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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : correction du contrôle commun \no 3 (4 heures)}}\end{center}

\subsection{}%\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2014}
\label{complexes} 

\medskip

On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

Le graphique sera fait sur l'annexe (page $5$).

\medskip
 
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe 

\[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]
 
\begin{enumerate}
\item% Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$. 
$f\left (-1+\i\sqrt{3}\right ) =
\left (-1+\i\sqrt{3}\right )^2 +2\left (-1+\i\sqrt{3}\right )+9 =
1 - 2\i\sqrt{3} - 3 -2 +2\i\sqrt{3} +9 =
\boxed{\textcolor{red}{5}}$

\item On résout dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z) = 5$:

$f(z) = 5 \iff z^2+2z+9=5 \iff z^2+2z+4 = 0$; $\Delta = 4-16 = -12 = -\left (2\sqrt{3}\right )^2$

Donc l'équation admet deux racines complexes conjuguées:
$\dfrac{-2+ 2\i\sqrt{3}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{-1+\i \sqrt{3}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{-1 - \i \sqrt{3}}}$ 
 
%à‰crire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.

On appelle $A$ le point d'affixe $z_{A} = -1+\i \sqrt{3}$ et $B$ le point d'affixe $z_{B} = -1 - \i \sqrt{3}$

$\left| z_{A}\right| = \sqrt{1+3}=2$

Soit $\theta_A$ un argument de $z_A$:
$\left.
\begin{array}{@{} l}
\cos \theta_A = -\dfrac{1}{2}\\[8pt]
\sin \theta_A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}
\right\rbrace \Longrightarrow
\theta_A = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \text{ où } k\in \mathbb{Z}$

Donc $z_A = 2\mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}\pi}{3}}$

Les nombres complexes $z_A$ et $z_B$ sont conjugués, donc ils ont le même module et des arguments opposés donc $z_B = 2\mathrm{e}^{-\frac{2\mathrm{i}\pi}{3}}$


$\left| z_{A}\right| = 2$ donc le point $A$ se trouve sur le \textbf{\textcolor{red}{cercle de centre $O$ et de rayon 2}}. De plus la partie réelle de $A$ vaut $-1$ donc $A$ se trouve sur la \textbf{\textcolor{red}{droite d'équation $x=-1$}}.
Idem pour $B$.

\textbf{\textcolor{red}{Voir graphique à la fin de l'exercice}}.

%Construire alors sur le graphique, à  la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). 
%
%On laissera les traits de construction apparents. 


\item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
 
%Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées. 

$f(z)=\lambda \iff z^2+2z+9=\lambda \iff z^2+2z+9-\lambda=0$

Pour que l'équation $f(z) = \lambda$ admette deux solutions complexes conjuguées, il faut et il suffit que le discriminant du polynôme $z^2+2z+9-\lambda$ soit strictement négatif.

$\Delta = 4 - 4(9-\lambda) = 4 - 36 + 4\lambda = 4\lambda-32$; $\Delta<0 \iff 4\lambda-32<0 \iff \boxed{\textcolor{red}{\lambda < 8}}$

L'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z)=\lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées est l'intervalle $\boxed{\textcolor{red}{] -\infty\,;\, 8]}}$. 

\item Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie 
$\left |f(z) - 8\right | = 3$
 
$f(z)-8 = z^2+2z+9-8 = z^2+2z+1 = (z+1)^2$; donc $\left|f(z)-8\right |=\left |(z+1)^2\right| = \left |z+1\right |^2$ car le module d'un carré est égal au carré du module.

Donc $\left |f(z)-8\right |=3 \iff  \left |z+1\right |^2=3 \iff \boxed{\textcolor{red}{\left |z+1\right | = \sqrt{3}}}$
 
Soit $\Omega$ le point d'affixe $-1$, donc de coordonnées $(-1\,;\, 0)$; si on appelle $M$ le point d'affixe $z$,  alors $\left |z+1\right | = \sqrt{3} \\
\iff \left | z_M - z_{\Omega}\right |=\sqrt{3}$.

L'ensemble des points $M$ vérifiant $\left | z_M - z_{\Omega}\right |=\sqrt{3}$ est le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt{3}$.
 
%Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. 

On trace (F) sur le graphique (voir fin de l'exercice). 

\item Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est $x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y)$
$f(z)=z^2+2z+9 = (x+\i y)^2 +2(x+\i y) +9 = x^2 +2\i xy -y^2 +2x +2\i y +9 \\
\phantom{f(z)} = \boxed{\textcolor{red}{x^2 - y^2 +2x+9 +\i(2xy + 2y)}}$  
		\item On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
		 
%Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
% 
%Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites.

