\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 17.5cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Devoir sur table \no 2 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
03 décembre 2016}

\begin{document}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : contrôle commun \no 2 (4 heures)}}\end{center}
\hfill\\

\noindent\emph{Les exercices I, III et IV sont communs à tout le monde, l'exercice II est à choisir selon que l'élève suit ou non l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1\hfill (5points)}}%Asie juin 2003
%L'espace E est rapporté au repère orthonormal \Oijk.
%
%Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :
%
%\[\text{A}(3~;~- 2~;~2) \quad ; \quad\text{B}(6~;~1~;~5) \quad;\quad
% \text{C}(6~;~- 2~;~-1).\]
 
\vspace{0,4cm}

\psset{unit=1cm}\begin{center} \begin{pspicture}(8,5)
\pspolygon(1,3.8)(2.8,4.8)(7.6,1.5)(0,0)%ABDC
\psline(0,0)(2.8,4.8)%BC
\psline(3.9,0)(3.9,5)%axe des $z$
\psline(5.5,4.85)(1.4,0)%axe des $x$
\psline(0,3.6)(8,2.35)%axe des $y$
\psline{->}(3.9,3)(3.6,2.6) 
\psline{->}(3.9,3)(4.5,2.9) 
\psline{->}(3.9,3)(3.9,3.6)
\uput[l](1,3.8){A} \uput[u](2.8,4.8){B} 
\uput[d](7.6,1.5){D}  \uput[d](0,0){C} 
\uput[ul](3.9,3){O}  \uput[ul](3.6,2.6){$\overrightarrow{\imath}$} 
\uput[dl](4.5,2.9){$\overrightarrow{\jmath}$}  \uput[l](3.9,3.6){$\overrightarrow{k}$} 
\end{pspicture} \end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. 
On a $\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}3\\3\\3&\\\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}3\\0\\- 3&\\\end{pmatrix}$. 

Le repère étant orthonormal on peut calculer  $\overrightarrow{\text{AB}} \cdot  \overrightarrow{\text{AC}} = 9 + 0 - 9 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux, les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, le triangle ABC est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en A.\marginpar{(1 pt)}
\item %Soit P le plan d'équation cartésienne $x + y + z - 3 = 0$. 

%Montrer que P est orthogonal à  la droite (AB) et passe par le point A. 
Le plan (P) a un vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\1\\1&\\\end{pmatrix}$ ; donc $\overrightarrow{n} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}}$ ; les vecteurs sont colinéaires donc la droite (AB) est \textbf{\textcolor{red}{orthogonale}} au plan (P).

Or A$(3~;~- 2~;~2) \in (\text{P}) \iff 3 - 2 + 2 - 3 = 0$ ; cette égalité est vraie, donc (P) est orthogonal à  la droite (AB) et contient le point A.\marginpar{(0,5 pt)}
\item %Soit P$'$ le plan orthogonal Âˆ la droite (AC) et passant par le point A. 

%Déterminer une équation cartésienne de P$'$. 

$\overrightarrow{\text{AC}}$ est un vecteur normal au plan P$'$, donc une équation de ce plan est de la forme $3x - 3z + d = 0$.

Or A $\in \left(\text{P}'\right) \iff 3 \times 3 - 3 \times 2 + d = 0 \iff d = - 3$.

Donc $M(x~;~y) \in \left(\text{P}'\right) \iff 3x   - 3z - 3 = 0 \iff \boxed{\textcolor{red}{x - z - 1 = 0}}$. \marginpar{(0,5 pt)}

\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, droite d'intersection des plans P et P$'$.

