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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Devoir sur table \no 3 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
13 mai 2017}

\begin{document}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : contrôle commun \no 4 (4 heures)}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2014}}

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z_{n}$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_{0}	&=& 16\\ 
z_{n+1}	&=&\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n},\: \text{pour tout entier naturel} \: n.
\end{array}\right.\]
 
On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}\: : r_{n} =\left|z_{n}\right|$.
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$.
$z_{1}	=\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{0} =  \dfrac{1 + \text{i}}{2} \times 16 =\boxed{\textcolor{red}{ 8 + 8\text{i}}}$.

$z_{2}	=\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{1} =  \left(\dfrac{1 + \text{i}}{2}\right) (8 + 8 \text{i})  = 4 + 4\text{i} + 4\text{i} - 4 =\boxed{\textcolor{red}{ 8\text{i}}}$.

$z_{3}	= \dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{2} = 8\text{i}\left(\dfrac{1 + \text{i}}{2}\right) = 4\text{i} - 4 = \boxed{\textcolor{red}{- 4 + 4\text{i}}}$.  
		
		\item %Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
		\textbf{\textcolor{red}{Voir l'annexe}}. 
		
		\item %Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \text{i}}{2}$ sous forme trigonométrique.
Si $z = \dfrac{1 + \text{i}}{2}$ alors $|z|^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4}$, donc $\boxed{\textcolor{red}{|z| = \frac{\sqrt{2}}{2}}}$.

Donc $z =  \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right) =\boxed{\textcolor{red}{ \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4} \right)}}$.

Un argument de $\dfrac{1 + \text{i}}{2}$ est donc $\boxed{\textcolor{red}{\frac{\pi}{4}}}$.

		\item %Démontrer que le triangle O$A_{0}A_{1}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$.

O$A_{0} = |\left|z_{0} \right| = r_{0} = \boxed{\textcolor{red}{16}}$ ; 

O$A_{1} = |\left|z_{1} \right| = r_{1} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 \times 2} =\boxed{\textcolor{red}{ 8\sqrt{2}}}$ ;

$A_{0}A_{1} = \left|z_{1} - z_{0}  \right| = \left|8 + 8\text{i} - 16 \right| = \left|- 8 + 8\text{i}\right| =\boxed{\textcolor{red}{8\sqrt{2}}}$.

On a donc  O$A_{1} = A_{0}A_{1}$ : le triangle est \textbf{\textcolor{red}{isocèle}} en A$_{1}$ ;

D'autre part $\left( 8\sqrt{2}\right)^2 + \left( 8\sqrt{2}\right)^2 = 16 ^2 \iff A_{0}A_{1}^2 + \text{O}A_{1}^2 = \text{O}A_{0}^2$ signifie (réciproque du théorème de Pythagore) que le triangle O$A_{0}A_{1}$ est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en $A_{1}$.

\bigskip
Autre méthode :

Soit $Z=\dfrac{z_0-z_1}{z_O-z_1}=\dfrac{8-8\mathrm{i}}{-8-8\mathrm{i}}=\dfrac{1-\mathrm{i}}{-1-\mathrm{i}}=\dfrac{\mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{1-\mathrm{i}}=\mathrm{i}$.

On en déduit que $\left\vert Z \right\vert=\left\vert \dfrac{OA_1}{A_0A_1} \right\vert=\left\vert \mathrm{i} \right\vert=1$ donc $OA_0=A_0A_1$ et $\arg(Z)=\arg\left(\dfrac{z_0-z_1}{z_O-z_1}\right)=\left(\overrightarrow{A_1O}~;~\overrightarrow{A_1A_0}\right)=\arg(\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}$.
Le triangle $OA_0A_1$ est bien rectangle isocèle en $A_1$.
	\end{enumerate}
	
\item %Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

$\forall n\in\mathbb{N}$, $r_{n+1} = \left|z_{n+1} \right| =  \left|\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n} \right| = \left|\dfrac{1 + \text{i}}{2} \right| \times \left|z_{n} \right|$ (le module du produit est égal au produit des modules) = $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{2}}{2} r_{n}}}$.

$\forall n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{r_{n+1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} r_{n}}}$ donc  la suite $\left(r_{n}\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}}, de raison $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}$.

%La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ?

On sait que $r_{n}= r_{0}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^n = \boxed{\textcolor{red}{16\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^n}}$.

Comme $0 < \dfrac{\sqrt{2}}{2} < 1$, on sait que $\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^n = \boxed{\textcolor{red}{0}}$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to + \infty} r_{n} = 0}}$.