$f(z) \text{ réel} \iff 2xy+2y=0 \iff 2y(x+1)=0 \iff y=0 \text{ ou }x=-1$

Donc (E) est la \fbox{\textcolor{red}{réunion de deux droites $D_{1}$ d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) et $D_{2}$ d'équation $x=-1$}}.

\end{enumerate} 
		
\item% Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F). 
 Le cercle (F) est de centre $\Omega$ d'affixe $-1$ et de rayon $\sqrt{3}$.
Donc les points d'intersection du cercle (F) avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées $\left ( -1-\sqrt{3}\,;\, 0\right )$ et $\left ( -1+\sqrt{3}\,;\, 0\right )$.

Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$ dont les parties réelles sont égales à  $-1$; donc $A$ et $B$ sont situés sur la droite $D_2$.

$\Omega A = \left | z_A - z_{\Omega}\right | = \left |-1+\i\sqrt{3}+1\right | = \left | \i\sqrt{3}\right | = \sqrt{3}$ donc le point $A$ appartient au cercle (F).

$\Omega B = \left | z_B - z_{\Omega}\right | = \left |-1-\i\sqrt{3}+1\right | = \left | -\i\sqrt{3}\right | = \sqrt{3}$ donc le point $B$ appartient au cercle (F).

Les coordonnées des quatre points d'intersection des ensembles (E) et (F) sont:

$\left ( -1-\sqrt{3}\,;\, 0\right )$, $\left ( -1+\sqrt{3}\,;\, 0\right )$, $\left ( -1\,;\, \sqrt{3}\right )$ et  $\left ( -1\,;\, -\sqrt{3}\right )$

\end{enumerate}



\begin{center}
\textbf{\textcolor{blue}{FIGURE DE L'EXERCICE \ref{complexes}}}
\end{center}
\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\def\xmin{-3.2} \def\xmax{3.2} \def\ymin{-3.2} \def\ymax{3.2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=2pt](0,0)(-3,-3)(3,3)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0](-3,-3)(3,3)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\uput[dl](0,0){$O$}
\psset{linecolor=red}
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2}
\psline(-1,\ymin)(-1,\ymax)
\psdots(2;120)(2;-120)
\uput[ul](2;120){\red $A$} \uput[dl](2;-120){\red $B$}
\psset{linecolor=blue}
\pscircle(-1,0){1.732}
\uput[ul](-1,0){\blue $\Omega$}
\psdots(-1,0)
\uput[ul](-2,1.4){\blue (F)}
\uput[d](2.5,0){$D_1$}
\uput[l](-1,2.5){\red $D_2$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{}%\textcolor{blue}{Déclic \no 81 page 146}
\label{fonctions}
Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ (unité graphique 5 cm).

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

Soit la fonction $f_1$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f_1(x)=x\mathrm{e}^{-x^2}$ et $\mathscr{C}_1$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout réel positif $x$, $f_1'(x)=\mathrm{e}^{-x^2}-2x^2\mathrm{e}^{-x^2}$.
Pour tout $x>0$,  $f_1'(x) =1\times \mathrm{e}^{-x^2} + x \times (-2x)\mathrm{e}^{-x^2} =\boxed{\textcolor{red}{(1-2x^2)\mathrm{e}^{-x^2}}}$.

%En déduire le sens de variation  de $f_1$.
$f_1'(x)$ est donc du signe de $1-2x^2$.

$1-2x^2=0\Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $1-2x^2<0\Leftrightarrow x^2>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2}$ (ouisque $x$ est positif).

On en déduit que $f_1$ est croissante sur $\left[0~;~\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]$ puis décroissante sur $\left[\dfrac{1}{\sqrt{2}}~;~+\infty\right[$.

\item %Calculer la limite de $f_1$ en $+\infty$ (on pourra poser $u=x^2$). Interpréter graphiquement ce résultat.
Calcul de la limite de $f_1$ en $+\infty$ :

On pose $u=x^2$ donc $x=\sqrt{u}$.

Alors $x\mathrm{e}^{-x^2}=\sqrt{u}\mathrm{e}^{-u}=\dfrac{1}{\sqrt{u}}\times u\mathrm{e}^{-u}$.

$\lim_{x\rightarrow =\infty}\left(x\mathrm{e}^{-x^2}\right)=\lim_{u\rightarrow +\infty}\left[\dfrac{1}{\sqrt{u}}\times u\mathrm{e}^{-u}\right]$.

$\lim_{u\rightarrow +\infty}u\mathrm{e}^{-u}=\lim_{u\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{u}{\mathrm{e}^{u}}\right)=0$ car, d'après les croissances comparées, $\lim_{u\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{u}}{u}\right)=+\infty$.