$M(x~;~y~;~z) \in \text{P} \cap \text{P}' \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x + y + z - 3 &=& 0\\
x - z - 1 &=& 0
\end{array}\right.$

En posant $z = t$ réel quelconque on obtient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y + z - 3 &=& 0\\
x - z - 1 &=& 0\\
z&=&t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x + y + t - 3 &=& 0\\
x - t - 1 &=& 0\\
z&=&t
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y + t - 3 &=& 0\\
x &=& t + 1\\
z&=&t
\end{array}\right. \iff  
\left\{\begin{array}{l c l}
t + 1+ y + t - 3 &=& 0\\
x &=& t + 1\\
z&=&t
\end{array}\right.  \iff$

$ \boxed{\textcolor{red}{\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& \phantom{-}t + 1\\
y&=&- 2t + 2\\
z&=&\phantom{-}t
\end{array}\right. \iff M(x~;~y~;~z) \in \text{P} \cap \text{P}'}}$
\end{enumerate}\marginpar{(1 pt)}

\medskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Soit D le point de coordonnées $(0~;~4~;~- 1)$.
On a $\overrightarrow{\text{AD}}\begin{pmatrix}- 3\\6\\- 3&\\\end{pmatrix}$

On a $\overrightarrow{\text{AD}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = - 9 + 18 - 9 = 0$ : les vecteurs sont \textbf{\textcolor{red}{orthogonaux}}.

De même $\overrightarrow{\text{AD}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = - 9 + 0 - 9 = 0$ : les vecteurs sont \textbf{\textcolor{red}{orthogonaux}}.

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : le vecteur $\overrightarrow{\text{AD}}$ est orthogonal à  deux vecteurs non colinéaires du plan ABC, donc la droite (AD) est \textbf{\textcolor{red}{orthogonale}} à  ce plan.\marginpar{(1 pt)}

% Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC). 
\item %Calculer le volume du tétraèèdre ABDC.
En prenant ABC pour base et D comme sommet, [AD] est hauteur de ce tétraèdre. Le volume $V$ du tétraèdre est donc égal à  $\dfrac{\text{aire(ABC)} \times \text{AD}}{3} = \dfrac{\frac{1}{2}\times \text{AB} \times \text{AC}\times \text{AD}}{3}$.

Or AB$^{2} = 3^{2} + 3^{2} +3^{2}  = 3 \times 9$, donc AB $ = 3\sqrt{3}$ ;

AC$^{2} = 3^{2} +3^{2} = 2 \times 9$, donc AC $= 3\sqrt{2}$ 

AD$^{2} = 9 + 36 + 9 = 3\sqrt{6}$.

$V = \dfrac{\frac{1}{2}\times 3\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} \times 3\sqrt{6}}{3} = \dfrac{27 \times 3}{3} = 27$. $\boxed{\textcolor{red}{V=27}}$\marginpar{(0,5 pt)}

\item %Montrer que l'angle géométrique BDC a pour mesure $\dfrac{\pi}{4}$ radian.
$\overrightarrow{\text{DB}}\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{\text{DC}}\begin{pmatrix}6\\-6\\0\end{pmatrix}$.

On en déduit : $\text{DB}=\sqrt{81}=9$ ; $\text{DC}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.

Or $\overrightarrow{\text{DB}}\cdot\overrightarrow{\text{DC}}=DB\times DC\times \cos\widehat{BDC}$ donc $\cos\widehat{BDC}=\dfrac{\overrightarrow{\text{DB}}\cdot\overrightarrow{\text{DC}}}{DB\times DC}=\dfrac{54}{54\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\widehat{BDC}=\dfrac{\pi}{4}}}$.

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : l'angle $\widehat{\text{BDC}}$ a pour mesure $\dfrac{\pi}{4}$ radian.\marginpar{(0,5 pt)}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer l'aire du triangle BDC.
L'aire du triangle BDC est égale à  $\dfrac{1}{2}\times \text{DB} \times \text{DC} \times \sin \widehat{\text{BDC}} = \dfrac{1}{2}\times 6 \sqrt{2} \times 9 \times \frac{\sqrt{2}}{2} =  27$. (unités d'aire)\marginpar{(0,5 pt)}

		\item %En déduire la distance du point A au plan (BDC).
On considère maintenant le tétraèdre ABDC de base (BDC) et dont la hauteur de mesure $h$ est issue de A.
		
