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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction Bac Nouvelle Calédonie mars 2017}}\end{center}


\subsection{}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[ 0~;~+\infty[$ par 
$f(x) = x\mathrm{e}^{- x}$.

%et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 

%\bigskip

\subsection*{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On justifie les informations du tableau de variations de $f$ donné ci-dessous : 

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x 		&0  & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 		& &  	&\Rnode{max}{\dfrac{1}{\text{e}}} \rule{0pt}{20pt} &  &   \\  
f(x) 	& &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 		& \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
\ncline{->}{min1}{max} 
\ncline{->}{max}{min2} \\ \hline
\end{array} $}
\end{center}	  

\begin{list}{\textbullet}{}

\item La dérivée de $f$ est
$f'(x)= \mathrm{e}^{-x} + x(-1)\mathrm{e}^{-x} = (1 - x)\mathrm{e}^{-x}$.

Pour tout $s$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-x$, donc $f'(x)>0$ sur $[ 0~;~1[$ et $f'(x) < 0$ sur $] 1~;~+\infty[$.
Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[ 0~;~1]$, et elle est strictement décroissante sur $[ 1~;~+\infty[$. 

\item $f(0)=0$

\item On détermine la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

$f(x) = x\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}$; on sait que 
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x} = + \infty$ donc 
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}} = 0$ et donc
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

\end{list}  
  
\item  Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $[ 0~;~ +\infty[$ par 
$F(x) = (- x - 1)\mathrm{e}^{- x}$. 

%Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 

$F'(x)= -1\times \mathrm{e}^{-x} + (- x - 1)(- 1)\mathrm{e}^{- x} = (-1 + x + 1)\mathrm{e}^{-x} = x\mathrm{e}^{- x} = f(x)$

Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[ 0~;~+\infty[$.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsection*{Partie B}

\medskip 

Soit $a$ un nombre réel tel que $0 < a < 1$. On considère la droite $D_a$ d'équation $y = ax$ et $M$ le point d'intersection de la droite $D_a$ avec la courbe $\mathcal{C}_f$. On note $x_M$ l'abscisse du point $M$.

On note $\mathcal{H}(a)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c'est-à-dire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}_f$ au-dessus de la droite $D_a$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = x_M$. 

%Le but de cette partie est d'établir l'existence et l'unicité de la valeur de $a$ telle que $\mathcal{H}(a) = 0,5$ puis d'étudier un algorithme. 
\psset{xunit=2cm,yunit=10cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.02)(5,0.5)
\psset{yMaxValue=0.5}
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(5,0.5)
\uput[l](0,0.1){0,1} \uput[d](1,0){1}
\uput[dr](2,0.4){$D_a$} 
\uput[u](4.8,0.02){\blue $\mathcal{C}_f$} 
\uput[u](1.61,0.33){$M$}
\uput[l](0,0.368){$\frac{1}{\text{e}}$}
\psline[linestyle=dashed](0,0.368)(1,0.368)(1,0)
\def\f{x 2.71828 x exp div}
\def\g{0.2 x mul}
\pscustom[fillstyle=vlines]
{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.61}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.61}{0}{\g}
\closepath
}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{4}{\g}
\psline(0,0.1)(0.05,0.1)  
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](1.61,0.32)(1.61,0)
\uput[d](1.61,0){\red $-\ln(a)$}  
\end{pspicture}

\begin{enumerate}
\item% Prouver que la droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ ont un unique point d'intersection $M$ distinct de l'origine. 
La droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ se coupent en des points dont les abscisses sont solutions de l'équation $ax = x\mathrm{e}^{-x}$. On résout cette équation:

$ax = x\mathrm{e}^{-x}
\iff
ax - x \mathrm{e}^{-x} = 0
\iff
x(a-\mathrm{e}^{-x}) = 0
\iff
x=0 \text{ ou } a-\mathrm{e}^{-x}=0
\iff
x=0 \text{ ou } a=\mathrm{e}^{-x}\\
\phantom{ax = x\mathrm{e}^{-x}}
\iff
x=0 \text{ ou } \ln (a)=-x
\iff
x=0 \text{ ou } x=-\ln (a)
$

Donc la droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ se coupent au point O et en un autre point d'abscisse $-\ln(a)$.

\end{enumerate}

On admet dans la suite de l'exercice que le point $M$ a pour abscisse 
$x_M = - \ln (a)$ et que la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la droite $D_a$ sur l'intervalle $[ 0~;~- \ln (a)]$. 

