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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du devoir sur feuille \no 2}}\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{Fonction d'Ackermann}}%\no 28 page 35 math'x Didier TS
Cette fonction $A$ est une fonction de deux entiers naturels, d�finie ainsi :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $A(0~;~n)=n+1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$

\item $A(m+1~;~0)=A(m~;~1)$ pour tout $m\in\mathbb{N}$

\item $A(m+1~;~n+1)=A(m~;~A(m+1~;~n))$ pour tous $m\in\mathbb{N}$ et $n\in\mathbb{N}$.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item %Calculer $A(0~;~0)$, $A(0~;~1)$ et $A(1~;~0)$.
A(0~;~0)=1 ; $A(0~;~1)=2$ ; $A(1~;~0)= A(0~;~1)=2$.


\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La premi�re ligne se remplit facilement puisque $A(0~;~n)=n+1$ (d�finition de la fonction).

\item \textbf{Seconde ligne} : 

$A(1~;~0)=A(0~;~1)=2$ par d�finition de la fonction.

Pour tout $n\geqslant 0$, $A(1~;~n)=A(0~;~A(1~;~n-1))=A(1~;~n-1)+1$ donc les cellules de la ligne \og{}$m=1$\fg{} sz remplissent en ajoutant 1 � la cellule pr�c�dente.

\item \textbf{Troisi�me ligne} : 

$A(2~;~0)=A(1~;~1)=3$.

$A(2,1)=A(1~;~A(2~;~0))=A(1~;~3)=A(1~;~1)+2=A(2~;~0)+2=5$

$A(2,2)=A(1~;~A(2,1))=A(1~;~5)=A(1~;~3)+2=A(2~;~1)+2=7$

$A(2,3)=A(1~;~A(2~;~2))=A(1~;~7)=A(1~;~5)+2=A(2~;~2)+2=9$

$A(2~;~4)=A(1~;~A(2~;~3))=A(1~;~9)=A(1~;~7)+2=A(2,3)+2$.

On devine que $A(2~;~n)=A(2~;~n)+2$ (suite arithm�tique de raison 2)

\item \textbf{Quatri�me ligne} :

$A(3~;~0)=A(2~;~1)=5$

$A(3~;~1)=A(2~;~A(3~;~0))=A(2~;~5)=13$.

On trouve de m�me $A(3~;~2)=29$, $A(3~;~3)=61$~;~$A(3~;~4)=1125$ et $A(3~;~5)=255$
\end{enumerate}



\textbf{\textcolor{red}{Tableau de valeurs}} :

\begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\columncolor{yellow!30}}l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{blue!50}\backslashbox{m}{n}& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\
\hline
0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\
\hline
1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\
\hline
2& 3& 5& 7& 9& 11& 13\\
\hline
3 &5 &13& 29& 61& 125 &255\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}

\item Pour $n$ entier naturel, il semble que $A(1~;~n)= n+ 2$ (conjecture 1) et que $A(2~;~n)=2n+3$ (conjecture 2).

\medskip

D�monstration de la conjecture 1 par r�currence :

\textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : pour $n = 0$, $A(1~;~0)= 2$ et $0 + 2 = 2$ ; la propri�t� est vraie pour $n = 0$.

\textbf{\textcolor{red}{H�r�dit�}} : supposons que pour un entier $k\geqslant 0$, $A(1, k)= k+2$ ; montrons que $A(1~;~k+1)=k + 3$.

On a : $A(1~;~k+1)=A(0~;~A(1~;~k))=A(0~;~k+2)=k+3$.

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : la propri�t� est vraie pour n = 0 et est h�r�ditaire donc, pour $n\geqslant 0$, $A(1~;~n)=n+2$.

\bigskip

D�monstration de la conjecture 2 par r�currence:

\textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : pour $n = 0$, 	$A(2~;~0)=3$ et $2\times 0+3=3$.

La propri�t� est vraie pour $n = 0$.

\textbf{\textcolor{red}{H�r�dit�}} : supposons que pour un entier $k\geqslant 0$, $A(2, k)=2k+3$ ; montrons que $A(2, k+1)=2(k+1) + 3=2k+5$.

On a :$A(2~;~k+1)=A(1~;~A(2~;~k))=A(1~;~2k+3)=(2k+3)+2=2k+5$.

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : la propri�t� est vraie pour $n=0$ et est h�r�ditaire donc, pour $n\geqslant 0$, $\boxed{\textcolor{red}{A(2, n+1)= 2n+ 3}}$.