On a $V = \dfrac{1}{3}\times \text{aire(BDC)}\times h \iff 27 = \dfrac{1}{3} \times 27 \times h \iff \boxed{\textcolor{red}{h = 3}}$.\marginpar{(0,5 pt)}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice II \hfill (5points)}}%Asie juin 2004 (5 points)
\noindent\emph{(pour les élèves \textbf{ne suivant pas} l'enseignement de spécialité)}

\bigskip

\noindent L'espace $\mathcal{E}$ est rapporté au repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.


\noindent On appelle :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x - y + 5 = 0$,


\item $\mathcal{Q}$ le plan d'équation $3x + y - z = 0$,

\item $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est \[\begin{cases}x=1-t\\y=2+3t\\z=-4\end{cases},~t\in\mathbb{R}\]
\end{enumerate}

\begin{enumerate} 

\item %Démontrer que $\Delta$ est parallèle au plan $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
$\overrightarrow{\text{u}}\begin{pmatrix}-1\\3\\0&\\\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\mathscr{D}$.

Le vecteur $\overrightarrow{k}\begin{pmatrix}0\\0\\1&\\\end{pmatrix}$ est normal au plan $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{k}=0$ donc $\mathscr{D}$ est \textbf{\textcolor{red}{parallèle}} au plan $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.\marginpar{(1 pt)}

\item $\left(\begin{array}{c}
2\\ -1\\0\end{array} \right)$ et $\left(\begin{array}{c}
3\\ 1\\-1\end{array} \right)$ sont des vecteurs normaux respectivement à $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les plans ne sont pas parallèles et sont donc sécants suivant une droite $\mathcal{D}$.

Tout point commun à $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ a des coordonnées $(x~;~y~;~z)$ qui vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
2x - y&=&-5\\
3x + y - z&=&0\\
\end{array}\right.$

En posant $x = \alpha$, le système devient : $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\alpha\\
2x - y&=&-5\\
3x + y - z&=&0\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\alpha\\
y&=&2\alpha +5\\
z&=& 5\alpha + 5\\
\end{array}\right.$\marginpar{(1 pt)}

\item 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] \textbf{Affirmation 1} :$\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{R}$ si un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est orthogonal à un vecteur normal à $\mathcal{R}$ c'est-à-dire si $\left(\begin{array}{c}
1\\ 2\\5\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}
-5\\ 5\\-1\end{array} \right) = 0 \iff - 5 + 10 - 5 = 0$ qui est bien vrai.
 \item[$\bullet~$] Deux droites sont coplanaires si elles ont un point commun ou si elles sont parallèles.
 
 $\mathcal{D}$ est donc parallèle au plan $\mathcal{R}$. \marginpar{(1 pt)}

$\star$ \textbf{Affirmation 2} : Si elles sont sécantes  c'est-à-dire si $\left\{\begin{array}{l c l}
\alpha&=&- 3 \beta\\
2\alpha + 5&=&1 + \beta\\
5\alpha + 5&=&2  + 2\beta\\
\end{array}\right. \iff $

$ \left\{\begin{array}{l c l}
\alpha&=&- 3 \beta\\
- 6\beta + 5&=&1 + \beta\\
- 15\beta + 5&=&2  + 2\beta\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\alpha&=&- 3 \beta\\
\beta&=&\dfrac{4}{7}\\
\beta &=&\dfrac{5}{17}\\
\end{array}\right.$

Ce système n'a pas de solution.

\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : les deux droites ne sont pas sécantes.

$\star$ Si elles sont parallèles  leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

$\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix})$ et $\mathcal{D}'$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}$.

Ces vecteurs ne sont manifestement pas colinéaires. Donc les droites ne sont pas parallèles.

Conclusion : $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas coplanaires.\marginpar{(2 pt)}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice III\hfill (5 points)}}%Antilles-Guyane S-septembre 2005
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On effectue une démonstration par récurrence :\\
\emph{Initialisation} : on a $u_{0} = 1,~u_{1} = - \dfrac{1}{2},~u_{2} = - \dfrac{1}{4}$ et $u_{3} =  \dfrac{7}{8} \geqslant 0$.