La suite converge vers $\boxed{\textcolor{red}{0}}$.
 
%Interpréter géométriquement le résultat précédent. 
Comme $r_{n} = \left|z_{n} \right| = \text{O}A_{n}$, ceci signifie géométriquement que la limite des points $A_{n}$ est le point O.

%On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2},  A_{3}$,  etc. 
 
%Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} =  A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n \::\: A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$.
Quel que soit le naturel $n$ :
		
$A_{n}A_{n+1} = \left|z_{n+1} - z_{n}  \right| = \left|\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n} - z_{n}  \right| = \left|z_{n}\left(\dfrac{1 + \text{i}}{2} - 1\right)  \right| =  \left|z_{n}\left(\dfrac{-1 + \text{i}}{2}\right)  \right| = \left|\dfrac{-1 + \text{i}}{2}  \right| \times \left|z_{n}  \right| =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{\sqrt{2}}{2}r_{n} = r_{n+1}}}$.
		\item %Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$.
		$L_{n}$ est donc la somme des $n$ (sauf $r_{0}$) premiers termes de la suite géométrique $\left(r_{n}\right)$.
		
		Donc $\boxed{\textcolor{red}{L_{n} = 8\sqrt{2}\dfrac{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^n}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$.
		\item %Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.
		
On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} L_{n} = \dfrac{8\sqrt{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{16\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \dfrac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)} = \dfrac{16}{\sqrt{2} - 1} = \dfrac{16\left(\sqrt{2} + 1\right)}{2 - 1} \\
= \boxed{\textcolor{red}{16\left(\sqrt{2} + 1\right)}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2.5)(18,9) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-2.5)(18,9) 
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridlabels=0](-5,-2)(18,9)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-4,0)(-4,4)(-2,-2)(0,-2)(16,0)(8,8)(0,8)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](16,0)(8,8)(0,8)(-4,4)(-4,0)(-2,-2)(0,-2)
\uput[ur](16,0){$A_{0}$}\uput[ur](-4,4){$A_{3}$}\uput[ur](-4,0){$A_{4}$}
\uput[ur](-2,-2){$A_{5}$}\uput[ur](0,-2){$A_{6}$}
\uput[ur](8,8){$A_{1}$}\uput[ur](0,8){$A_{2}$}
\uput[ur](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2015}}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
%
%\[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\]
%
%Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal \Oij, la courbe
%représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$.
\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\def\pshlabel#1{\small#1}
\def\psvlabel#1{\small#1}
\begin{pspicture}(-2.75,-1)(5,4)
\psframe(-2.75,-1)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2.75,-0.99)(4.99,3.99)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\psline[linewidth=1.25pt](-2.75,3)(5,3)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.75}{4}{3 2.71828 x 2 neg mul exp 1 add div}
\uput[u](-1,0.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](-2,3){$\Delta$}
\psline[linestyle=dotted](2.4,0)(2.4,3)\uput[d](2.4,0){$a$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psline(0,3)2.4,3)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.4}{0}{3 2.71828 x 2 neg mul exp 1 add div}
}
\end{pspicture}
\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
On sait que $\text{e}^{- 2x} > 0$ quel que soit le réel $x$, donc $1 + \text{e}^{- 2x} > 1 > 0$. Le dénominateur étant non nul, la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sur cet intervalle la fonction étant de la forme $\dfrac{3}{u(x)}$, avec $u(x) = 1 + \text{e}^{- 2x}$, donc $u'(x) = - 2 \text{e}^{- 2x}$ on a :

$f'(x) = - \dfrac{3u'(x)}{(u(x))^2} =  - \dfrac{3 \times (- 2)\text{e}^{- 2x}}{\left(1 + \text{e}^{- 2x} \right)^2} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{6\text{e}^{- 2x}}{\left(1 + \text{e}^{- 2x} \right)^2} }}> 0$ car quotient de deux nombres supérieurs à zéro. la fonction $f$ est donc \textbf{\textcolor{red}{strictement croissante}} sur $\mathbb{R}$ (comme le laisse supposer le graphique). 

\item %Justifier que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - 2x = - \infty$ et en posant $X = - 2x$, \:$\displaystyle\lim_{X \to - \infty}\text{e}^X = 0$, d'où 

$\displaystyle\lim_{X \to - \infty}\left(1 + \text{e}^X\right) = 1$ et enfin par quotient de limites $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \to + \infty}f(x) = 3}}$ : ceci montre que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 3$ est \textbf{\textcolor{red}{asymptote}} à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.

