\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 17cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
%\lfoot{Devoir sur table \no 2 bis(TS2)}
%\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
%10 décembre 2016}

\begin{document}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS2 : correction du devoir sur table \no 2 bis (4 heures)}}\end{center}
\hfill\\
%\emph{Les calculatrices sont autorisées}


\bigskip


\subsection{}%\textcolor{blue}{Liban S juin 2007}
Notons A$_{n}$ l'événement \og le tirage a lieu dans l'urne U$_{1}$ \`a l'étape n\fg et $p_{n}$ sa probabilité.
\begin{enumerate}
\item Arbre correspondant au début :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A_1$}\taput{ $1$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_2$}\taput{ $\dfrac{17}{20}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A_2}$}\tbput{ $\dfrac{3}{20}$}
}
}


\end{center}
$p_{2}=p(\text{A}_{2})=\dfrac{17}{20}=0,85$. $\boxed{\textcolor{red}{p_{2}=0,85}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{(0,5 pt)}}

\item Représentons un arbre avec les étapes $n$ et $n+1$ :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A_n$}\taput{\small $p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_{n+1}$}\taput{\small $\frac{17}{20}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{\small $\frac{3}{20}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A_n}$}\tbput{\small $1-p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_{n+1}$}\taput{\small $\frac{1}{20}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{\small $\frac{19}{20}$}
}
}

\end{center}
$\text{A}_{n+1}=(\text{A}_{n}\cap \text{A}_{n+1})\cup(\overline{\text{A}_{n}}\cap\text{A}_{n+1})$. C'est une réunion d'événements incompatibles donc :\\
$p(\text{A}_{n+1})=p(\text{A}_{n}\cap \text{A}_{n+1})+p(\overline{\text{A}_{n}}\cap\text{A}_{n+1})=p_{\text{A}_{n}}(\text{A}_{n+1})p(\text{A}_{n})+p_{\overline{\text{A}_{n}}}(\text{A}_{n+1})p(\overline{\text{A}_{n}})\\
=\dfrac{17}{20}p_{n}+\dfrac{1}{20}(1-p_{n})=\dfrac{16}{20}p_{n}+\dfrac{1}{20}=0,8p_{n}+0,05$.\\
Pour tout $n\geqslant 1$, $\boxed{\textcolor{red}{p_{n+1}=0,8p_{n}+0,05}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}

\item On trouve $\boxed{\textcolor{red}{p_{3}=0,73}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{(0,5 pt)}}

\item 
\begin{enumerate}
\item Effectuons une démonstration par récurrence :

soit $(\mathcal{H}_{n})$ l'hypothèse de récurrence : $p_{n}>0,25$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Amor\c cage : $p_{1}=1>0,25$ donc $(\mathcal{H}_{1})$ est vraie.

\item Hérédité : Supposons que $(\mathcal{H}_{n})$ soit vraie pour un entier $n$.\\
Par conséquent : $p_{n}>0,25$.\\
Alors : $0,8p_{n}>0,8\times 0,25=0,2$ donc $0,8p_{n}+0,05>0,2+0,05=0,25$ et 

$p_{n+1}=0,8p_{n}+0,05>0,25$.\\
$(\mathcal{H}_{n+1})$ est donc vraie.

La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie our tout $n$ non nul.


\fbox{\textcolor{red}{Pour tout $n$, $p_{n}>0,25$}}.\marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}

\item Pour tout $n\geqslant 1$, $p_{n+1}-p_{n}=0,8p_{n}+0,05-p_{n}=-0,2p_{n}+0,05$.\\
$p_{n}>0,5\Leftrightarrow -0,2p_{n}<-0,2\times 0,05\Leftrightarrow -0,2p_{n}<-0,05\Leftrightarrow -0,2p_{n}+0,05<0$. Par conséquent, pour tout $n\geqslant 1$, $p_{n+1}-p_{n}<0$. \fbox{\textcolor{red}{La suite $(p_{n})$ est donc décroissante.}}\marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}

\item La suite $(p_{n})$ est décroissante et minorée : 

\fbox{\textcolor{red}{elle converge donc vers un réel $\ell$}}. ($\ell\geqslant 0,25$)\marginpar{\textcolor{blue}{(0,5 pt)}}

\item On a $p_{n+1}=f(p_{n})$ avec $f(x)=0,8x+0,2$.\\
D'après le rappel, $\ell$ est solution de l'équation $\ell=f(\ell)$.\\
On résout l'équation et l'on trouve : $0,2\ell=0,05$ donc $\ell=\dfrac{0,05}{0,2}=0,25$.\\
\fbox{\textcolor{red}{La suite $(p_{n})$ converge vers 0,25.}}\marginpar{\textcolor{blue}{(0,5 pt)}}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}%Métropole septembre 2014
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées: 
$\text{A}\left(1~;~- \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{B}\left(1~;~ \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{C}(-2~;~0~;~0)\:;\: 	\text{D}\left(0~;~0~;~2\sqrt{2}\right)$
 
\begin{enumerate}

\item% Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne $4x + z\sqrt{2} = 4$. 
Le vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}0\\2\sqrt{3}\\0\end{pmatrix}$;

le vecteur $\overrightarrow{\text{AD}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\\sqrt{3}\\2\sqrt{2}\end{pmatrix}$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les trois points A, B, D définissent un plan.