Comme $\lim_{u\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{u}}\right)=0$, par produit, on trouve que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f_1(x)=0}}$.

On en déduit que l'axe des abscisses est \textbf{\textcolor{red}{asymptote}} à la courbe $\mathscr{C}_1$ au voisinage de $+\infty$.

\item %Dresser le tableau de variation de $f_1$.
\textbf{\textcolor{red}{Tableau de variation de $\mathbf{f_1}$ }}:

\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\dfrac{1}{\sqrt{2}}&&\pI\\
\hline
f_1'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f_1(x)}&0&\c&\h{\dfrac{1}{\sqrt{2\mathrm{e}}}}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %On appelle $\Delta$ la droite d'équation $y=x$. Déterminer la position de $\mathscr{C}_1$ par rapport à $\Delta$.
$\forall x\geqslant 0$, $f_1(x)-x=x\mathrm{e}^{-x^2}-x=x\left(\mathrm{e}^{-x^2}-1\right)$.

$x\geqslant 0$ donc $-x^2\leqslant 0$ d'où $\mathrm{e}^{-x^2}\leqslant 1$ donc $\mathrm{e}^{-x^2}-1\leqslant 0$.

On en déduit que $f_1(x)-x\leqslant 0$.

La courbe $\mathscr{C_1}$ est donc en dessous de la droite $\Delta$.

%$\Delta$ et $\mathscr{C}_1$ sont tracées sur l'annexe II. On complètera la figure dans les parties suivantes.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

On considère la fonction $f_3$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f_3(x)=x^3\mathrm{e}^{-x^2}$ et on appelle $\mathscr{C}_3$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout réel $x$ positif, $f_3'(x)$ a le même signe que $\left(3-2x^2\right)$.
Pour tout $x\geqslant 0$, $f_3(x)=3x^2\mathrm{e}^{-x^2}+x^3\times \left(-2x\mathrm{e}^{-x^2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{x^2\left(3-2x^2\right)\mathrm{e}^{-x^2}}}$ qui est du signe de $3-2x^2$.

%En déduire le sens de variation de $f_3$.
$3-2x^2$ s'annule pour $x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ et $3-2x^2>0\Leftrightarrow x^2<\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x<\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ (car $x$ est positif).`Òn en déduit que $f_3$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur $\left[0~;~\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right]$ puis \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur $\left[\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}~;~+\infty\right[$

\item %Déterminer les positions relatives de $\mathscr{C}_1$ et de $\mathscr{C}_3$.
Pour tout $x\geqslant 0$, $f_3(x)-f_1(x)=x\mathrm{e}^{-x^2}-x^2\mathrm{e}^{-x^2}=x\left(x^2-1\right)\mathrm{e}^{-x^2}$ qui est du signe de $x^2-1$, donc positif pour $x\geqslant 1$ (car $x$ est positif).

La courbe $\mathscr{C}_3$ est donc au-dessus de $\mathscr{C}_1$ pour $x\geqslant 1$ et en dessous pour $0\leqslant x\leqslant 1$ (avec un point commun pour $x=0$ ou $x=1$).

\item %Tracer $\mathscr{C}_3$ dans le même repère que $\mathscr{C}_1$ (on admettra que $\mathscr{C}_3$ a la même asymptote qur $\mathscr{C}_1$ au voisinage de $+\infty$).
Tracé de $\mathscr{C}_3$ sur la courbe à la fin de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie C}}

On désigne par $n$ un entier naturel $n$ non nul et on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :$$f_n(x)=x^n\mathrm{e}^{-x^2}$$

On note $\mathscr{C}_n$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $f_n$ admet un maximum pour $x=\sqrt{\dfrac{n}{2}}$. On note $\alpha_n$ ce maximum.
Pour tout $x\geqslant 0$, $f_n$ est dérivable come produit et quotient de fonctions dérivables.

$\forall x\geqslant 0$, $f_n'(x)=nx^{n-1}\times \mathrm{e}^{-x^2}+x^n\times \left(-2x\mathrm{e}^{-x^3}\right)=\boxed{\textcolor{red}{x^{n-1}\left(n-2x^2\right)\mathrm{e}^{-x^2}}}$.

$f_n'(x)=0$ pour $x=0$ ou  $x=\sqrt{\dfrac{n}{2}}$.

$f_n'(x)$ est du signe de $n-2x^2$, donc positif sur $\left[0~;~\sqrt{\dfrac{n}{2}}\right]$ et négatif sur $\left[\dfrac{\sqrt{n}}{2}~;~+\infty\right[$.