\item %Démontrer que l'équation $f(x) = 2,999$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$.
Sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $f$ est continue car dérivable, strictement croissante de $f(0) = \dfrac{3}{1 + 1} = 1,5$ à 3 :

d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe donc un réel unique $\alpha \in [0~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 2,999$ (l'unicité vient de la montonie de la fonction).

La calculatrice donne:

$f(4) \approx \numprint{2,99899}$ et $f(5) \approx \numprint{2,9999}$, donc $4 < \alpha < 5$ ;

$f(4,0) \approx \numprint{2,99899}$ et $f(4,1) \approx \numprint{2,9992}$, donc $4,0 < \alpha < 4,1$ ;

$f(4,00) \approx \numprint{2,99899}$ et $f(4,01) \approx \numprint{2,99901}$, donc $\boxed{\textcolor{red}{4,00 < \alpha < 4,01}}$. (encadrement à $10^{-2}$ près.
%Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

%Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = 3 - f(x)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la fonction $h$ est positive sur $\R$.
On a vu dans la partie A que $0 < f(x) < 3 \iff - f(x) < 0 < 3 - f(x)$, soit $\boxed{\textcolor{red}{h(x) > 0}}$ sur $\mathbb{R}$.

\item %On désigne par $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)$.

%Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.
La fonction $H$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sur cet intervalle :

$\forall x\in\mathbb{R}$, $H'(x) = - \dfrac{3}{2} \times \dfrac{ - 2\text{e}^{- 2x} }{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3\text{e}^{- 2x}}{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3\text{e}^{- 2x} + 3 - 3}{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3\text{e}^{- 2x} + 3 }{1 + \text{e}^{- 2x}} - \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3\left(\text{e}^{- 2x} + 1\right) }{1 + \text{e}^{- 2x}} - \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}} \\
= 3 - f(x) = h(x)$.

Donc $H$ est \textbf{\textcolor{red}{une primitive}} de $h$ sur $\mathbb{R}$.

\item  %Soit $a$ un réel strictement positif.

	\begin{enumerate}
		\item %Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x$.
On a vu que sur $\mathbb{R}$ donc en particulier sur l'intervalle $[0~;~a]$ (avec $a > $), la fonction $h$ est positive, donc l'intégrale $\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x$ est égale en unités d'aire à la mesure de la surface limitée par la représentation graphique de $h$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$.

Mais comme $h(x) = 3 - f(x)$, cette surface est la surface limitée par la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ (voir l'aire hachurée ci-dessus).

		\item %Démontrer que $\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$.
D'après la question \textbf{B. 2.}, on a :

$\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x = [H(x)]_0^a = H(a) - H(0) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2\times a}\right)  + \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2\times 0}\right) = \dfrac{3}{2} \ln 2 - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2\times a}\right) =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{3}{2} \ln  \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)}}$.

		\item %On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan défini par
		
%$\left\{\begin{array}{l c l}
%x&\geqslant & 0\\
%f(x) &\leqslant y&\leqslant 3
%\end{array}\right.$

%Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
D'après la question précédente, on sait que l'aire de $\mathcal{D}_a$, surface limitée par la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ est égale à $\dfrac{3}{2} \ln  \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{- 2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + \text{e}^{- 2x} = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2x}}\right) = 2$, donc finalement par composition, l'aire de $\mathcal{D}$ est égale à  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{3}{2} \ln  \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2x}}\right) = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{2} \ln 2 \approx 1,04\text{  (u. a.)}}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}





\subsection{\textcolor{blue}{D'après Bac (Antilles-Guyane - septembre 2013}}%D'après Bac (Antilles-Guyane - 2013 (Sesamaths page 344)

\textcolor{red}{\textbf{Partie A} : \textbf{modélisation et simulation}} %\subsection{partie A}

 
\begin{enumerate}
\item %On donne les couples suivants : $(-1~;~1)$ ; (10~;~0); (2~;~4) ; (10~;~2).
$(-1~;~1)$ : non car $x < 0$ ce qui n'est pas possible ;

(10~;~0) : oui par exemple en choisissant 10 fois la valeur 0 pour $y$ ;

(2~;~4) : non car $y > 2$ ;

(10~;~2) : oui par exemple en choisissant dans cet ordre  8 fois la valeur 0  puis deux fois la valeur $1$  pour $y$. 
 
%Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse. 
\item %Modifier cet algorithme pour qu'à la place de \og la position de Tom est $(x~;~y)$ \fg, il affiche finalement \og Tom a réussi la traversée\fg{} ou \og Tom est tombé \fg.