La relation est vraie au rang $3$.
 
\emph{Hérédité} soit un naturel $n$,\: $n \geqslant 3$, et supposons que   $u_{n} \geqslant 0$, alors $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + n - 1$. Or $n \geqslant 3 \iff n - 1 \geqslant 2$, donc $u_{n+1} \geqslant 2 > 0$. L'hérédité est démontrée.

La relation est vraie au rang $3$, et si elle est vraie à un rang au moins égal à 3 elle est vraie au rang suivant ; on a donc démontré par récurrence que pour $n \geqslant 3,\:u_{n} \geqslant 0$.\marginpar{(1 pt)}

\item $n  \geqslant 4 \iff n - 1  \geqslant  3$ ; d'après a, $u_{n-1}  \geqslant  0 \iff \dfrac{1}{2} u_{n-1}  \geqslant  0 \Rightarrow $\marginpar{(1 pt)}

$ \dfrac{1}{2} u_{n-1}  + n - 2  \geqslant  n - 2  \iff  \dfrac{1}{2} u_{n-1}  + (n - 1) - 1  \geqslant  n - 2  \iff u_{n} \geqslant n - 2$.
\item Par comparaison, comme $\displaystyle\lim_{n  \to + \infty} n = + \infty,~\displaystyle\lim_{n  \to + \infty} u_{n} =  + \infty$.\marginpar{(0,5 pt)}
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $v_{n} = 4u_{n} - 8n + 24 \Rightarrow v_{n+1} = 4u_{n+1} - 8(n+1) + 24 =$
		
$4\left(\dfrac{1}{2} u_{n}  + n  - 1\right) - 8(n + 1) + 24 =
 2u_{n}  + 4n - 4 - 8n - 8 + 24 = 2u_{n} - 4n + 12 =
 \dfrac{1}{2}\left(4u_{n} - 8n + 24\right) = \dfrac{1}{2}v_{n}$.
 
On a donc démontré que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}.$ La raison étant inférieure à $1$, cette suite est décroissante. De plus

$v_{0} = 4u_{0}+ 24 = 28$.\marginpar{(0,5 pt)}

		\item  On a immédiatement $v_{n} = v_{0}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 28 \times  \left(\dfrac{1}{2}\right)^n  =
 4u_{n} - 8n + 24 \iff 4u_{n} =
  28 \times  \left(\dfrac{1}{2}\right)^n  + 8n - 24 \iff u_{n} =
   7 \times  \left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 2n - 6$.
		\item On a donc $u_{n} =  \underbrace{7 \times  \left(\dfrac{1}{2}\right)^n}_{\footnotesize  \text{suite géométrique}}  + \underbrace{2n - 6}_{\footnotesize \text{suite arithmétique}} = x_{n} + y_{n}$ où $\left(x_{n}\right)$ est la suite $\left(v_{n}\right)$ au facteur $4$ près  et la suite $\left(y_{n}\right)$ est définie par $y_{n} =  2n - 6$, suite arithmétique de raison $2$ et de premier terme $- 6$.\marginpar{(0,5 pt)}
		
		\item  On en déduit que $\displaystyle\sum_{k = 0}^n u_{k} = \displaystyle\sum_{k = 0}^n \left(x_{k} + y_{k}\right) = \displaystyle\sum_{k = 0}^n x_{k} + \displaystyle\sum_{k = 0}^n y_{k}$.

Or $\displaystyle\sum_{k = 0}^n x_{k} = \dfrac{7 - 7\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} = 14\left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right] = 14 - 7 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.