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item% Montrer que $\mathcal{H}(a) = a \ln (a) - \frac{1}{2}a(\ln (a))^2 + 1 - a$. 
La courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la droite $D_a$ sur l'intervalle $[ 0~;~-\ln(a)]$, donc l'aire $\mathcal{H}(a)$ du domaine hachuré est
$\int_{0}^{-\ln(a)} \left ( f(x) - ax\right ) \d x$.

$\mathcal{H}(a) 
= \int_{0}^{-\ln(a)} \left ( f(x) - ax\right ) \d x
= \int_{0}^{-\ln(a)}  f(x) \d x - \int_{0}^{-\ln(a)} ax \d x
= \left [ F(x)\rule{0pt}{10pt}\right ]_{0}^{-\ln(a)} - \left [ a \dfrac{x^2}{2} \right ]_{0}^{-\ln(a)} \\[7pt]
\phantom{\mathcal{H}(a)}
= \left [ (\ln(a)-1) \mathrm{e}^{-(-\ln(a))} - (-1)\mathrm{e}^{0} \right ] - \left [ a \dfrac{(\ln(a))^2}{2} - 0 \right ]
= a\ln(a) -a +1 - \dfrac{1}{2}\,a\, (\ln(a))^2
$

\item Soit la fonction $\mathcal{H}$ définie sur $] 0~;~1]$ par $\mathcal{H}(x) = x \ln (x) - \frac{1}{2}x(\ln (x))^2 + 1 - x$. 

On admet que $\mathcal{H}$ est dérivable sur $] 0~;~1]$ et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous. 

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{4cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l *2{c}|}\hline
x & 0   & \hspace*{\esp} & 1 \\ \hline
%f'(x) &   & \pmb{-} & \\  \hline
& \vline\:\vline \quad \Rnode{max}{1} &    &    \\
\mathcal{H}(x) &\vline\:\vline &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & \vline\:\vline     & & \Rnode{min}{0} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}
%\rput*(-2,0.65){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

%Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha \in ]0~;~1[$ tel que $\mathcal{H}(\alpha) = 0,5$. 

La fonction $\mathcal{H}$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $] 0~;~1]$. D'après le tableau de variations, $ \lim_{x\to 0 \atop x>0} \mathcal{H}(x)=1$ et $\mathcal{H}(1)=0$. Or $0,5 \in ] 0~;~1[$, donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $\mathcal{H}(x)=0,5$ admet une solution unique $\alpha$ dans $] 0 ~;~1[$.

%Donc qu'il existe un unique réel $\alpha \in ] 0~;~1[$ tel que $\mathcal{H}(\alpha) = 0,5$.

\item On considère l'algorithme présenté ci-dessous. 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|lX|}\hline
VARIABLES : 		&$A$, $B$ et $C$ sont des nombres ;\\
								& $p$ est un entier naturel.\\ 
INITIALISATION :	& Demander la valeur de $p$\\
								& $A$ prend la valeur $0$\\ 
								&$B$ prend la valeur 1\\ 
TRAITEMENT :		& Tant que $B - A > 10^{-p}$\\
								&\hspace{0.25cm}
								\begin{tabular}{|l} 
								$C$ prend la valeur $(A + B)/2$\\ 
								Si $\mathcal{H}(C) > 0,5$\\
								\hspace{0.5cm}
									\begin{tabular}{|l}
										Alors $A$ prend la valeur de $C$\\
										Sinon $B$ prend la valeur de $C$\\
									\end{tabular}\\
								Fin de la boucle Si \\
								\end{tabular}\\
								&Fin de la boucle Tant que\\								 
SORTIE : 				&Afficher $A$ et $B$.\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\medskip

%Que représentent les valeurs $A$ et $B$ affichées en sortie de cet algorithme ? 

Cet algorithme, dit de \og dichotomie \fg{}, permet de déterminer un encadrement d'amplitude inférieure ou égale à $10^{-p}$ de la solution de l'équation $\mathcal{H}(x)=0,5$; le nombre $A$ est la borne inférieure de l'encadrement, le nombre $B$ en est la borne supérieure.