Pour que Tom ait réussi la traversée, il faut qu'il \textbf{soit arrivé au bout des 10 étapes}, c'est-à-dire que $x=10$ et qu'il ne \textbf{tombe pas lors de cette dernière étape}, ce qui est encore possible si sa position à l'étape précédente était $(9~;~1)$ ou $(9~;~-1)$; il faut donc tester également si $y $ n'est pas plus grand que 1 ou plus petit que $-1$ en fin d'algorithme.


\newpage

On remplace dans l'algorithme la ligne:

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}}|l}
Afficher \og{}la position de Tom est \fg{} $(x\,; y)$
\end{tabular}

par:

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}}|l}
Si $x=10$ et $y\geqslant -1$ et $y\leqslant 1$\\
\hspace*{0.5cm} alors Afficher \og{}Tom a réussi la traversée\fg{}\\
\hspace*{0.5cm} sinon Afficher \og{}Tom est tombé\fg{}\\
Fin du si
\end{tabular}

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}%   \subsection{partie B}

\medskip
 
Pour tout $n$ entier naturel compris entre 0 et 10, on note : 

$A_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée $- 1$ \fg.

$B_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 0 \fg.

$C_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 1 \fg.
 
On note $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ les probabilités respectives des évènements $A_{n}, B_{n}, C_{n}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que $a_{0} = 0, b_{0} = 1, c_{0} = 0$. 
Au départ, Tom se trouve à l'origine O donc son ordonnée est 0; donc l'événement $B_0$ est réalisé: $a_0=0$, $b_0=1$ et $c_0=0$.


\item 

On va représenter sur un arbre pondéré le passage de l'état $n$ à l'état $n+1$; une branche vers le haut signifie que le nombre choisi au hasard est $-1$, une branche du milieu signifie que le nombre est 0 et une branche vers le bas signifie que ce nombre vaut 1.

Il est dit dans le texte que $S$ représente l'événement \og{}Tom traverse le pont\fg{} donc  $\overline S$ désigne l'événement \og{}Tom est tombé à l'eau\fg{}.


\medskip


\psset{treemode=R, nodesep=0mm, levelsep=40mm,treesep=5mm}
\pstree{\Tdot}
   {
   \pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$A_n$}\taput{$a_n$}}
       {
        \Tdot~[tnpos=a]{$\overline S$}~{$\hspace*{9pt}A_n \cap \overline S$}\taput{$\frac{1}{3}$} 
        \Tdot~[tnpos=a]{$A_{n+1}$}~[tnpos=b]{$\phantom{A_{n+1}}$}~{$A_n \cap A_{n+1}$}\ncput*{$\frac{1}{3}$} 
        \Tdot~[tnpos=b]{$B_{n+1}$}~{$A_n \cap B_{n+1}$}\tbput{$\frac{1}{3}$}
        } 
   \pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$B_n$}\taput{$b_n$}}
        {
        \Tdot~[tnpos=a]{$A_{n+1}$}~{$B_n \cap A_{n+1}$}\taput{$\frac{1}{3}$} 
        \Tdot~[tnpos=a]{$B_{n+1}$}~[tnpos=b]{$\phantom{B_{n+1}}$}~{$B_n \cap B_{n+1}$}\ncput*{$\frac{1}{3}$} 
        \Tdot~[tnpos=b]{$C_{n+1}$}~{$B_n \cap C_{n+1}$}\tbput{$\frac{1}{3}$}
        }      
   \pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$C_n$}\tbput{$c_n$}}
        {
        \Tdot~[tnpos=a]{$B_{n+1}$}~{$C_n \cap B_{n+1}$}\taput{$\frac{1}{3}$} 
        \Tdot~[tnpos=a]{$C_{n+1}$}~[tnpos=b]{$\phantom{C_{n+1}}$}~{$C_n \cap C_{n+1}$}\ncput*{$\frac{1}{3}$} 
        \Tdot~[tnpos=b]{$\overline S$}~{$\hspace*{9pt}C_n \cap \overline S$}\tbput{$\frac{1}{3}$}
        }
   }

\newpage

D'après la formule des probabilités totales:

$a_{n+1} = P(A_{n+1}) = P(A_n \cap A_{n+1}) + P(B_n \cap A_{n+1})\\
\phantom{a_{n+1}} = 
P(A_n) \times P_{A_n}(A_{n+1}) + P(B_n) \times P_{B_n}(A_{n+1}) =
a_n \times \dfrac{1}{3}+ b_n \times \dfrac{1}{3} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{a_n+b_n}{3}}}$