D'autre part $\displaystyle\sum_{k = 0}^n y_{k} = \dfrac{(n + 1)(- 6 + 2n - 6)}{2} = (n+1)(n - 6).$

Finalement \fbox{$S_{n} = n^2 - 5n + 8 - 7\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.}\marginpar{(1 pt)}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV\hfill (5 points)}}%France septembre 2001
\noindent On dispose de deux urnes $a$ et $b$ contenant des boules blanches ou rouges 
indiscernables au toucher. L'épreuve consiste à choisir une urne parmi 
les urnes $a$ et $b$ proposées (le choix de l'urne est effectué au 
hasard, les deux choix étant équiprobables) puis à effectuer le 
tirage d'une boule dans l'urne choisie. 

\noindent On note A l'événement \og l'urne $a$ est choisie \fg{} , B 
l'événement \og l'urne $b$ est choisie \fg{} et R l'événement \og 
une boule rouge est obtenue au tirage \fg{}. 

\noindent On note $p_{\text{A}}\left(\text{R}\right)$ la probabilité 
conditionnelle de l'événement R par rapport à l'événement A. 

\begin{enumerate} \item Dans cette question, l'urne $a$ contient une boule rouge 
et quatre boules blanches, l'urne $b$ contient quatre boules rouges et deux 
boules blanches. 

\begin{enumerate}
 \item %Déterminer les probabilités suivantes : 
%$p\left(\text{A}\right)$,~ 
%$p_{\text{A}}(\text{R})$,~ $p(\text{A} \cap \text{R})$. 
$\boxed{\textcolor{red}{p(A)=\dfrac{1}{2}}}$ (puisque le choix de l'urne se fait au hasard).

$\boxed{\textcolor{red}{p_A(R)=\dfrac{1}{5}}}$ et $p(A\cap R)=p_A(R)\times p(A)=\dfrac{1}{5}\times \dfrac{1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{10}}}$\marginpar{(0,75 pt)}

\item %Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
Représentons la situation à l'aide d'un arbre pondéré :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\small $\dfrac12$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\small $\dfrac15$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\small $\dfrac45$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\tbput{\small $\dfrac12$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\small $\dfrac23$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\small $\dfrac13$}
}
}\marginpar{(0,25 pt)}


\end{center}
\item %Montrer que \[p(R) = \dfrac{13}{30}\] 
$p(R)=p_A(R)\times p(A)+p_B(R)\times p(B)$ (formule des probabilités totales)\\
$=\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3+10}{30}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{13}{30}}}$\marginpar{(0,5 pt)}

\item %Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité  que l'urne choisie soit l'urne $a$ ? 
$p_R(A)=\dfrac{p(A\cap R)}{p(R)}=\dfrac{\frac1{10}}{\frac{13}{30}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{13}}}$\marginpar{(1 pt)}

\end{enumerate} 

\item Dans cette question, on suppose que l'urne $a$ contient 
quatre boules blanches et l'urne $b$ deux boules blanches. L'urne $a$ contient 
en outre $n$ boules rouges (où $n$ désigne un entier naturel inférieur ou 
égal à $5$), l'urne $b$ en contient $5 - n$. 

On remarque que c'est une généralisation de la situation précédente.

\begin{enumerate}
 \item %Exprimer $p_{\text{A}}\left(\text{R}\right) $ et $p_{\text{B}} \left(\text{R}\right)$ en fonction de $n$. 
 $p(A)(R)=\dfrac{n}{4+n}$ ; $p_B(R)=\dfrac{5-n}{7-n}$.\marginpar{(0,5 pt)}

\item %Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
Représentons la situation à l'aide d'un arbre pondéré :
\bigskip
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=15mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\small $\dfrac12$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\small $\dfrac {n}{4+n}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\small $\dfrac{4}{4+n}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\tbput{\small $\dfrac12$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\small $\dfrac{5-n}{7-n}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\small $\dfrac2{7-n}$}
}
}\marginpar{(0,25 pt)}