\item Montrons patr r�currence que $A(3~;~n)=2^{n+3}-5$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : pour $n = 0$, $A(3~;~0)=A(2~;~1)=5$ et $2^{0+3} - 3=8 - 3 = 5$.

La propri�t� est vraie pour $n = 0$.

\item \textbf{\textcolor{red}{H�r�dit�}} : supposons que pour un entier $k\geqslant  0$,  $A(3~;~ k)= 2^{k+3} - 5$ ; montrons que $A(3~;~k+1)=2^{k+4} - 3$.

$A(3~;~k+1)=A(2~;~A(3~;~k))=A(2~;~2^{k+3}+3)=2\times \left(2^{k+3}+3\right)-3=2^{k+4}+6-3=2^{k+4}+3$.

\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : la propri�t� est vraie pour n = 0 et est h�r�ditaire donc, pour $n \geqslant 0$, $\boxed{\textcolor{red}{A(3~;~n)= 2^{n+3} - 3}}$.


\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Spirales}}
$ABCD$ est un carr� de centre $O$ dont les diagonales ont pour longueur 2.

On construit les deux spirales suivantes dont les sommets appartiennent aux diagonales du carr�.

\textbf{\textcolor{red}{Spirale g�om�trique}} : les distances de $O$ aux sommets successifs $A_0=A$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, etc. valent $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{8}$, etc.

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-0.8)(1.,0.8)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-2.)(2.,2.)
\pspolygon(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
%\pscircle(0.,0.){3.}
\psline[linecolor=zzttqq](-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\psline[linecolor=zzttqq](0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\psline[linecolor=zzttqq](0.7071067811865476,0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.7071067811865476,0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\psline(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,0.7071067811865476)
%\pscircle(0.,0.){1.5}
%\pscircle(0.,0.){0.75}
%\pscircle(0.,0.){0.375}
\psline(0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
%\pscircle(0.,0.){0.1875}
\psline(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.35355339059327373,-0.35355339059327373)
\psline(0.1767766952966369,0.1767766952966369)(0.35355339059327373,-0.35355339059327373)
\psline(0.1767766952966369,0.1767766952966369)(-0.08838834764831845,0.08838834764831845)
\psline(-0.044194173824159216,-0.044194173824159216)(-0.08838834764831845,0.08838834764831845)

\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.014272992067939921,0.03624948237926378){\blue{$O$}}
%\rput[bl](-0.5004121172929881,0.7780015517523654){$c$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\rput[bl](-0.6934190333033361,-0.6676580936584755){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\rput[bl](0.7219650174392159,-0.6676580936584755){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\rput[bl](0.7219650174392159,0.7439415077505392){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\rput[bl](-0.6934190333033361,0.7439415077505392){\blue{$D$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.35355339059327373,-0.35355339059327373)\rput[bl](0.3700112294203461,-0.3308421029737508){\darkgray{$A_1$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.3535533905932738,0.3535533905932738)
%%\rput[bl](-0.33768079595093,0.3768499223975247){\darkgray{$F$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.17677669529663687,-0.17677669529663687)
%\rput[bl](-0.15981167727472692,-0.15297298429754785){\darkgray{$G$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.1767766952966369,0.1767766952966369)
\rput[bl](0.192142110744143,0.19898080372132176){\darkgray{$A_2$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.08838834764831843,-0.08838834764831843)
%\rput[bl](0.10509977607280957,-0.0659306496262145){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.08838834764831845,0.08838834764831845)\rput[bl](-0.1727693426033935,0.21193846904998843){\darkgray{$A_3$}}
%\rput[bl](-0.03492484926803114,-0.02051725762377971){$k$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.044194173824159216,-0.044194173824159216)
\rput[bl](-0.04959669857116856,-0.19189198113279){\darkgray{$A_4$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.04419417382415922,0.04419417382415922)
%\rput[bl](0.05968638407037475,0.06652507704755364){\darkgray{$H$}}
%\rput[bl](-0.15981167727472692,-0.5844002083206784){$j$}
%\rput[bl](0.20727990807828794,-0.10377514296157683){$l$}
%\rput[bl](0.021841890735012394,0.19141190505424932){$m$}
%\rput[bl](-0.012218153266813728,0.043818381046336244){$n$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Spirale harmonique}} : Les distances de $O$ aux sommets  $B_0=A$, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, etc sont $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{5}$, etc.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-0.8)(1.,0.8)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\pspolygon(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
%\pscircle(0.,0.){3.}
\psline[linecolor=zzttqq](-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\psline[linecolor=zzttqq](0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\psline[linecolor=zzttqq](0.7071067811865476,0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.7071067811865476,0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\psline(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,0.7071067811865476)
%\pscircle(0.,0.){1.5}
%\pscircle(0.,0.){1.}
%\pscircle(0.,0.){0.6}
\psline(0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
%\pscircle(0.,0.){0.6}
\psline(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.35355339059327373,-0.35355339059327373)
\psline(-0.1414213562373095,-0.1414213562373095)(-0.14142135623730953,0.14142135623730953)