La relation $4x+z\sqrt{2}=4$ est de la forme $ax+by+cz=d$, c'est donc une   équation d'un plan $\mathcal P$.

\hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm} $4x_{\text A}+z_{\text A}\sqrt{2}=4\times 1 = 4$ donc $\text A \in \mathcal P$

\hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm}$4x_{\text B}+z_{\text B}\sqrt{2}=4\times 1 = 4$ donc $\text B \in \mathcal P$

\hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm}$4x_{\text D}+z_{\text D}\sqrt{2}=2\sqrt{2}\times \sqrt{2} = 4$ donc $\text D \in \mathcal P$

Donc $\mathcal P$ est le plan (ABD) qui a pour équation $\boxed{\textcolor{red}{4x+z\sqrt{2}=4}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}

\item On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est 
$\left\{\begin{array}{l @{\ =\ } l}
x& t\\ 
y& 0\\ 	
z& t\sqrt{2}
\end{array}\right.,\: t \in \mathbb{R}$
 
	\begin{enumerate}
	
		\item% Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O. 
En prenant $t=0$, on trouve 
$\left\{\begin{array}{l @{\ =\ } l}
x& 0\\ 
y& 0\\ 	
z& 0
\end{array}\right.$
donc le point O appartient à $\mathcal D$.

La droite $\mathcal D$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\0\\\sqrt{2}\end{pmatrix}$.

Le vecteur $\overrightarrow{\text{CD}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}2\\0\\2\sqrt{2}\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{\text{CD}} = 2\overrightarrow{u}$ ce qui entraîne que la droite $\mathcal D$ est \textbf{\textcolor{red}{parallèle}} à (CD). \marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}

		\item% Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABD).
Le point G d'intersection de la droite $\mathcal D$ et du plan (ABD) a des coordonnées $(x~;~y~;~z)$ qui vérifient:
$\left\{\begin{array}{r @{\ =\ } l}
x& t\\ 
y& 0\\ 	
z& t\sqrt{2}\\
4x+z\sqrt{2} & 4
\end{array}\right.$

Donc $4t + t\sqrt{2}\times \sqrt{2} = 4 \iff 6t = 4 \iff t=\dfrac{2}{3}$.

Le point G a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{\left (\dfrac{2}{3}~;~0~;~\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right )}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}

	\end{enumerate}
	 
\item 

	\begin{enumerate}

		\item On note L le milieu du segment [AC]; \\
		L a pour coordonnées $\left (\dfrac{x_{\text A} + x_{\text C} }{2}~;~\dfrac{y_{\text A} + y_{\text C} }{2}~;~\dfrac{z_{\text A} + z_{\text C} }{2}\right )
= \left (-\dfrac{1}{2}~;~-\dfrac{\sqrt{3}}{2}~;~0 \right )$ 
		 
%Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC). 
Le vecteur $\overrightarrow{\text{BL}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-\dfrac{3}{2}\\-\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \\0\end{pmatrix}$;
le vecteur $\overrightarrow{\text{BO}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-1 \\-\sqrt{3} \\0\end{pmatrix}$.

Donc $\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{BL}} = \overrightarrow{\text{BO}}$; les vecteurs $\overrightarrow{\text{BL}}$ et $\overrightarrow{\text{BO}}$ sont \textbf{\textcolor{red}{colinéaires}} donc les points B, O et L sont alignés. 

Le vecteur $\overrightarrow{\text{AC}}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}-3\\\sqrt{3}\\0\end{pmatrix}$.

On calcule le produit scalaire de $\overrightarrow{\text{BL}}$ et de  $\overrightarrow{\text{AC}}$:

$\overrightarrow{\text{BL}}.\overrightarrow{\text{AC}} =
-\dfrac{3}{2}\times (-3) + \left(-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right )\times \sqrt{3} +0 = \dfrac{9}{2}-\dfrac{9}{2}=0$ donc les vecteurs $\overrightarrow{\text{BL}}$ et  $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont orthogonaux.

On peut donc dire que \textbf{\textcolor{red}{la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC)}}.\marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}

		\item% Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
La droite (BL) passe par le milieu de [AC] et est perpendiculaire à (AC) donc c'est la médiatrice de [AC], donc $\text{BA} = \text{BC}$.

\hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm} $\text{BA}^2 = \left ( x_{\text A} - x_{\text B} \right )^2 + \left ( y_{\text A} - y_{\text B} \right )^2 + \left ( z_{\text A} - z_{\text B} \right )^2 =
\left (-2\sqrt{3}\right )^2 = 12$

\hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm} $\text{CA}^2 = \left ( x_{\text A} - x_{\text C} \right )^2 + \left ( y_{\text A} - y_{\text C} \right )^2 + \left ( z_{\text A} - z_{\text Z} \right )^2 =
\left ( 1+2\right )^2 + \left (-\sqrt{3}\right )^2 = 9+3=12$

Donc $\text{BA}^2= \text{CA}^2$ donc $\text{BA} = \text{CA}$.

On peut en déduire que le triangle ABC est \textbf{\textcolor{red}{équilatéral}}.

Donc le centre de son cercle circonscrit est aussi son centre de gravité ; il est situé aux $\dfrac{2}{3}$ d'une médiane en partant du sommet. 

Or on a vu que $\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{BL}} = \overrightarrow{\text{BO}}$ donc on peut en déduire que le point O est le \textbf{\textcolor{red}{centre du cercle circonscrit au triangle ABC}}. \marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}

	\end{enumerate}  

\item% Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c'est-à-dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.

On a déjà vu que $\text{AB} = \text{AC} = \text{BC} =\sqrt{12}$; on calcule les longueurs des autres arêtes du tétraèdre:

\hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm} $\text{DA}^2 = (-1)^2+\left (\sqrt{3} \right )^2 +\left (2\sqrt{2}\right )^2 = 1 + 3 + 8 = 12$

\hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm} $\text{DB}^2 = (-1)^2+\left (-\sqrt{3} \right )^2 +\left (2\sqrt{2}\right )^2 = 1 + 3 + 8 = 12$

\hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm} $\text{DC}^2 = 2^2 +\left (2\sqrt{2}\right )^2 = 4 + 8 = 12$

Donc les six arêtes du tétraèdre ABCD ont la même longueur, donc le tétraèdre ABCD est \textbf{\textcolor{red}{régulier}}.\marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}
 

\end{enumerate}



\subsection{}%La Réunion juin 2008
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	          \item $u_1=\left(1+\dfrac{2}{1}\right)u_0+\dfrac{6}{1}=3\times 5 + 6 = \boxed{\textcolor{red}{21}}.$\marginpar{\textcolor{blue}{(0,5 pt)}}
	          
	          \item On obtient : $d_{1} = u_{1} - u_{0} = 16, {}d_{2} = u_{2} - u_{1} = 24$, puis $d_{3} = 32,{} d_{4} = 40, {} d_{5} = 48$.\\
              On peut donc conjecturer que la suite $\left( d_n\right) _{n\in\mathbb{N}}$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmétique de raison 8 et de premier terme $16$}}.\marginpar{\textcolor{blue}{(0,5 pt)}}
        \end{enumerate}
        
\item Soit $\left( v_n\right) _{n\in\mathbb{N}}$  la suite  arithmétique de raison 8 et de premier terme $v_0 = 16$.

On sait que, pour tout entier naturel $n,\quad v_n = 16 + 8n =8(n+2)$.

La somme $S_{n}$ des  $n$ premiers termes est :$S_{n} = v_0+v_1+\cdots +v_{n-1}= n\times v_0 + 8 + 2 \times 8 + \cdots + (n - 1) \times 8 = 16 n + 8 \times \dfrac{n(n-1)}{2} = 16n + 4n(n - 1)  = \boxed{\textcolor{red}{4n^2 + 12n}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration par récurrence}} :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $u_{0} = 5$ : vrai

\item \textbf{Hérédité} : supposons qu'il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $u_{n} = 4n^2 + 12n + 5$.

 Alors $u_{n+1} = \left(1 + \dfrac{2}{n+1}\right)u_{n} + \dfrac{6}{n+1}  =  \left(1 + \dfrac{2}{n+1}\right)\left(4n^2 + 12n + 5\right) + \dfrac{6}{n+1}$.
 
Or $4n^2 + 12n + 5 = 4(n+1)^2 - 8n - 4 + 12n + 5 = 4(n+1)^2 + 4n + 1 = 4(n+1)^2 + 4(n + 1) - 3$. En reportant dans $u_{n+1}$ au dessus, on obtient :

$u_{n+1} = \left(1 + \dfrac{2}{n+1}\right)\left[4(n+1)^2 + 4(n + 1) - 3  \right] +  \dfrac{6}{n+1} =$

$4(n+1)^2 + 4(n+1) - 3 + 8(n+1) + 8 -  \dfrac{6}{n+1}+  \dfrac{6}{n+1} = 4(n+1)^2 + 12(n+1) + 5.$

La relation est donc vraie au rang $n+1$.