\end{center}
\item %Démontrer que \[ p(\text{R} ) = \dfrac{- n^2+ 4n+ 10}{(4 + n) (7 - n)}.\] 
$p(R)=p_A(R)\times p(A)+p_B(R)\times p(B)$ (formule des probabilités totales)\\
$=\dfrac{n}{4+n}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{5-n}{7-n}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{n(7-n)+(5-n)(4+n)}{2(4+n)(7-n)}=\dfrac{-2n^2+8n+20}{2(4+n)(7-n)}=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{- n^2+ 4n+ 10}{(4 + n) (7 - n)}}}$.\marginpar{(1 pt)}

\item On sait que $n$ est un entier inférieur ou égal à $5$. $n$ ne prend donc que six valeurs entières. 
%Déterminer la répartition possible des cinq boules rouges entre les urnes $a$ et $b$  donnant la plus grande valeur possible de $p\left(\text{R} \right) $. 
On renseigne un tableau de valeurs :\\
\begin{center}
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n&0&1&2&3&4&5\\
\hline
 \dfrac{- n^2+ 4n+ 10}{(4 + n) (7 - n)}&0,357&0,433&0,467&0,464&0,417&0,278\\
\hline
\end{array}$

\end{center}
La plus grande valeur possible de $p\left(\text{R} \right) $ a lieu pour $n=2$, donc avec quatre boules blanches et deux boules rouges dans l'urne a et deux boules blanches et trois boules rouges dans l'urne b.\marginpar{(0,75 pt)}
\end{enumerate} 

\end{enumerate} 

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice II \hfill (5 points) }}%Amérique du Nord juin 2013
\noindent\emph{(pour les élèves \textbf{suivant} l'enseignement de spécialité)}

\bigskip

\textbf{Partie A}% \subsection{partie A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :		& 	$a$ est un entier naturel\\
				& $b$ est un entier naturel\\ 
				&$c$ est un entier naturel\\ 
Initialisation :& Affecter à $c$ la valeur $0$\\
				& Demander la valeur de $a$\\
				& Demander la valeur de $b$\\ 
Traitement :	& Tant que $a \geqslant b$\\ 
				&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
				Affecter à $c$ la valeur $c + 1$\\ 
				Affecter à $a$ la valeur $a - b$
								\end{tabular}\\
				&Fin de tant que \\
Sortie : 		&Afficher $c$\\
				&Afficher $a$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 

\begin{enumerate}

\item% Faire fonctionner cet algorithme avec $a =	13$ et $b =	4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. 

En faisant tourner l'algorithme avec $a = 13$ et $b = 4$, on obtient:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\sep{\hspace*{0.5cm}}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}\hline 
Variables 		&\sep $a$\sep 	& \sep $b$ \sep & \sep  $c$ \sep  \\ \hline 
Initialisation 	&  				&  				& 0 \\ \hline 
Entrées 		& 13 			& 4 			& 0 \\ \hline 
Traitement 		& 9 			& 4 			& 1 \\ \cline{2-4} 
 				& 5 			& 4 			& 2 \\ \cline{2-4} 
 				& 1 			& 4 			& 3 \\ \hline 
Sortie 			& \multicolumn{3}{c|}{On affiche la valeur de $c$: 3} \\ \cline{2-4} 
 				& \multicolumn{3}{c|}{On affiche la valeur de $a$: 1} \\ \hline 
\end{tabular}}
\end{center}


\item% Que permet de calculer cet algorithme ?
Dans cet algorithme, on retire le nombre $b$ du nombre $a$ autant de fois que l'on peut et on fait afficher le nombre de fois que l'on a retiré $b$ et ce qui reste dans $a$ ; cet algorithme fournit donc le quotient (dans $c$) et le reste (dans $a$) de la division de $a$ par $b$.

\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}% \subsection{partie B}

\medskip

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B	&C 	&D	&E &F	&G 	&H	&I	&J	& K &L 	&M \\ \hline
0	&1 	&2	&3 	&4 &5 	&6 	&7	&8 	&9 	&10 &11 &12\\ \hline \hline 
N	&O	&P	&Q	&R &S	&T	&U 	&V 	&W 	&X 	&Y	&Z\\ \hline 
13	&14	&15	&16	&17&18 	&19 &20	&21	&22	&23 &24	&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

On définit un procédé de codage de la façon suivante :
 
\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{11.5cm}}
\emph{Étape} 1 :& 	À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.\\ 
\emph{Étape} 2 :& 	On calcule le reste de la division euclidienne de $9m + 5$ par $26$ et on le note $p$.\\
\emph{Étape} 3 :& 	Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.\\
\end{tabular}

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item On va coder la lettre U.
 