$f_n$ est donc croissante sur $\left[0~;~\sqrt{\dfrac{n}{2}}\right]$ puis décroissante sur $\left[\dfrac{\sqrt{n}}{2}~;~+\infty\right[$

\item On appelle $S_n$ le point de $\mathscr{C}_n$ d'abscisse $\sqrt{\dfrac{n}{2}}$, c'est-à-dire  le sommt de la coourbe.

%Montrer que, pour tout $n$, $\mathscr{C}_n$ passe par $S_2$.
L'abscisse de $S_2$ est 1. Pour tout $n$, $f_n(1)=1^n\mathrm{e}^{-1}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

Pour tout $n$, $\mathscr{C}_n$ passe par $S_2$.

Placer $S_1$, $S_2$ et $S_3$ sur la figure.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\textcolor{blue}{COURBE DE L'EXERCICE \ref{fonctions}}}

\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=5.0cm,yunit=5.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(2.,2.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(0.,-2.)(2.,2.)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=200]{0.0}{2.0}{x*EXP(-x^(2.0))}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{0.0}{2.0}{x^3*EXP(-x^(2.0))}
\psplot{-2.}{2.}{(-0.--1.*x)/1.}
\multido{\r=0+0.2}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](\r,-2)(\r,2)}
\multido{\r=-0.22+0.2}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](-2,\r)(2,\r)}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1,0.37)(0.71,0.43)(1.22,0.41)
\uput[u](1.6,0.1){$\mathscr{C}_1$}
\uput[d](0.8,0.27){$\mathscr{C}_3$}
\uput[u](1.6,1.6){$\Delta$}
\uput[u](1,0.37){$S_2$}
\uput[u](0.71,0.43){$S_1$}
\uput[u](1.22,0.41){$S_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsection{}%\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie mars 2016}


Dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$ de l'espace, on 
considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation
\[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\]

\begin{enumerate}
\item% Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A(1~;~1~;~1) appartient-il au plan $P_m$ ?
Le point A(1~;~1~;~1) appartient au plan $P_m$ si et seulement si
$\dfrac{1}{4} m^2x_{\text A} + (m - 1)y_{\text A} + \dfrac{1}{2} mz_{\text A} - 3 = 0
\iff
\dfrac{1}{4} m^2 + (m - 1) + \dfrac{1}{2} m - 3 = 0$\\

$\iff
\dfrac{1}{4}m^2 + \dfrac{3}{2}m - 4=0
\iff
m^2+6m-16=0 $

$\Delta = 36+64=100$ donc cette équation admet 2 solutions 
$m'=\dfrac{-6+10}{2}=2$ et $m''=\dfrac{-6-10}{2}=-8$.

Le point A appartient au plan $P_m$ pour $\boxed{\textcolor{red}{m=-8\text{ ou }m=2}}$.


\item% Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique

%\[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r}
%x &=& 12 - 2t\\
%y &=& 9 - 2t\\ 
%z &=&t
%\end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \R\]

Le plan $P_1$ a pour équation $\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}z-3=0$ ou encore $x+2z-12=0$ en multipliant tout par 4.

Le plan $P_{-4}$ a pour équation $4x-5y-2z-3=0$.

On cherche l'intersection de ces deux plans:

$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x+2z-12 & 0\\
4x-5y-2z-3 & 0
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 12-2z\\
-5y & -4(12-2z)+2z+3
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 12-2z\\
-5y & -48+8z+2z+3
\end{array}
\right.\\
\phantom{\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x+2z-12 & 0\\
4x-5y-2z-3 & 0
\end{array}
\right. }
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} r}
x & 12-2z\\
-5y & -45+10z
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} r}
x & 12-2z\\
y & 9 -2z
\end{array}
\right.
$

En posant $z=t$, on peut dire que les plans $P_{1}$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique
\[\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x &  12 - 2t\\
y &  9 - 2t\\ 
z & t
\end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \mathbb{R}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les coordonnées.
Le plan $P_0$ a pour équation $- y - 3 = 0$.

Pour déterminer l'intersection du plan $P_0$ et de la droite $(d)$, on résout le système :

$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} r}
x & 12-2t\\
y & 9 -2t\\
z & t\\
-y-3 & \multicolumn{1}{l}{0}
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 12-2t\\
-3 & 9 -2t\\
z & t\\
y & -3 
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 12-2t\\
t & 6\\
z & t\\
y & -3 
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 0\\
y & -3\\
z & 6\\
t & 6 
\end{array}
\right.$

L'intersection du plan $P_0$ et de la droite $(d)$ est donc le point $\boxed{\textcolor{red}{B(0\,;\,-3\,;\,6)}}$.