\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.010429287923725515,0.028159991856997902){\blue{$O$}}
%\rput[bl](-0.5025200512144602,0.7948555466326889){$c$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\rput[bl](-0.6934190333033361,-0.8){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\rput[bl](0.7143704022729378,-0.8){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\rput[bl](0.717098856204524,0.6584328500533844){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\rput[bl](-0.7235248196729338,0.6366052186006956){\blue{$D$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.35355339059327373,-0.35355339059327373)
\rput[bl](0.37604211475626215,-0.34836665070188233){\darkgray{$B_1$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.3535533905932738,0.3535533905932738)
%\rput[bl](-0.34154126925088063,0.369216733305259){\darkgray{$F$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.1414213562373095,-0.1414213562373095)
%\rput[bl](0.15230889236620243,-0.12463342831182307){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.14142135623730953,0.14142135623730953)
\rput[bl](-0.13690722438192357,0.18368186595740496){\darkgray{$B_3$}}
%\rput[bl](-0.10143732327130435,0.11547051766775274){$k$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.1414213562373095,-0.1414213562373095)
\rput[bl](-0.14782104010826796,-0.1873878687383031){\darkgray{$B_4$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.14142135623730953,0.14142135623730953)
%\rput[bl](0.15230889236620243,0.15912578057313015){\darkgray{$H$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.23570226039551584,-0.23570226039551584)
%\rput[bl](-0.2242177501926786,-0.22012931591733617){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.2357022603955158,0.2357022603955158)
\rput[bl](0.2478047799717157,0.2518932142470572){\darkgray{$B_2$}}
\psline(0.35355339059327373,-0.35355339059327373)(0.2357022603955158,0.2357022603955158)
\psline(0.2357022603955158,0.2357022603955158)(-0.14142135623730953,0.14142135623730953)
\psline(-0.14142135623730953,0.14142135623730953)(-0.1414213562373095,-0.1414213562373095)
\end{pspicture*}
\end{center}
On note $L_n$ la longueur de la spirale $A_0A_1A_2\cdots A_n$ et $L'_n$ la longueur de la spirale $B_0B_1B_2\cdots B_n$  pour tout $n\geqslant 1$.
\begin{enumerate}
\item Spirale g�om�trique : 

%Exprimer $OA_n$ puis $A_nA_ {n+1}$ en fonction de $n$. En d�duire $L_n$  en fonction de $n$ puis la limite de $\left(L_n\right)$.
Pour tout $n$, $OA_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. Le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en O ; d'apr�s le th�or�me de Pythagore, $AA_ {n+1}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n+2}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n}\left(1+\dfrac{1}{4}\right)}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}}{4}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{5}}2{\left(\dfrac{1}{2}\right)}^n}}$.

\bigskip

On en d�duit que, pour $n\geqslant 1$ : $L_n=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left[1+\dfrac{1}{2}++\cdots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right]$ donc $L_n=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\times \dfrac{1-\left(\frac12\right)^n}{1-\frac12}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{5}\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)^n}}$.

\bigskip

$-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}L_n=\sqrt{5}}}$

\item \textcolor{red}{\textbf{Spirale harmonique}} :

Exprimer %$OB_n$ en fonction de $n$ puis $B_nB_{n+1}$ en fonction de $n$. Conjecturer le comportement asymptotique de $L'_n$ (le comportement quand $n$ tend vers $=\infty$).
On a $OB_n=\dfrac{1}{n+1}$
, donc, d'apr�s le th�or�me de Pythagore : $\boxed{\textcolor{red}{B_nB_{n+1}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{n+1}\right)^2+\left(\dfrac{1}{n+2}\right)^2}}}$.

Les deux spirales se ressemblent, donc on pourrait penser qu'elles ont le m�me comportement asymptotique, donc que $\left(L_n'\right)$ converge.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $B_nB_{n+1}\geqslant \dfrac{1}{n+1}$.
Pour tout $n$, $\dfrac{1}{(n+1)^2}+\dfrac{1}{(n+2)^2}\geqslant \dfrac{1}{(n+1)^2}$ donc $B_nB_ {n+1}\geqslant \dfrac{1}{n+1}$.

%%En d�duire que, pour tout $n\geqslant 1$, $L'_n\geqslant h_n$ où $h_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{n}$.