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : on vient de démontrer par récurrence que, quel que soit $n \in \mathbb{N},$ 

$\boxed{\textcolor{red}{u_{n} = 4n^2 + 12n + 5}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}
\end{itemize}

\setlength\parindent{5mm}

\item Soit $n\in\mathbb{N}$,\quad d'après les questions précédentes, on déduit que : $d_n = u_{n+1}- u_n= 4(n+1)^2 + 12(n+1) + 5 - \left(4n^2 + 12n + 5 \right) = 4n^2 + 8n + 4 +  12n + 12 - 4n^2 - 12n - 5 = 8n + 16 = v_{n}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : la suite  $\left( d_n\right) _{n\in\mathbb{N}}$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmétique}} de raison 8 et de premier terme $d_0=16$.\marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}
\end{enumerate}

\subsection{}%Antilles-Guyane septembre 2008
%Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. 

\medskip

 \textbf{PARTIE A :}
  
%On définit :
%\begin{itemize}
%\item la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $u_{0} = 13$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1}  = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}$. 
%\item la suite $\left(S_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} =  u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}$.
%\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  
%Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} =  1 + \dfrac{12}{5^n}$.  

%En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 

On effectue une démonstration par récurrence :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Initialisation : $u_{0} = 1 + \dfrac{12}{5^0} = 1 + 12 = 13$ : vrai ;
\item[$\bullet~$] Hérédité : supposons qu'il existe un naturel $p > 0$ tel que $u_{p} = 1 + \dfrac{12}{5^p}$ ; alors $u_{p+1} = \dfrac{1}{5}u_{p} +\dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}\left(1 + \dfrac{12}{5^p} \right) + \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{12}{5^{p+1}} = 1 +   \dfrac{12}{5^{p+1}}$ : l'hérédité est bien démontrée.

On a donc  pour tout entier naturel $n, \boxed{\textcolor{red}{u_{n} =  1 + \dfrac{12}{5^n}}}$.

Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{12}{5^n} = 0,~\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 1$.
\end{itemize}\marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  
%		Déterminer le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
On a $S_{n+1} - S_{n} = u_{n+1}$. Par une récurrence immédiate, on a $u_{n} > 0$, ce qui entra\^{\i}ne que la suite $\left(S_{n}\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.\marginpar{\textcolor{blue}{(0,5 pt)}}

		\item %Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
D'après la question \textbf{1.}, $S_{n} = 1 + \dfrac{12}{5^0} + \cdots + 1 + \dfrac{12}{5^n} = (n + 1) \times 1 + \displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{12}{5^k} = (n + 1) + 12\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{5^k}.$

Le deuxième terme de la somme précédente est la somme des $(n + 1)$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$, soit avec $T_{n} = \displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{5^k},$

$\dfrac{1}{5}T_{n} = \dfrac{1}{5} + \cdots + \dfrac{1}{5^n} + \dfrac{1}{5^{n+1}}$ et par différence $\dfrac{4}{5}T_{n} = 1 - \dfrac{1}{5^{n+1}}$ et enfin $T_{n} = \dfrac{5}{4}\left(1 - \dfrac{1}{5^{n+1}} \right)$. D'o\`u $12\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{5^k} = 12 \times \dfrac{5}{4}\left(1 - \dfrac{1}{5^{n+1}} \right) = 15\left(1 - \dfrac{1}{5^{n+1}}\right) = 15 - \dfrac{3}{5^n}$

On a donc  :

\fbox{$S_{n} = (n + 1) + 15 - \dfrac{3}{5^n} = n + 16 - \dfrac{3}{5^n}.$}
		
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$.
		La limite de la suite est celle de $n$, donc égale à $\boxed{\textcolor{red}{+ \infty}}.$ \marginpar{\textcolor{blue}{(1,5 pt)}}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B : }
 
%Etant donné une suite $\left(x_{n}\right)$, de nombres réels, définie pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(S_{n}\right)$ 
%définie par $S_{n} =  \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}$.
% 
%Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.

% Justifier dans chaque cas. 
 
\begin{itemize}
\item[] Proposition 1: 
% si la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(S_{n}\right)$ l'est aussi. 
\textbf{\textcolor{red}{Fausse}} : la suite $\left(x_{n}\right)$ de l'exercice ci-dessus est convergente, alors que $\left(S_{n}\right)$ diverge.\marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}

\bigskip

\item[] Proposition 2 :
% les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ ont le même sens de variation. 
\textbf{\textcolor{red}{Fausse}} : la suite $\left(x_{n}\right)$ de l'exercice ci-dessus est décroissante car la suite de terme général $\dfrac{1}{5^n}$ l'est et on a vu que la suite $\left(S_{n}\right)$ est croissante.\marginpar{\textcolor{blue}{(1 pt)}}
\end{itemize}



\label{fin}
\end{document}  