		\item% Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$.
Le plan $P_m$ a pour équation $\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0$.

On regarde si les coordonnées du point B vérifient l'équation du plan $P_m$:

$\dfrac{1}{4} m^2x_{\text B} + (m - 1)y_{\text B} + \dfrac{1}{2} mz_{\text B} - 3
= 0+(m-1)(-3)+\dfrac{1}{2}m\times 6 - 3
= -3m+3+3m-3=0$

Donc le point B \textbf{\textcolor{red}{appartient au plan $P_m$}}, quelle que soit la valeur du réel $m$.

		\item% Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
Soit H\,$(a\,;\,b\,;\,c)$ un point qui appartient au plan $P_m$ pour tout réel $m$.

Cela signifie que les coordonnées du point H vérifient l'équation du plan pour tout réel $m$:

$\dfrac{1}{4} m^2 a + (m - 1) b + \dfrac{1}{2} m c - 3 = 0$

\begin{list}{\textbullet}{On donne à $m$ des valeurs particulières:}

\item Pour $m = 0$, on obtient $- b - 3 = 0$ donc $b = - 3$.

\item Pour $m = 2$, on obtient $a + (2 - 1)(- 3) + c - 3 = 0$, soit $a + c = 6$.

\item Pour $m = - 2$, on obtient $a + (-2 - 1)(- 3) - c - 3 = 0$, soit $a - c = - 6$.

\end{list}

On résout le système 
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
a + c & 6\\
a -c & - 6
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
2a & 0\\
a+c & 6
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
a & 0\\
c & 6
\end{array}
\right. $

Le point H a donc pour coordonnées $(0\,;\,-3\,;\,6)$ donc c'est le point B.

Le point B est l'unique point appartenant à tous les plans $P_m$ quelle que soit la valeur de $m$.

\bigskip

\emph{\textbf{Autre méthode géométrique :}}

L'existence du point a été montrée en 3. b. Nous allons montrer son unicité. 

On sait (question 2) que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$. 

On sait (question 3. a.) que $P_0$ et $(d)$ sont sécants en B. 

Le point B est donc l'unique point appartenant à $P_0,\: P_1$ et $P_{-4}$. 

Si un point appartient à $P_m$ quel que soit $m$ réel, alors il appartient en particulier à $P_0, P_1$ et $P_{-4}$. C'est donc l'unique point B. 
	\end{enumerate}

\item  Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que

\hfill $- 10 \leqslant  m \leqslant 10$ et $- 10 \leqslant m' \leqslant 10$\hfill{}

On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.

	\begin{enumerate}

		\item% Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.

Le plan $P_1$ a pour équation $x+ 2z-12=0$ donc pour vecteur normal $\overrightarrow n_1\;\left (1\,;\, 0 \,;\, 2\right )$.

Le plan $P_{-4}$ a pour équation $4x-5y-2z-3=0$ donc pour vecteur normal $\overrightarrow n_{-4}\;\left (4\,;\, -5 \,;\, -2\right )$.

$\overrightarrow n_1 . \overrightarrow n_{-4}=1\times 4 + 0 + 2\times (-2) = 0$ donc les vecteurs sont orthogonaux.

Les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont donc perpendiculaires.

		\item% Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si
Le plan $P_m$ a pour équation $\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0$ donc pour vecteur normal \\$\overrightarrow n\;\left (\dfrac{1}{4}m^2\,;\, m-1 \,;\, \dfrac{1}{2}m\right )$.

Le plan $P_{m'}$ a pour équation $\dfrac{1}{4} m'^2x + (m' - 1)y + \dfrac{1}{2} m'z - 3 = 0$ donc pour vecteur normal $\overrightarrow n'\;\left (\dfrac{1}{4}m'^2\,;\, m'-1 \,;\, \dfrac{1}{2}m' \right )$.

les deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux:

$P_m \perp P_{m'}
\iff
\overrightarrow n \perp \overrightarrow n'
\iff 
\overrightarrow n . \overrightarrow n' = 0
\iff
\dfrac{1}{4}m \times \dfrac{1}{4}m' + (m-1)(m'-1)+ \dfrac{1}{2}m \times \dfrac{1}{2}m'=0\\
\phantom{P_m \perp P_{m'}}
\iff
\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2  + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0$
		
		\item On donne l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline		
\emph{Variables :}	&$m$ et $m'$ entiers relatifs\\
\emph{Traitement :}	&Pour $m$ allant de $- 10$ à 10 :\\
					&\hspace{0,5cm}Pour $m'$ allant de $-10$ à 10 :\\
					&\hspace{1cm}Si $\left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0$\\
					&\hspace{1,5cm}Alors Afficher $\left(m~;~m'\right)$\\
					&\hspace{0,5cm}Fin du Pour\\
					&Fin du Pour\\ \hline
\end{tabularx}		
		\end{center}
		
\medskip		
		
%Quel est le rôle de cet algorithme?
Cet algorithme affiche tous les couples $(m\,;\,m')$ d'entiers compris entre $-10$ et 10 pour lesquels $\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2  + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0$, c'est-à-dire pour lesquels les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.