On en d�duit que $L_n'\geqslant h_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}$.

\item %Exprimer $h_{2n}-h_n$. Quel est le plus petit terme de cette somme ?
$\boxed{\textcolor{red}{h_{2n}-h_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n}}}$.

%En d�duire que $h_{2n}-h_n\geqslant \dfrac{1}{2}$.
Pour tout $k$ tel que $n\leqslant k\leqslant 2n$, $k\leqslant n$ donc $\dfrac{1}{k}\geqslant \dfrac{1}{2n}$.

On en d�duit que $h_n\geqslant \dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n}+\cdots+\dfrac{1}{2n}=n\times \dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}$.

\item %En d�duire que $h_{2^n}-h_n\geqslant \dfrac{1}{2}(n-1)$.
On a successivement :

$k=2$ : $h_4-h_2\dfrac{1}{2}$

$k=3$ : $h_8-h_4\geqslant \dfrac{1}{2}$

$k=4$ : $h_{16}-h_8=\dfrac{1}{2}$

\vdots

$k=2^{n-1}$ : $h_{2^n}-h_{2^{n-1}}\geqslant \dfrac{1}{2}$.

En additionnant membre � membre, on trouve :

$h_{2^n}-h_2\geqslant \dfrac{1}{2}(n-1)$.

\item %Montrer que la suite $\left(h_n\right)$ n'est pas major�e. En d�duire sa limite et celle de $\left(L'_n\right)$.
On en d�duit que $h_{2^n}\geqslant h_2+\dfrac{n-1}{2}$ qui tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ donc la suite $\left(h_n\right)$ n'est pas major�e et $\lim_{n\rightarrow +\infty}h_n=+\infty$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}L_n'=+\infty$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2013}}
\textbf{\textcolor{red}{Question 1}}:
\begin{center}
\textbf{R�ponse d}
\end{center}
Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ est le vecteur $\overrightarrow{d}(1,~2,~3)$, un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$ est le vecteur $\overrightarrow{d'}(1,~1,~-1)$.\\
$\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{d'}=1+2-3=0$.\\
 Ces deux vecteurs sont orthogonaux, les droites
$\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont donc orthogonales.\\
Aussi par Èlimination : la a. est fausse car les vecteurs directeurs ne sont pas colin�aires, b. est fausse car il n'y a pas de point d'intersection et
 c. est fausse car C n'est pas sur D.
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textcolor{red}{Question 2}}:
\begin{center}
\textbf{R�ponse c}
\end{center}

Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est le vecteur $\overrightarrow{n}(1,1,-1)$. \\
Ce vecteur est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$.\\
Ce qui entraîne que ce plan est orthogonal � la droite $\mathcal{D}'$.\\
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textcolor{red}{Question 3}}:
\begin{center}
\textbf{R�ponse c}
\end{center}
$\text{AB} =\sqrt{4+16+36}=\sqrt{56} = 2\sqrt{14},\quad \text{AC}=\sqrt{16+36+4}=\sqrt{56},\quad \text{BC} = \sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}$\\
Ces trois distances sont �gales, il en r�sulte que le triangle ABC est �quilat�ral.\\
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textcolor{red}{Question 4}}:
\begin{center}
\textbf{R�ponse b}
\end{center}
Pour d�terminer lequel de ces vecteurs est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}'$, il suffit de v�rifier si ces vecteurs sont orthogonaux � deux vecteurs de $\mathcal{P}'$ qui sont non colin�aires.\\
Prenons $\overrightarrow{d'}(1,~1,~-1)$ et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text{AD}'}$, o˘ A$(1,~-1,~2)$ et D$'$ est un point de $\mathcal{D}'$, par exemple celui de coordonn�es $\left(1,~3,~4\right)$, soit
$\overrightarrow{\text{AD}'}(0,~4,~2)$. \\
On v�rifie que $\overrightarrow{d'}$ et $\overrightarrow{\text{AD}'}$ ne sont pas colin�aires, et on constate que, dans le second cas :

\[\overrightarrow{d'}\cdot \overrightarrow{n}=\overrightarrow{\text{AD}'}\cdot \overrightarrow{n}=0\]

Ce qui signifie que le vecteur $\overrightarrow{n}(3,~-1,~2)$ est un vecteur normal au plan 
$\mathcal{P}'$.