De même $b_{n+1}=P(B_{n+1})= a_n \times \dfrac{1}{3} + b_n \times \dfrac{1}{3} + c_n \times \dfrac{1}{3} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{a_n+b_n+c_n}{3}}}$

et $c_{n+1}=P(C_{n+1})= b_n \times \dfrac{1}{3} + c_n \times \dfrac{1}{3} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{b_n+c_n}{3}}}$

%\emph{Remarque: on pourrait aisément démontrer, par exemple  par récurrence, que pour tout $n$, $a_n=c_n$.}

\item %Calculer les probabilités $p\left(A_{1}\right),\: p\left(B_{1}\right)$ et $p\left(C_{1}\right)$. 

$P(A_1)=a_1=\dfrac{a_0+b_0}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$ ; 
$P(B_1)=b_1=\dfrac{a_0+b_0+c_0}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$ ;

$P(C_1)=c_1=\dfrac{b_0+c_0}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$.  

%On peut dire aussi qu'après un déplacement, Tom ne peut pas être tombé donc $P(A_1)+P(B_1) + P(C_1) = 1$. Ce n'est plus le cas à partir de deux déplacements.

\item %Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements. 

Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements si l'ordonnée $y$ de sa position vaut $-1$, 0 ou 1, autrement dit dans le cas de l'événement $A_2 \cup B_2 \cup C_2$. Les trois événements $A_2$, $B_2$ et $C_2$ sont incompatibles donc $P(A_2 \cup B_2 \cup C_2)=P(A_2) + P(B_2) + P(C_2)$.

$a_2=\dfrac{a_1+b_1}{3}=\dfrac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{9}}}$;
$b_2=\dfrac{a_1+b_1+c_1}{3}=\dfrac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$;

$c_2=\dfrac{b_1+c_1}{3}=\dfrac{\frac{1}{3}}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{9}}}$.

$P(A_2 \cup B_2 \cup C_2)=P(A_2) + P(B_2) + P(C_2)=a_2+b_2+c_2= \dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{9}}}.$

La probabilité que Tom se trouve sur le pont après deux déplacements est $\dfrac{7}{9}$.


\item
Pour la même raison que dans la question précédente, la probabilité que Tom traverse le pont est $P(A_{10} \cup B_{10} \cup C_{10})=P(A_{10}) + P(B_{10}) + P(C_{10})=a_{10}+b_{10}+c_{10} \approx \numprint{0,040272} + \numprint{0,056953} + \numprint{0,040272} \approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,137497}}}$ (d'après le tableau fourni).

Une valeur approchée à $0,001$ près de la probabilité que Tom traverse le pont est  $0,137$.

\end{enumerate}

\subsection{} %Antilles juin 2013

\noindent\textbf{Réservé aux candidats ne suivant pas la spécialité mathématiques}


%\vfill\hrule\vfill
%\large
\vspace{1cm}

%: Ex 1 5 points, commun

\begin{enumerate}
\item La bonne réponse est \fbox{\textcolor{red}{b}}.\\
Par l'absurde: si $(IJ)$ et $(EC)$ étaient coplanaires, alors, le point $J$ appartiendrait au plan $(ECI)$ c'est-à-dire au plan $(ECA)$, ce qui est faux.

\item La bonne réponse est \fbox{\textcolor{red}{c}}.\\
Dans le repère mentionné dans le sujet, on a $\overrightarrow{AF}(1,0,1)$ et $\overrightarrow{BG}(0,1,1)$, d'où $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}=1\times0+0\times1+1\times1=1$.
\item La bonne réponse est \fbox{\textcolor{red}{d}}. On le vérifie en injectant les coordonnées des points $A$, $F$ et $H$ dans l'équation \\
$x+y-z=0$.

\item La bonne réponse est \fbox{\textcolor{red}{b}}.\\
Un vecteur normal de $\mathcal{P}$ est $\overrightarrow{n}(1,1,-1)$, or $\overrightarrow{EC}(1,1,-1)$. Par conséquent $\overrightarrow{EC}$ est normal à $\mathcal{P}$, et comme $\overrightarrow{EL}$ et $\overrightarrow{EC}$ sont colinéaires, $\overrightarrow{EL}$ est de ce fait aussi normal à $\mathcal{P}$.

\item La bonne réponse est \fbox{d}.\\
On a $\overrightarrow{EC}(1,1,-1)$ et $E(0,0,1)$; une représentation paramétrique de la droite $(EC)$ est donc $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&t\\y&=&t~~(t\in\mathbb{R})\\z&=&1-t\end{array}\right.$. 