		\item Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1)$, $(0~;~1)$ et $(5~;~- 4)$.	
%Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.

Le nombres $m$ et $m'$ jouant le même rôle, les autres couples seront $(1~;~-4)$, $(1~;~0)$ et $(-4~;~5)$.

Les six couples seront affichés dans cet ordre:

\hfill$(- 4~;~1)$; $(-4~;~5)$; $(0~;~1)$; $(1~;~-4)$; $(1~;~0)$; $(5~;~- 4)$\hfill{}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{}%\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2010}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à \boldmath$\numprint{0,0001}$\unboldmath~ près.}

\medskip
 
Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.
 
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 1\:\% est porteur de la maladie. 

On obtient les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85\:\% des cas ; 
\item[$\bullet~$] si un animal est sain, le test est négatif dans 95\:\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d'utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.
 
On note :

\setlength\parindent{15mm}
\begin{description}
\item[ ] M l'évènement : \og l'animal est porteur de la maladie \fg{} ;
\item[ ] T l'évènement : \og le test est positif \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{M}\taput{0,01}}
	  { 
		  \TR{T}\taput{0,85}
		  \TR{$\overline{\text{T}}$}\tbput{0,15}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{\text{M}}$}\tbput{0,99}}
	  {
		  \TR{T}\taput{0,05}
		  \TR{$\overline{\text{T}}$}\tbput{0,95}	  
	  }	
}
\end{center}

\medskip
 
\item %Un animal est choisi au hasard. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité qu'il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?
On suit la première branche : la probabilité est égale à

$p(M\cap T)=p(\text{M}) \times p_{\text{M}}(\text{T}) = 0,01 \times 0,85 =\boxed{\textcolor{red}{ \numprint{0,0085}}}$. 
		\item  %Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est $0,058$.
La probabilité qu'il soit non porteur de la maladie et que son test soit positif (troisième branche) est égale à $0,99 \times 0,05 = \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0495}}}$.

On a donc $p(\text{T}) = p(\text{M}) \times p_{\text{M}}(\text{T}) + p\left(\overline{\text{M}}\right) \times p_{\overline{\text{M}}}(\text{T}) = \numprint{0,0085} + \numprint{0,0495} =\boxed{\textcolor{red}{ 0,058}}$.
 	\end{enumerate} 
\item %Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu'il soit porteur de la maladie ?
Il faut calculer $p_{\text{T}}(\text{M}) = \dfrac{p(\text{M} \cap \text{T})}{p(\text{T})} = \dfrac{\numprint{0,0085}}{0,058} \approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,1466}}}$. 
\item %On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d'animaux ayant un test positif. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
On a ici un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 5$ et $p = \numprint{0,058}
$.

\fbox{\textcolor{red}{X suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(5~;~0,058)$}}.

La probabilité que $k$ animaux aient un test positif est égale à :

\[\boxed{\textcolor{red}{p(X=k)=\binom{5}{k} \times  \numprint{0,058}^k \times (1 - \numprint{0,058})^{5 - k}}}.\]

%On obtient le tableau de la loi de probabilité de X suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%X $= x_{i}$&0&1&2&3&4&5\\ \hline
%$p\left(\text{X} = x_{i}\right)$&\numprint{0,7417}&\numprint{0,2284}&\numprint{0,0281}&\numprint{0,0017}&\numprint{0,0001}&0\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip

		\item %Quelle est la probabilité pour qu'au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
$p(X\geqslant 1)=1-p(X=0)=1-(1-0,058)^5=1-0,942^5\approx 0,25823$.

La probabilité pour qu'au moins un des cinq animaux ait un test positif est donc : $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,2583}}}$.
	\end{enumerate} 
\item~ %Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100~euros et le coût de l'abattage d'un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de \numprint{1000}~euros. On suppose que le test est gratuit.
 
%D'après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Coût& $0$& 100 &\numprint{1000}\\ \hline 
Probabilité &\numprint{0,9405} &\numprint{0,0580} &\numprint{0,0015}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager.
		On a d'après les données du tableau :
		
E $ = 0 \times \numprint{0,9405} + 100 \times \numprint{0,0580} + \numprint{1000} \times \numprint{0,0015} = 5,80 + 1,50 = \boxed{\textcolor{red}{7,30~\text{\euro}}}$.