\item%  Donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$. 
On utilise la calculatrice pour déterminer les encadrements suivants:

$\left.
\begin{array}{l}
 \lim_{x\to 0 \atop x>0} \mathcal{H}(x)=1\\[5pt]
\mathcal{H}(0,1) \approx 0,40 < 0,5
\end{array}
\right\rbrace
\implies
\alpha \in ] 0~;~0,1[
$
\hfill
$\left.
\begin{array}{l}
\mathcal{H}(0,06) \approx 0,534 > 0,5\\
\mathcal{H}(0,07) \approx 0,496 < 0,5
\end{array}
\right\rbrace
\implies
\alpha \in ] 0,06~;~0,07[$

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}



\subsection{}

%\medskip
%
%\emph{Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
%\\ 
%Les deux questions sont indépendantes l'une de l'autre.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La durée de vie $T$ (exprimée en années) d'un appareil électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$. 

On sait qu'un tel appareil a une durée de vie moyenne $E(T)$ de quatre ans; or $\lambda = \dfrac{1}{E(T)}$ donc $\lambda= 0,25$.

%La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu'il a déjà fonctionné trois ans est d'environ $0,39$ à $0,01$ près. 

D'après le cours, si une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $P(X < t) = 1-\mathrm{e}^{-\lambda t}$.

On cherche $P_{(T\geqslant 3)}(T\geqslant 3 + 2)$.

La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement donc $P_{(T\geqslant 3)}(T\geqslant 3+2) = P(T \geqslant 2)$.

$P(T\geqslant 2) = 1 - P(T< 2) = 1 - \left ( 1 - \mathrm{e}^{-0,25\times 2}\right ) = \mathrm{e}^{-0,25\times 2} \approx 0,61 \neq 0,39$.

\smallskip

Cette affirmation est \textbf{fausse}.

\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. 

On résout dans $\mathbb{C}$ l'équation (E): $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$.

$z^3 - 3z^2 + 3z = z(z^2 - 3z + 3)$ donc (E)\:$\iff z(z^2 - 3z + 3)=0 \iff z=0 \text{ ou } z^2-3z+3=0$

On résout dans $\mathbb{C}$ l'équation (E') : $z^2 - 3z + 3 = 0$:
$\Delta = 9-12=-3$ donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées
$z_1 = \dfrac{3 + \i \sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \dfrac{3 - \i \sqrt{3}}{2}$. 

Soit A le point d'affixe $z_1$ et B le point d'affixe $z_2$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item $\text{OA} = |z_1|= \sqrt{\left ( \dfrac{3}{2}\right )^2 + \left (\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )^2}
= \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4}} = \sqrt{3}$

\item $\text{OB} = |z_2| = |z_1|$ car $z_1$ et $z_2$ sont deux nombres complexes conjugués, donc $\text{OB} = \sqrt{3}$.

\item  $\text{AB} = \left |z_2 - z_1\right | = \left | \dfrac{3 - \i \sqrt{3}}{2} - \dfrac{3 + \i \sqrt{3}}{2}\right |
= \left | -\i \sqrt{3} \right | = \sqrt{3}$

\end{list}

OA = OB = AB donc les trois solutions de l'équation (E) sont les affixes de trois points qui sont les sommets d'un triangle équilatéral.

\smallskip

Cette affirmation est \textbf{vraie}.

\end{enumerate}

\subsection{}

%\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
%
%\medskip

Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme. 
%\bigskip

\subsection*{Partie A}

%\medskip 

Sur les 34 sujets de l'examen déjà posés, 22 portaient sur le thème A. 

%Peut-on rejeter au seuil de $95\,\%$ l'affirmation suivante : \og il y a une chance sur deux que le thème A soit évalué le jour de l'examen \fg ? 

On veut tester l'hypothèse \og il y a une chance sur deux $(p=0,5)$ que le thème A soit évalué le jour de l'examen \fg{} dans un échantillon de taille $n=34$.

$n=34 \geqslant 30$ et $np = n(1-p) = 17 \geqslant 5$ donc les conditions sont vérifiées pour que l'on établisse un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion que le thème A soit évalué le jour de l'examen:

\smallskip

$I= \left [ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right ]
= \left [ 0,5-1,96 \dfrac{\sqrt{0,5\times 0,5}}{\sqrt{34}}~;~0,5+1,96 \dfrac{\sqrt{0,5\times 0,5}}{\sqrt{34}}\right ]
\approx [ 0,33~;~0,67]$

\smallskip

La fréquence dans l'échantillon est de $f=\dfrac{22}{34} \approx 0,65 \in I$ donc il n'y a pas de raison de rejeter l'affirmation proposée.

%\bigskip

\subsection*{Partie B}

%\medskip  

Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. 

Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$30\,\%$ des étudiants n'ayant pas sµivi le stage ne traitent pas l'exercice ; 
\item[$\bullet~~$]$\dfrac{5}{6}$ des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On sait de plus que $20\,\%$ des étudiants participent au stage. 