Le point $L$ a donc pour coordonnées $L(t,t,1-t)$, et comme $L\in\mathcal{P}$ alors: $t+t-(1-t)=0$
d'où l'on tire $t=\frac13$, c'est-à-dire $\boxed{\textcolor{red}{L\left(\frac13,\frac13,\frac13\right)}}$, d'où le résultat.
\end{enumerate}





\subsection*{\textcolor{blue}{IV}}
\noindent\textbf{Réservé aux candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}



\begin{enumerate}
\item
On considère l'équation (E) à résoudre dans $\mathbb{Z}$: $7x-5y=1$.
	\begin{enumerate}
		\item $7 \times 3 - 5\times 4 = 21-20=1$ donc $(3\,;\,4)$ est solution de (E).
		\item% \null\\[-10pt]

\begin{list}{\textbullet}{}
\item
$\begin{array}[t]{@{} l c !{-} c !{=} l}
\text{Le couple } (x\,;\,y) \text{ est solution de (E) donc: } & 7\times x & 5 \times y & 1\\
\text{Le couple } (3\,;\,4) \text{ est solution de (E) donc: } & 7\times 3 & 5 \times 4 & 1\\
\cline{2-4} 
\text{Par soustraction membre à membre: } & 7(x-3) & 5(y-4) & 0 
\end{array}$ \\
donc $\boxed{\textcolor{red}{7(x-3)=5(y-4)}}$.

		\item \textbf{\textcolor{red}{Réciproquement}}, si le couple $(x\,;\,y)$ est tel que $7(x-3)=5(y-4)$, on peut dire que \\
		$7(x-3)-5(y-4) = 0 \iff 7x-21-5y+20 = 0 \iff 7x-5y=1$, et donc que le couple $(x\,;\,y)$ est solution de (E).
		\item Donc le couple d'entiers $(x\,;\,y)$ est solution de (E) si et seulement si $\boxed{\textcolor{red}{7(x-3)=5(y-4)}}$.

\end{list}

\item
\begin{list}{\textbullet}{}

		\item
Soit $(x\,;\, y)$ un couple d'entiers solution de (E), ce qui équivaut à $7(x-3)=5(y-4)$.

$7(x-3)=5(y-4)$ entraîne que 7 divise $5(y-4)$; or 7 et 5 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise $y-4$. Donc il existe un entier relatif $k$ tel que $y-4=7k$ ce qui équivaut à $y=7k+4$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

\smallskip

Comme $7(x-3)=5(y-4)$ et $y-4=7k$, cela implique que $7(x-3)=5\times 7k$ ce qui équivaut à $x-3=5k$ ou encore $x=5k+3$.

\smallskip

Donc si $(x\,;\, y)$ est solution de (E), alors 
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
x & 5k+3\\
y & 7k+4
\end{array}
\right. \text{ où } k \in \mathbb{Z}$

\item
\textbf{\textcolor{red}{Réciproquement}}, si le couple d'entiers $(x\,;\, y)$ est tel que 

$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
x & 5k+3\\
y & 7k+4
\end{array}
\right. \text{ où } k \in\mathbb{Z}$,
alors $7x-5y= 7(5k+3)-5(7k+4) = 35k + 21 -35k -20 = 1$ donc $(x\,;\, y)$ est solution de (E).

\item
Donc les solutions entières de l'équation (E) sont exactement les couples $(x\,;\, y)$ d'entiers relatifs tels que

$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
x & 5k+3\\
y & 7k+4
\end{array}
\right. \text{ où } k \in~\mathbb{Z}$

\end{list}


\end{enumerate}

\item
Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons il y a $x$ jetons rouges et $y$ jetons verts. On sait que $7x-5y=1$.

D'après la question \textbf{1}, on peut dire que $x=5k+3$ et $y=7k+4$ avec $k$ entier relatif. Le nombre de jetons est un nombre positif, et ne doit pas dépasser 25 qui est le nombre total de jetons dans la boîte.

Pour $k=0$, $x=3$ et $y=4$; il peut donc y avoir 3 jetons rouges, 4 jetons verts et $25-3-4=\boxed{\textcolor{red}{18}}$ jetons blancs.

Pour $k=1$, $x=8$ et $y=11$; il peut donc y avoir 8 jetons rouges, 11 jetons verts et $25-8-11=\boxed{\textcolor{red}{6}}$ jetons blancs.