Ceci représente le coût moyen par animal 
		\item %Un éleveur possède un troupeau de 200~bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d'engager ?
		Pour 200~bêtes, le coût sera en moyenne de :
		
\[200 \times 7,30 =\boxed{\textcolor{red}{ \numprint{1460}~\text{\euro}}}.\] 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

%\newpage


\subsection*{\textcolor{blue}{IV (spécialité)}}% Antilles-Guyane septembre 2016

\textbf{Réservé aux candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%Parmi les ordinateurs d'un parc informatique, 60\,\% présentent des failles de sécurité. Afin
%de pallier ce problème, on demande à un technicien d'intervenir chaque jour pour traiter
%les défaillances.
%
%On estime que chaque jour, il remet en état 7\,\% des ordinateurs défaillants, tandis que de
%nouvelles failles apparaissent chez 3\,\% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le
%nombre d'ordinateurs est constant sur la période étudiée.
%
%\medskip
%
%Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'ordinateurs sains de ce parc
%informatique au bout de $n$ jours d'intervention, et $b_n$ la proportion d'ordinateurs
%défaillants au bout de $n$ jours.
%
%Ainsi $a_0 = 0,4$ et $b_0 = 0,6$.
%
%\medskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.
%\item Déterminer $a_1$ et $b_1$.
%\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
%\item Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}$. On pose $X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que pour tout entier naturel $n, \:X_{n+1} = AX_n$.
%		\item Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n,\: X_n = A^n X_0$.
%		\item Calculer, à l'aide de la calculatrice, $X_{30}$. En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%\medskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item On pose $D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} + b_{n+1} = 1$.
%		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\:
%		
%\[X_{n+1} = DX_n + B.\]
%		
%	\end{enumerate}
%\item On pose, pour tout entier naturel $n$,\: $Y_n = X_n - 10B$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $Y_{n+1} = DY_n$.
%		\item On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $Y_n = D^nY_0$.
%		
%En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B$.
%		\item Donner l'expression de $D^n$ puis en déduire $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $n$.
% 	\end{enumerate}
%\item Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le
%long terme ?
%\end{enumerate}
\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

\begin{enumerate}

\item On décrit la situation précédente à l'aide d'un graphe en appelant A l'état \og être sain\fg{} et B l'état \og être défaillant\fg:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{A}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{B}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{0,03}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{0,07}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{0,97}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{0,93}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\red \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}%   définition des sommets
\ncarc[linecolor=red]{->}{G}{D} \Aput{\red\valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[linecolor=red,angleA=90]{->}{G}{4mm}   
   \Bput{\red \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}

\item% Déterminer $a_1$ et $b_1$.
$a_1=0,97a_0+0,07b_0 = 0,97 \times 0,4+0,07 \times 0,6 = 0,43$

$b_1 = 0,03a_0+0,93b_0 = 0,03\times 0,4 + 0,93 \times 0,6 = 0,57$

\item% Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
D'après le texte, on peut dire que
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,97\,a_n + 0,07\,b_n\\
b_{n+1} & 0,03\,a_n + 0,93\,b_n
\end{array}
\right .$

\item Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}$. On pose $X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier que pour tout entier naturel $n, \:X_{n+1} = AX_n$.
La traduction matricielle du système précédent, est :

$\begin{pmatrix}
a_{n+1} \\ b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,97 & 0,07 \\ 0,03 & 0,93
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{n} \\ b_{n}
\end{pmatrix}$

ou encore $X_{n+1}= A X_n$.


		\item% Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n,\: X_n = A^n X_0$.
Soit $\mathscr P_n$ la propriété $X_n = A^n X_0$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=0$, $A^n=A^0 = I_2$ la matrice identité d'ordre 2.

$A^0\times X_0= I_2 \times X_0=X_0$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.


\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie à un rang $p\geqslant 0$; on va démontrer qu'elle est vraie au rang $p+1$.

On a comme hypothèse que $X_p = A^p X_0$. 

$X_{p+1}=A \times X_p = A\times \left ( A^p X_0\right )
= \left (A\times A^p\right )\times X_0 = A^{p+1}X_0$

Donc la propriété est démontrée pour le rang $p+1$.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n$.
\end{list}

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n} = A^nX_0$.

		\item% Calculer, à l'aide de la calculatrice, $X_{30}$. En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).
$X_{30}=A^{30}X_0 \approx
\begin{pmatrix}
0,687 \\ 0,313
\end{pmatrix}$

Au bout de 30 jours, il y a $68,7\,\%$ d'appareils sains, et $31,3\,\%$ d'appareils défectueux.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

\begin{enumerate}

\item On pose $D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}$.

