1,~ u_{1} = \dfrac{1}{2}~ \text{et, pour tout entier naturel} ~n,~ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
D'après la définition $u_{2} = u_{1} - \dfrac{1}{4}u_{0} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}}}$.

$\bullet~$ Si la suite était géométrique, d'après les deux premiers termes la raison serait égale à $- \dfrac{1}{2}$ ; 

or $u_{1} \times \left(- \dfrac{1}{2} \right) =  \dfrac{1}{2} \neq u_{2}$.

$\bullet~$ Si la suite était arithmétique, d'après les deux premiers termes la raison serait égale à $\dfrac{1}{2} - ( -1) = \dfrac{3}{2}$ ; or $u_{1} + \left(\dfrac{3}{2}  \right) =  \dfrac{4}{2} = 2  \neq u_{2}$.

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item %On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
 
%\[v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $v_{0}$.
$v_{0} = u_{1} - \dfrac{1}{2}u_{0} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \times (- 1) = 1$. 
		\item %Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$.
On a pour tout naturel $n$, $v_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac{1}{2}u_{n+1}= u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n} - \dfrac{1}{2}u_{n+1} = $

$\dfrac{1}{2}u_{n+1} -  \dfrac{1}{4}u_{n} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n} \right) = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}v_{n}}}$.
 		\item %En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
$v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_{n}$ signifie que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une \textbf{\textcolor{red}{suite géométrique}} de premier terme 1 et de raison $\dfrac{1}{2}$. 
		\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
On a donc quel que soit $n \in \mathbb{N},~v_{n} = \left(\dfrac{1}{2} \right)^n =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{2^n}}}$.
	\end{enumerate} 
\item %On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : 

%\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $w_{0}$.
$w_{0} = \dfrac{u_{0}}{v_{0}}  = \dfrac{- 1}{1} = \boxed{\textcolor{red}{-1}}$.

		\item %En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$.
Pour tout $n$, $w_{n+1}   = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}} = \dfrac{v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}}{\dfrac{1}{2}v_{n}} = \boxed{\textcolor{red}{2 + \dfrac{u_{n}}{v_{n}}}}$ (en séparant la fraction en deux et en simplifiant).

		\item %En déduire que pour tout $n$ de $\N,~ w_{n+1} = w_{n} + 2$.
On a par définition $\dfrac{u_{n}}{v_{n}} = w_{n}$, donc l'égalité ci-dessus s'écrit :

$\boxed{\textcolor{red}{w_{n+1} = 2 + w_{n}}}$. 

		\item %Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
		L'égalité précédente montre que la suite $\left(w_{n}\right)$ est une suite \textbf{\textcolor{red}{arithmétique}} de premier terme $- 1$ et de raison $2$.
		
		On a donc $w_{n} = w_{0} + n \times 2 =\boxed{\textcolor{red}{ 2n- 1}}$.
	\end{enumerate} 
	
\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$

%\[u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]  
On a trouvé que $w_{n} = 2n - 1 = \dfrac{u_{n}}{v_{n}} = \dfrac{u_{n}}{\frac{1}{2^n}} = 2^n \times u_{n}$.

Donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n} = \dfrac{2n - 1}{2^n}}}$, car $2^n \neq 0$ quel que soit $n \in \mathbb{N}$.  
\item  (\textbf{\textcolor{blue}{Bonus}})%Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}$. 
 
%Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\N$ : 

%\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]
Démontrons par récurrence que  : $S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}$

$\bullet~~$ Initialisation : $S_{0} = u_{0} = -1$ et $2 - \dfrac{2\times 0 + 3}{2^0} = 2 - \dfrac{3}{1} = 2 - 3 = - 1$. La formule est vraie au rang $0$.

$\bullet~~$ Hérédité : supposons qu'il existe un naturel $k$ tel que :

$S_{k} = \displaystyle\sum_{i=0}^{k} u_{i} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{k} = 2 - \dfrac{2k + 3}{2^k}$.

Donc $S_{k+1} = S_{k} + u_{k+1} = 2 - \dfrac{2k + 3}{2^k} +  \dfrac{2(k + 1) - 1}{2^{k+1}} = 2 +  \dfrac{-4k - 6  + 2k + 1}{2^{k + 1}} = 2 + \dfrac{-2k - 5}{2^{k + 1}} = 2 - \dfrac{2k + 5}{2^{k + 1}} \\
= 2 - \dfrac{2(k + 1) + 3}{2^{k + 1}}$.

La formule est vraie au rang $k + 1$.

On a donc démontré par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ :

\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]

\end{enumerate}
\hfill\\






\noindent\underline{\textbf{\textcolor{red}{Bonus} :}}\\
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite convergeant vers $2$.\\
%Montrer que tous les termes de la suite sont positifs à partir d'un certain rang.
Soit $I=]1~;~3[$. Puisque $\left(u_n\right)$ converge vers 2, il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geqslant p$, $u_n\in]1~;~3[$, donc les termes $u_n$ sont positifs pour $n\geqslant p$.


% Set the ending of a LaTeX document
\label{fin}
\end{document}