%\smallskip
%
%Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : \og  Je n'ai pas du tout traité le thème A \fg. 
%
%Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage ? On arrondira le résultat à $0,001$ près. 

%\bigskip

\begin{list}{\textbullet}{On note:}

\item $S$ l'évènement \og l'étudiant a suivi le stage \fg{} et $\overline S$ son évènement contraire;

\item $A$ l'évènement \og il y a un exercice portant sur le thème A \fg{} et $\overline A$ son évènement contraire.

\end{list}

On établit un arbre de probabilité résumant la situation:

\begin{center}
\bigskip
{
\psset{treesep=.75cm,levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$S$}\ncput*{0,2}}
	                        {
	                        \TR{$A$}\ncput*{$\frac{5}{6}$}
			                \TR{$\overline A$}\ncput*{$\frac{1}{6}$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline S$}\ncput*{0,8}}
	                        {
	                        \TR{$A$}\ncput*{0,7}
			                \TR{$\overline A$}\ncput*{0,3}
	                        }
      }
}% fin du \small
\bigskip
\end{center}

On cherche $P_{\overline{A}}(S)$ c'est-à-dire $\dfrac{P(S \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$.

D'après l'arbre: 
$P(S \cap \overline{A}) = P(S) \times P_{S}(\overline{A}) = 0,2\times \dfrac{1}{6} = \dfrac{0,2}{6} = \dfrac{1}{30}$.

D'après la formule des probabilités totales:
$P(\overline{A}) = P(S \cap \overline{A}) + P(\overline S \cap \overline{A})
= \dfrac{1}{30} + 0,8\times 0,3 = \dfrac{1}{30} + \dfrac{24}{100} = \dfrac{41}{150}$.

$P_{\overline{A}}(S) = \dfrac{\frac{1}{30}}{\frac{41}{150}} = \dfrac{1}{30} \times \dfrac{150}{41} = \dfrac{5}{41} \approx 0,122$.

\subsection*{Partie C}

%\medskip  

On suppose que la variable aléatoire $T$, associant la durée (exprimée en minutes) que consacre un étudiant de cette université pour la composition de cet examen, suit la loi normale d'espérance $\mu = 225$ et d'écart-type $\sigma$ où $\sigma > 0$. 
La probabilité qu'un étudiant finisse son examen en moins de $235$~minutes est de $0,98$. 

%Déterminer une valeur approchée de $\sigma$ à $0,1$ près. 
%
%$\left(\text{On pourra, par exemple, intro\-duire la variable aléatoire }\: Z =  \frac{T - 225}{\sigma}\right)$. 

On sait que $P(T \leqslant 235)=0,98$ sachant que $T$ suit la loi normale de moyenne 225 et d'écart-type $\sigma$.

D'après le cours, si $T$ suit la loi normale de moyenne 225 et d'écart-type $\sigma$, alors $Z=\dfrac{T-225}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite (moyenne 0 et écart-type 1).

\smallskip

$T \leqslant 235 \iff T - 225 \leqslant 10 \iff \dfrac{T-225}{\sigma} \leqslant \dfrac{10}{\sigma}$ car $\sigma >0$;
donc $P(T \leqslant 235) =0,98 \iff P\left ( \dfrac{T-225}{\sigma} \leqslant \dfrac{10}{\sigma} \right ) = 0,98$.

\smallskip

On cherche donc le réel $\beta$ tel que $P(Z\leqslant \beta) = 0,98$ sachant que $Z$ suit la loi normale centrée réduite. 

On trouve à la calculatrice $\beta \approx 2,054$.

On en déduit que $\dfrac{10}{\sigma} \approx 2,054$ donc que $\sigma \approx 4,9$.

\vspace{0.5cm}



\subsection{}

\medskip  

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par 
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
u_0&0\\
u_{n+1}&\dfrac{1}{2 - u_n}\text{ pour tout entier naturel }\:n \geqslant 0.
\end{array}\right.$.