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} + b_{n+1} = 1$.
Au bout de $n+1$ jours, un appareil est soit sain soit défectueux; la proportion d'appareils sains est $a_{n+1}$ et la proportion d'appareil défectueux est $b_{n+1}$ donc $a_{n+1} + b_{n+1}=1$.

		\item% Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\:
%		
%\[X_{n+1} = DX_n + B.\]
On a vu que

$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,97\,a_n + 0,07\,b_n\\
b_{n+1} & 0,03\,a_n + 0,93\,b_n
\end{array}
\right .$;

or, pour tout $n$, $a_n+b_n=1$,
donc
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,97\,a_n + 0,07\,(1-a_n)\\
b_{n+1} & 0,03\,(1-b_n) + 0,93\,b_n
\end{array}
\right .$

ce qui équivaut à
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,9\,a_n + 0,07\\
b_{n+1} & 0,9\,b_n + 0,03 
\end{array}
\right .$

$DX_n+B = 
\begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
a_n \\ b_n
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}0,9 a_n\\ 0,9 b_n \end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,9a_n + 0,07\\ 0,9b_n + 0,03\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix}
=
X_{n+1}$

		
	\end{enumerate}

\item On pose, pour tout entier naturel $n$,\: $Y_n = X_n - 10B$, donc $X_n=Y_n+10B$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $Y_{n+1} = DY_n$.
$Y_{n+1}= X_{n+1} -10B = DX_n+B-10B = D\left (Y_n+10B\right )-9B
= DY_n + 10DB - 9B$

$10D =  
\begin{pmatrix}
9 & 0 \\ 0 & 9 
\end{pmatrix}
= 9 I_2$
donc
$10DB - 9B = 9I_2B-9B = 9B-9B=0$

Donc $Y_{n+1} = DY_n$.

		\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $Y_n = D^nY_0$.
		
%En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B$.

Donc $X_n=Y_n+10B = D^nY_0 + 10B = D^n\left ( X_0-10B \right ) +10B$.

		\item% Donner l'expression de $D^n$ puis en déduire $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $n$.
$D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ donc
$D=0,9I_2$ ;
 
on a donc $D^n= 0,9^n I_2^n = 0,9^n I_2 =
\begin{pmatrix}0,9^n&0\\0 &0,9^n\end{pmatrix}$

$X_0=\begin{pmatrix} 0,4\\0,6 \end{pmatrix}$
et
$B= \begin{pmatrix} 0,07\\0,03 \end{pmatrix}$
donc
$10B= \begin{pmatrix} 0,7\\0,3 \end{pmatrix}$

$X_n= D^n\left ( X_0-10B \right ) +10B
\iff
X_n= 
\begin{pmatrix}0,9^n&0\\0 &0,9^n\end{pmatrix} \times
\left [ 
\begin{pmatrix} 0,4\\0,6 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 0,7\\0,3 \end{pmatrix}
\right ] 
+
\begin{pmatrix} 0,7\\0,3 \end{pmatrix}\\
\phantom{X_n= D^n\left ( X_0-10B \right ) +10B}
\iff
X_n= 
\begin{pmatrix}0,9^n&0\\0 &0,9^n\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} -0,3\\0,3 \end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} 0,7\\0,3 \end{pmatrix}$

$\phantom{X_n= D^n\left ( X_0-10B \right ) +10B}\iff
X_n= 
\begin{pmatrix}-0,3\times 0,9^n \\ 0,3\times 0,9^n\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} 0,7\\0,3 \end{pmatrix}\\
\phantom{X_n= D^n\left ( X_0-10B \right ) +10B}
\iff
X_n= 
\begin{pmatrix}-0,3\times 0,9^n +0,7 \\ 0,3\times 0,9^n + 0,3\end{pmatrix}
$

$\phantom{X_n= D^n\left ( X_0-10B \right ) +10B}\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n} & -0,3\times 0,9^n +0,7\\
b_{n} & 0,3\times 0,9^n + 0,3
\end{array}
\right .
$

 	\end{enumerate}

\item% Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le long terme ?
La proportion d'ordinateurs défaillants est $b_n$ et on cherche
$\lim_{n \to +\infty}b_n$.

Or $-1<0,9<1$ donc  $\lim_{n \to +\infty} 0,9^n = 0$ et on en déduit que $\lim_{n \to +\infty}b_n = 0,3$.

Sur le long terme, on peut dire que la proportion d'ordinateurs défaillants va tendre vers 30\,\%.
\end{enumerate}






\label{fin}
\end{document}