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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille 2}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole-Réunion juin 2016}}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x-\ln\left(x^2+1\right)$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\bigskip


\begin{enumerate}
\item $f(x)=x\iff\ln\left(x^2+1\right)=0\iff x^2+1=1\iff x=0$ : l'équation a pour solution le nombre 0.

\item $f$ est dérivable somme somme et composée de fonctions dérivables.

$f=u-\ln(v)$ donc $f'=u'-\frac{v}{v'}$ avec $\begin{cases}u(x)=x\\u'(x)=1\end{cases}$ et $\begin{cases}v(x)=x^3+1\\v'(x)=2x\end{cases}$.

On en déduit que $f'(x)=1-\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}\leqslant 0}}$ avec $f'(x)=0$ pour $x=1$.

$f$ est donc bien croissante sur $\mathbb{R}$ et $f'(1)=0$.

$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x^2+1\right)=+\infty$ donc $\lim_{t\rightarrow +\infty}\ln\left(x^2+1\right)=\lim_{X\rightarrow -\infty}\ln X=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\boxed{\textcolor{red}{-\infty}}$.

\item Soit $x$ un réel de [0 ~;~ 1] ~;~ $f$ est croissante sont $f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(1)$~;~

Or $f(0)=0$ et $f(1)=1-\ln(2)<1$ donc $0\leqslant f(x)\leqslant 1$~;~

Pour tout $x$ appartenant à [0 ~;~ 1], $f(x)$ appartient à [0 ~;~ 1].

\item 
\begin{enumerate}
\item Cet algorithme donne le plus petit entier pour lequel $N-\ln\left(N^2+1\right)\geqslant A$.

\item À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{n=110}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\bigskip

La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n-\ln\left(u_n^2+1\right)=f\left(u_n\right)$.


\begin{enumerate}
\item Montrons par récurrence que $u_n$ appartient à [0 ~;~ 1] pour tout $n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $u_0=1\in[0.1]$

\item Hérédité : on suppose que $u_n\in[0~~;~~1]$ pour un entier $n$ quelconque.

D'après A.4), on en déduit que $u_{n+1}\in[0~;~1]$ ~;~ la propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\item Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=-\ln\left(u_n^2+1\right)\leqslant 0$ car $u_{n+1}^2+1\geqslant 1$.

La suite est donc \textbf{décroissante}.

\item D'après 1., la suite est minorée et on vient de voir qu'elle est décroissante, donc elle est convergente vers un réel $\ell\geqslant 0$.

\item On admet que  $f(\ell)=\ell$.

On en déduit que $\ell=0$ d'après A 1.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2015}}

%Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par 
%
%\[v_1 = \ln (2) \quad \text{et, pour tout entier naturel }\: n \:\text{non nul},\: v_{n+1} = \ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right).\]
%
%On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$ non nul.
%
%On définit ensuite la suite $\left(S_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ non nul par :
%
%\[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k = v_1 + v_2 + \cdots + v_n.\]
%
%Le but de cet exercice est de déterminer la limite de $\left(S_n\right)$.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A -- Conjectures à l'aide d'un algorithme}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter l'algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de $S_n$ pour
%une valeur de $n$ choisie par l'utilisateur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|lX|}\hline
Variables :		& $n$, $k$ entiers\\
				&$S$, \:$v$ réels\\
Initialisation :& Saisir la valeur de $n$\\
				&$v$ prend la valeur $\ln (2)$\\
				&$S$ prend la valeur $v$\\
Traitement :	& Pour $k$ variant de 2 à $n$ faire\\
				&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
				$v$ prend la valeur $\ln \left(2 - \text{e}^{v_n}\right)$\\
				$S$ prend la valeur $S + v$
				\end{tabular}\\
				&Fin Pour\\
Sortie :		& Afficher $S$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\item %À l'aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de $S_n$. Les valeurs arrondies au
%dixième sont données dans le tableau ci-dessous :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$n$		&10	&100 	&\np{1000} 	& \np{10000} & \np{100000} 	& \np{1000000}\\ \hline
%$S_n$	&2,4&4,6	&6,9		&9,2		&11,5			&13,8\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la
%suite $\left(S_n\right)$.
D'après les valeurs affichées il semble que la suite $\left(S_n\right)$ soit croissante.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B -- Étude d'une suite auxiliaire}

\medskip

%Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = \text{e}^{v_n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que $u_1 = 2$ et que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{u_n}$.
On a $u_1 = \text{e}^{v_1} = \text{e}^{\ln (2)} = 2$.

Pour tout entier naturel $n$, \:$ u_{n+1} = \text{e}^{v_{n+1}}  =
\text{e}^{\ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right)}  = \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right) =$

$ 2 - \dfrac{1}{\text{e}^{v_n}} = 2 - \dfrac{1}{u_n} = u_{n+1}$.
\item  %Calculer $u_2,\: u_3$ et $u_4$. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.
D'après le résultat précédent : 

$u_2 = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ ; 

$u_3 = 2 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$ ;

$u_4 = 2 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4}$.
\item  %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{n+1}{n}$.

Démonstration par récurrence :

\emph{Initialisation :} la relation est vraie pour $n = 4$ ;

\emph{Hérédité :} Supposons qu'il existe un naturel $p > 4$ tel que $u_p = \dfrac{p+1}{p}$.

On a $u_{p+1} = 2 - \dfrac{1}{u_p} = 2 - \dfrac{p}{p+1} = \dfrac{2p + 2 - p}{p+1} = \dfrac{p+2}{p+1}$ : la relation est donc vraie au rang $p + 1$.

On a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{n+1}{n}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C -- Étude de }\boldmath $\left(S_n\right)$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \text{e}^{v_n} \Rightarrow v_n = \ln u_n$.

De la question précédente on peut écrire :

$v_n = \ln \dfrac{n+1}{n} = \ln (n + 1) - \ln n$.
\item  %Vérifier que $S_3 = \ln (4)$.
$S_3 = v_1 + v_2 + v_3 = \ln 2 - \ln 1 + \ln 3 - \ln 2 + \ln 4 - \ln 3 = \ln 4 - \ln 1 = \ln 4$.
\item  %Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $S_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(S_n\right)$.
$S_n =  v_1 + v_2 + \cdots + v_n = \ln 2 - \ln 1 + \ln 3 - \ln 2 + \ln 4 - \ln 3 + \cdots  + \ln n - \ln (n + 1) + \ln (n + 1) - \ln n  = \ln (n + 1)$.

On a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = + \infty$. La suite $\left(S_n\right)$ est divergente.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  