%\smallskip
%
%On obtient à l'aide d'un tableur les premiers termes de cette suite: 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
% 	&A		&B							&C\\ \hline   
%1	&			&$u_n$  					&$u_n$ \\ \hline      
%2	&$n$	&(en valeurs exactes)&(en valeurs approchées)\\ \hline
%3	&   0	&0 							&0\\ \hline     
%4	&   1	&1/2						&0,5 \\ \hline    
%5	&   2	&2/3						&\numprint{0,666666667}\\ \hline     
%6	&  3		&3/4 						&0,75 \\ \hline        
%7	&   4	&4/5						&0,8 \\ \hline      
%8	&   5	&5/6						&\numprint{0,833333333}\\ \hline      
%9	&   6	&6/7						&\numprint{0,857142857} \\ \hline    
%10&   7		&7/8						&0,875 \\ \hline  
%11&   8		&8/9						&\numprint{0,888888889}\\ \hline     
%12&   9		&9/10						&0,9\\ \hline  
%13&   10	&10/11						&\numprint{0,909090909}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}   

%Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge. 

On peut conjecturer que, pour tout $n$, $u_n = \dfrac{n}{n+1}$.

Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété $u_n = \dfrac{n}{n+1}$.
Démontrons par récurrence que cette propriété est vraie pour tout $n$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=0$, $u_0=0$ et $\dfrac{n}{n+1}=0$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$.

\item \textbf{Hérédité}

On suppose que la propriété est vraie pour un entier $k$ quelconque:
$u_k=\dfrac{k}{k+1}$.

On va démontrer qu'elle est vraie au rang $k+1$ soit $u_{k+1} = \dfrac{k+1}{k+2}$.

$u_{k+1} 
= \dfrac{1}{2-u_k} = \dfrac{1}{2- \dfrac{k}{k+1}}
= \dfrac{1}{\dfrac{2(k+1) - k}{k+1}}
= \dfrac{k+1}{2k+2-k}
= \dfrac{k+1}{k+2}$

Donc la propiété est vraie au rang $k+1$.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété $\mathcal{P}_n$ est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire pour tout $n$. Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.

\end{list}

On peut donc dire que, pour tout $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.

\smallskip

On cherche 
$\lim_{n \to +\infty} u_n$.
Pour $n\neq 0$:  $\dfrac{n}{n+1}
=  \dfrac{n\times 1}{n\left ( 1+\dfrac{1}{n} \right )}
=  \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}$.

On sait que $\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ donc 
$\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}} = 1$ donc
$\lim_{n\to +\infty} u_n=1$.

\vspace{0.5cm}



\subsection{}

\medskip  

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O~;~I,~J,~K). 

On considère les points 
$\text{A}(-1~;~-1~;~0),\: \text{B}(6~;~-5~;~1),\: \text{C}(1~;~2~;~-2) \:\:\text{et S}(13~;~37~;~54)$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item 
$\overrightarrow{\text{AB}}
\begin{pmatrix}
7 \\ -4 \\ 1
\end{pmatrix}$
et
$\overrightarrow{\text{AC}}
\begin{pmatrix}
2 \\ 3 \\ -2
\end{pmatrix}$;
$7\times \dfrac{2}{7} = 2$ et $-4\times \dfrac{2}{7} \neq 3$
donc les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires.

Les points A, B et C ne sont pas alignés donc ils définissent bien un plan dont $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont deux vecteurs directeurs.

		\item Soit le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}5\\16\\29\end{pmatrix}$.
		
$\overrightarrow{n}\,.\,\overrightarrow{\text{AB}} = 5\times 7 + 16\times (-4) + 29\times 1 
= 35 - 64 + 29 = 0$ donc 
$\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{\text{AB}}$.

$\overrightarrow{n}\,.\,\overrightarrow{\text{AC}} = 5\times 2 + 16\times 3 + 29\times (-2) 
= 10 + 48 - 58 = 0$ donc 
$\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{\text{AC}}$.

Donc le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (ABC) donc le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC).

		\item% En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 
Le plan (ABC) est l'ensemble des points M tels que $\overrightarrow{\text{AM}}$ et $\overrightarrow{n}$ sont orthogonaux.

Si M a pour coordonnées $(x~;~y~;~z)$, alors $\overrightarrow{\text{AM}}$ a pour coordonnées $(x+1~;~y+1~;~z)$.

$\overrightarrow{\text{AM}} \perp \overrightarrow{n}
\iff
\overrightarrow{\text{AM}}\,.\,\overrightarrow{n} = 0
\iff
5(x+1) + 16(y+1) + 29z = 0
\iff
5x + 16y +29z +21 = 0$

Le plan (ABC) a pour équation $5x + 16y +29z +21 = 0$.