\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{11.5cm}}
\emph{Étape} 1 :& La lettre U correspond à $m = 20$.\\ 
\emph{Étape} 2 :& 	$9m+5=9\times 20+5 = 185$; le reste de la division de 185 par 26 est $p=3$.\\
\emph{Étape} 3 :& 	Au nombre $p=3$, on associe la lettre D.\\
\end{tabular}

Donc la lettre U se code en D. 


\item On modifie l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l'aide du procédé de codage précédent:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :		& $m$ est un entier naturel\\
 				& $p$ est un entier naturel\\
Initialisation :& Demander la valeur de $m$\\
 				& Affecter à $p$ la valeur $9m+5$\\
Traitement :	& Tant que $p \geqslant 26$\\ 
				&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
				Affecter à $p$ la valeur $p - 26$
\end{tabular}\\
				& Fin de tant que \\
Sortie : 		&Afficher $p$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}% \subsection{partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\  [26]$. 
On sait que $9\times 3 = 27 \equiv 1 \  [26]$ ; donc pour $x = 3$, on a $9x \equiv 1 \  [26]$.
\item% Démontrer alors l'équivalence : $9m + 5 \equiv  p  \  [26] \iff m =  3p -  15 \  [26]$
$9m + 5 \equiv p \  [26]
\Longrightarrow 27m + 15 \equiv 3p \  [26] 
\iff 27m \equiv 3p - 15 \  [26]$

Or $27 \equiv 1 \  [26]$ donc $27m \equiv m \  [26]$

$\left. 
\begin{array}{@{} l @{\ \equiv\ } l}
27m & 3p - 15\\
27m & m \  [26]
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
m \equiv 3p - 15 \  [26]$

Réciproquement :

$m \equiv 3p-15 \  [26]
\iff m + 15 \equiv 3p \  [26] 
\Longrightarrow 9m + 135 \equiv 27p \  [26]$

Or $27 \equiv 1 \  [26]$ donc $27p \equiv p \  [26]$; de plus $135 = 5\times 26+5$ donc $135 \equiv 5 \  [26]$.

$
135 \equiv 5 \  [26]
\Longrightarrow
9m + 135 \equiv 9m + 5 \  [26]$

$\left. 
\begin{array}{@{} l @{\ \equiv\ } l}
9m+135 & 9m + 5 \  [26]\\
27p & p \  [26]\\
9m + 135 & 27p \  [26]
\end{array}
\right\rbrace
\Longrightarrow
9m+5 \equiv p \  [26]
$

On peut donc dire que: $9m+5 \equiv p \  [26] \iff m \equiv 3p-15 \  [26]$.
 
\item% Décoder alors la lettre B. 
Pour décoder une lettre, on procèdera donc ainsi:

\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{11.5cm}}
\emph{Étape} 1 :& 	À la lettre que l'on veut décoder, on associe le nombre $p$ correspondant dans le tableau.\\ 
\emph{Étape} 2 :& 	On calcule le reste de la division euclidienne de $3p-15$ par $26$ et on le note $m$.\\
\emph{Étape} 3 :& 	Au nombre $m$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.\\
\end{tabular}

Pour décoder la lettre B:

\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{11.5cm}}
\emph{Étape} 1 :& 	À la lettre B, on associe le nombre $p=1$.\\ 
\emph{Étape} 2 :& 	$3p-15 = - 12 \equiv 14 \  [26]$ donc $m=14$.\\
\emph{Étape} 3 :& 	Au nombre $m=14$, on associe la lettre O.\\
\end{tabular}

Donc la lettre B se décode en la lettre O.

\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  