Les autres valeurs de $k$ ne donnent pas de résultats répondant au problème.
\end{enumerate}

\textbf{Dans la suite, on supposera qu'il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts.}


\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item 

Comme au départ c'est-à-dire pour $n=0$, le pion est en A, on peut dire que $X_0=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

D'après le texte, on tire au hasard un pion dans la boîte, donc il y a équiprobabilité. Il y a 3 pions rouges sur 25 donc la probabilité de tirer un pion rouge est $\dfrac{3}{25}=0\boxed{\textcolor{red}{,12}}$. On calcule de même la probabilité de tirer un pion vert: $\dfrac{4}{25}=016$ et la probabilité de tirer un pion blanc: $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{18}{25}=0,72}}$.

On cherche la probabilité $a_{n+1}$ qu'à l'étape $n+1$ le pion soit en A.

S'il était en A à l'étape $n$, il faut tirer une boule blanche pour qu'il y reste, ce qui se fait avec une probabilité de 0,72. Comme il avait une probabilité égale à $a_{n}$ d'être en A à l'étape $n$, on retient $0,72a_{n}$.

S'il était en B à l'étape $n$, il faut tirer une boule rouge pour qu'il passe en A, ce qui se fait avec une probabilité de 0,12. Comme il avait une probabilité égale à $b_{n}$ d'être en B à l'étape $n$, on retient $0,12b_{n}$.

S'il était en C à l'étape $n$, il faut tirer une boule rouge pour qu'il passe en A, ce qui se fait avec une probabilité de 0,12. Comme il avait une probabilité égale à $c_{n}$ d'être en C à l'étape $n$, on retient $0,12c_{n}$.

On peut donc dire que: $\boxed{\textcolor{red}{a_{n+1}=0,72a_n+0,12b_n+0,12c_n}}$.

On justifie de la même façon $b_{n+1}$ et $c_{n+1}$ et l'on a :

$\boxed{\textcolor{red}{\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} c !{+} c !{+} c}
a_{n+1} & 0,72 a_n & 0,12 b_n & 0,12 c_n\\
b_{n+1} & 0,12 a_n & 0,72 b_n & 0,16 c_n\\
c_{n+1} & 0,16 a_n & 0,16 b_n & 0,72 c_n
\end{array}
\right.}}$

ce qui donne sous forme matricielle

$\boxed{\textcolor{red}{\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} & c_{n+1} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} & c_{n} \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} 
0,72 & 0,12 & 0,16 \\
0,12 & 0,72 & 0,16 \\
0,12 & 0,16 & 0,72 
\end{pmatrix}}}$

soit $X_{n+1}=X_{n}T$ où 
$T=
\begin{pmatrix} 
0,72 & 0,12 & 0,16 \\
0,12 & 0,72 & 0,16 \\
0,12 & 0,16 & 0,72 
\end{pmatrix}$

%\emph{La situation décrite dans le texte peut être modélisée par le graphe ci-dessous:}
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-2,-6)(8,1)
%%\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1)
%\psnode(0,0){A}{\red \boldmath A}
%\psnode(6,0){B}{\boldmath B}
%\psnode(3,-4.2){C}{\blue \boldmath C}
%
%\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}
%
%\ncarc[linecolor=red]{->}{A}{B} \Aput{\red 0,12} 
%\ncarc[linecolor=red]{->}{A}{C} \Aput{\red 0,16}
%\nccircle[angleA=60,linecolor=red]{->}{A}{.5cm} \Bput{\red 0,72}
%
%\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,12}
%\ncarc{->}{B}{C} \Aput{0,16} 
%\nccircle[angleA=-60]{->}{B}{.5cm} \Bput{0,72}
%
%\ncarc[linecolor=blue]{->}{C}{A} \Aput{\blue 0,12} 
%\ncarc[linecolor=blue]{->}{C}{B} \Aput{\blue 0,16}
%\nccircle[angleA=180,linecolor=blue]{->}{C}{.5cm} \Bput{\blue 0,72}
%
%\end{pspicture}
%\end{center}

\item
On admet que $T=PDP^{-1}$ où
$P^{-1}=
\begin{pmatrix} 
\dfrac{3}{10} & \dfrac{37}{110} & \dfrac{4}{11} \\[7pt]
\dfrac{1}{10} & -\dfrac{1}{10} & 0 \\[7pt]
0 			  & \dfrac{1}{11} & -\dfrac{1}{11} 
\end{pmatrix}$
et
$D=
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 \\
0 & 0,6 & 0 \\
0 & 0 & 0,56 
\end{pmatrix}$

\begin{enumerate}
\item On sait que $P=\left (P^{-1}\right )^{-1}$; on cherche donc à la calculatrice l'inverse de la matrice $P^{-1}$ et on trouve :