\subsection{\textcolor{blue}{Antille-Guyane septembre 2011}}%
%L'espace est muni d'un rep�re orthonorm� \Oijk.
% 
%On consid�re les trois points A, B et C de coordonn�es respectives : 
%
%A$(-1~;~2~;~1)$ , B$(1~;~- 6~;~-1)$ et C (2~;~2~;~2). 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %V�rifier que les points A, B et C d�finissent bien un plan.
$\overrightarrow{\text{AB}}(2~;~- 8 ~;~- 2), \: \overrightarrow{\text{AC}}(3~;~0 ~;~1)$ : ces deux vecteurs ne sont pas colin�aires, dont les trois points distincts A, B et C d�finissent un plan.  
		\item %Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\\\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (ABC).
On a $\overrightarrow{n} \cdot  \overrightarrow{\text{AB}} = 2 - 8 + 6 = 0$ et $\overrightarrow{n} \cdot  \overrightarrow{\text{AC}} = 3 - 3 = 0$.

Le vecteur $\overrightarrow{n}$ orthogonal �  deux vecteurs non colin�aires  du plan (ABC) est donc un vecteur normal au plan (ABC).
		\item %D�terminer une �quation cart�sienne du plan (ABC).
On sait que $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 1x + 1y - 3z + d = 0$.
En particulier C$(2~;~2~;~2)  \in (\text{ABC}) \iff 1 \times 2  + 1 \times 2 - 3 \times 2 + d = 0 \iff d = 2$.

Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff \boxed{\textcolor{red}{x + y - 3z + 2 = 0}}$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $P$ le plan d'�quation : $x - y + z - 4 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les plans (ABC) et $P$ sont s�cants.
Le vecteur $\overrightarrow{p}(1~;~- 1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (P).

Or $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{p}$ ne sont pas colin�aires, ce qui signifie que les plans  (ABC) et $P$ ne sont pas parall�les donc s�cants.
		\item %Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et (ABC). D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite $D$.
		
$M(x~;~y~;~z) \in D \iff M(x~;~y~;~z) \in \left\{\begin{array}{l c l}
x + y - 3z + 2 &=& 0\\
x - y + z - 4 &=& 0
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
x + y   &=&3t - 2\\
x - y  &=&- t + 4 \quad (1)\\
z&=&t
\end{array}\right. \Rightarrow 2x = 2t + 2 \iff x = t + 1$.

En remplaçant dans l'�quation (1) $y = x + z - 4 = z + 1 + z - 4 = 2t - 3$.

Finalement : $M(x~;~y~;~z) \in D \iff \boxed{\textcolor{red}{\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t + 1\\
y&=&2t - 3\\
z&=&t
\end{array}\right.}}$

	\end{enumerate} 
\item %On consid�re la sph�re $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonn�es $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour repr�sentation param�trique:
 
%\[\left\{\begin{array}{l c r}
%x &=& 1 + t\\ 
%y &=& -3 + 2t\\
%z &=&t,
%\end{array}\right.\quad  t \in \R.\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point I appartient �  la droite $D$. 
Le point de $D$ correspondant �  $t = 1$ est le point I.
		\item %Montrer que le point I appartient �  la sph�re $S$.
Calculons $\Omega\text{I}^2 = (2 - 3)^2 + (- 1 - 1)^2 + (1 - 3)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$, donc $\Omega\text{I} = 3$ : le point I \textcolor{red}{appartient �  la sph�re $S$}. 
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, m�ªme incompl�te, ou d'initiative m�ªme non fructueuse, sera prise en compte dans l'�valuation.}
		 
%Montrer que la droite $D$ coupe la sph�re $S$ en un deuxi�me point.
Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient �    $S$ si et seulement si $\Omega M^2 = 9 \iff (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$.

Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient �  $D$ et �   $S$ si et seulement si ses coordonn�es v�rifient les �quations :
$\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 + t\\ 
y &=& -3 + 2t\\
z &=&t\\
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 &=& 9
\end{array}\right. \\
\Rightarrow (1 + t - 3)^2 + (- 3 + 2t - 1)^2 +  (t - 3)^2 = 9 \iff t^2 + 4 - 4t + 4t^2 + 16 - 16t + t^2 + 9 - 6t = 9 \iff 6t^2 - 26t + 20 = 0 \iff 3t^2 - 13t + 10 = 0$.

On sait que I appartient �  $S$ donc $t = 1$ est une des des solutions de l'�quation du second degr�.

Or $3t^2 - 13t + 10 = (t - 1)(3t - 10)$ ; donc l'autre solution est donn�e par $3t - 10 = 0 \iff t = \dfrac{10}{3}$, valeur du param�tre qui conduit �  $\boxed{\textcolor{red}{J\left(\dfrac{13}{3}~;~\dfrac{11}{3}~;~\dfrac{10}{3}\right)}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}






\label{fin}
\end{document}  