	\end{enumerate}

\item

	\begin{enumerate}

		\item% Déterminer la nature du triangle ABC. 
$\text{AB}^2 = \left \| \overrightarrow{\text{AB}} \right \|^2 = 7^2 +(-4)^2 +1^2 = 49+16+1=66$

$\text{AC}^2 = \left \| \overrightarrow{\text{AC}} \right \|^2 = 2^2 + 3^2 +(-2)^2 = 4+9+4 = 17$

$\text{BC}^2 = (1-6)^2 + (2+5)^2 + (-2-1)^2 = 25 + 49  + 9 = 83$

$66 + 17 = 83$ ce qui équivaut à $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2$ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 

		\item% Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle ABC est, en unités d'aire, $\dfrac{\sqrt{\numprint{1122}}}{2}$. 
Le triangle ABC est rectangle en A donc son aire vaut
$\dfrac{\text{AB}\times \text{AC}}{2} = \dfrac{\sqrt{66}\times \sqrt{17}}{2} = \dfrac{\sqrt{\numprint{1122}}}{2}$.

	\end{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}

		\item Les points A, B, C et S sont coplanaires si et seulement si le point S appartient au plan (ABC).

Le plan (ABC) a pour équation $5x + 16y +29z +21 = 0$.

$5x_{\text{S}} + 16y_{\text{S}} +29z_{\text{S}} + 21 
=  5\times 13 + 16\times 37 + 29\times 54 + 21
= \numprint{1705} \neq 0$ donc $\text{S} \not\in (\text{ABC})$.

Les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

		\item La droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan (ABC) passant par S coupe le plan (ABC) en un point noté H. 

%Déterminer les coordonnées du point H. 

La droite $(\Delta)$ est perpendiculaire au plan (ABC) donc elle a pour vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow{n}$. Donc le vecteur $\overrightarrow{\text{SH}}$ est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{n}$ donc le vecteur $\overrightarrow{\text{SH}}$ a pour coordonnées $(5k~;~16k~;~29k)$ où $k$ est un réel.
Si le point H a pour coordonnées $(x_{\text{H}}~;~y_{\text{H}}~;~z_{\text{H}})$, le vecteur $\overrightarrow{\text{SH}}$ a pour coordonnées $(x_{\text{H}}-13~;~y_{\text{H}}-37~;~z_{\text{H}}-54)$.

On en déduit:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_{\text{H}} & 13+5k \\
y_{\text{H}} & 37 + 16k\\
z_{\text{H}} & 54 + 29k
\end{array}
\right.$

On exprime que H appartient au plan (ABC), ce qui va permettre de déterminer la valeur de $k$:

$5x_{\text{H}} + 16y_{\text{H}} +29z_{\text{H}} +21 = 0
\iff
5\left (13+5k\right ) + 16\left (37+16k\right ) +29\left (54+29k\right )+21=0\\
\phantom{5x_{\text{H}} + 16y_{\text{H}} +29z_{\text{H}} +21 = 0}
\iff 
65+25k+592+256k + \numprint{1566} + 841k +21=0\\
\phantom{5x_{\text{H}} + 16y_{\text{H}} +29z_{\text{H}} +21 = 0}
\iff
\numprint{2244} + \numprint{1122}k=0
\iff k=-2$

Donc le point H a pour coordonnées:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l !{=} r}
x_{\text{H}} &13+5(-2) & 3 \\
y_{\text{H}} &37 + 16(- 2) & 5\\
z_{\text{H}} &54 + 29(- 2) & -4
\end{array}
\right.$

	\end{enumerate}

\item Le volume du tétraèdre SABC est
$\dfrac{\text{aire(ABC)} \times \text{SH}}{3}$.

Le vecteur $\overrightarrow{\text{SH}}$ a pour coordonnées $(5k~;~16k~;~29k)$ donc  $(5(-2)~;~16(-2)~;~29(-2)) = (-10~;~-32~;~-58)$. 
Donc 
$\text{SH}^2 = (-10)^2+(-32)^2 + (-58)^2 = \numprint{4488}$ et donc
$\text{SH} = \sqrt{\numprint{4488}} = 2 \sqrt{\numprint{1122}}$.

$\text{aire(ABC)} =\dfrac{ \sqrt{\numprint{1122}}}{2}$ donc le volume du tétraèdre est
$\dfrac{\dfrac{\sqrt{\numprint{1122}}}{2} \times 2 \sqrt{\numprint{1122}}}{3} = \dfrac{\numprint{1122}}{3} = 374$ unités de volume.

%\emph{On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par :}
%
% \[\dfrac{\text{\emph{Aire\: de\: la\: base}} \times  \text{\emph{hauteur}} }{3}.\]
\end{enumerate}

\label{fin}

\end{document}