$\boxed{\textcolor{red}{P=
\begin{pmatrix} 
1 & 7 & 4 \\
1 & -3 & 4 \\
1 & -3 & -7 
\end{pmatrix}}}$


\item On va démontrer par \textbf{\textcolor{red}{récurrence}} sur $n$ ($n \geqslant 1$) la propriété $\mathcal P_n$: $T^n=PD^nP^{-1}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On sait que $T=PDP^{-1}$ donc $T=PD^1P^{-1}$ et donc la propriété est vraie au rang $n=1$.

\item On suppose la propriété vraie à un rang $p$ ($p \geqslant 1)$, c'est-à-dire $T^p=PD^pP^{-1}$; c'est l'hypothèse de récurrence.

On veut démontrer que la propriété est vraie au rang $p+1$.

$T^{p+1} = T^p\times T$; d'après l'hypothèse de récurrence, $T^p=PD^nP^{-1}$ et on sait que $T=PDP^{-1}$.
Donc $T^{p+1} = PD^pP^{-1}\times PDP^{-1} = PD^pP^{-1}PDP^{-1}= PD^{p+1}P^{-1}$
et donc la propriété est vraie au rang $p+1$.

\item La propriété est vraie au rang 1, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n \geqslant 1$.

\end{list}

On a donc démontré que, pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, $\boxed{\textcolor{red}{T^n=PD^nP^{-1}}}$.

\item La matrice $D$ est une matrice diagonale; 
$D^n=
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 \\
0 & 0,6^n & 0 \\
0 & 0 & 0,56^n 
\end{pmatrix}$

\end{enumerate}

\end{enumerate}

On note $\alpha_n$, $\beta_n$, $\gamma_n$ les coefficients de la première ligne de la matrice $T^n$; ainsi
$T^n=
\begin{pmatrix} 
\alpha_n & \beta_n & \gamma_n \\
\ldots & \ldots & \ldots \\
\ldots & \ldots & \ldots 
\end{pmatrix}$

On admet que $\alpha_n = \dfrac{3}{10}+\dfrac{7}{10}\times 0,6^n$ et
$\beta_n=\dfrac{37-77\times 0,6^n +40\times 0,56^n}{110}$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, $X_n=X_0T^n$.

\begin{enumerate}
 \item 
 $X_n =
 \begin{pmatrix} a_n & b_n & c_n \end{pmatrix}$
 et 
$X_0 =
 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$X_n=X_0T^n
\iff
 \begin{pmatrix}  a_n & b_n & c_n  \end{pmatrix}
 = 
  \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
  \times
  \begin{pmatrix} 
\alpha_n & \beta_n & \gamma_n \\
\ldots & \ldots & \ldots \\
\ldots & \ldots & \ldots 
\end{pmatrix}\\
\phantom{X_n=X_0T^n}
\iff
\begin{pmatrix}  a_n & b_n & c_n  \end{pmatrix}
 = 
\begin{pmatrix}  \alpha_n & \beta_n & \gamma_n  \end{pmatrix}
$

Donc $a_n=\alpha_n$ et $b_n=\beta_n$. Or comme à chaque étape, le pion est soit en A, soit en B, soit en C, $a_n+b_n+c_n=1$ et donc $c_n=1-a_n-b_n=1-\alpha_n-\beta_n$.

\item
$a_n=\dfrac{3}{10}+\dfrac{7}{10}\times 0,6^n$; or $-1<0,6<1$ donc 
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}0,6^n=0$ d'où l'on déduit que 
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_n=\dfrac{3}{10}$.

$b_n==\dfrac{37-77\times 0,6^n +40\times 0,56^n}{110}$; or $- 1 < 0,56 < 1$ donc 
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}0,56^n=0$ et comme 
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}0,6^n=0$, on peut en déduire que
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}b_n=\dfrac{37}{110}$.

$c_n=1-a_n-b_n$ donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}c_n = 1-\dfrac{3}{10} - \dfrac{37}{110} = \dfrac{4}{11}$.

\item
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}a_n=\dfrac{3}{10}=\dfrac{33}{110}$;
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}b_n=\dfrac{37}{110}$ et
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}c_n=\dfrac{4}{11}=\dfrac{40}{110}$

Le sommet sur lequel on a le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations est le sommet qui a la plus grande probabilité au rang $n$; c'est donc le sommet C.
 \end{enumerate} 

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  