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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices du bac}}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie mars 2015}}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après l'énoncé la fonction $f_2$ est  dérivable sur $\mathbb{R}$.

On a $\boxed{\textcolor{red}{f'_2(x) = \text{e}^x - 2}}$.

Or $\text{e}^x - 2 =  0 \iff  \text{e}^x = 2 \iff x = \ln 2$. Donc :

Donc $\text{e}^x - 2 >   0 \iff  x > \ln 2$ : la fonction $f$ est décroissante sur $[-\infty~;~\ln 2[$.

$\text{e}^x - 2 <   0 \iff  x < \ln 2$ : la fonction $f$ est croissante sur $[\ln 2~;~+ \infty[$.

$f_2(\ln 2) = \text{e}^{\ln 2} - 2\times \ln 2 = 2 - 2\ln 2$ est le minimum de la fonction $f_2$ sur $\mathbb{R}$.

On a le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.5,2.4){$- \infty$}\uput[u](4,2.4){$\ln 2$}\uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$}
\rput(0.5,1){$f$}\uput[u](4,0){$2 - 2\ln 2$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

		\item Comme $2 - 2\ln 2 =2(1-\ln 2) > 0$ car $2<\mathrm{e}\Rightarrow \ln 2<\ln \mathrm{e}=1 $, le minimum de la fonction $f_2$ étant supérieur à zéro, on en déduit que la fonction est strictement positive sur $\mathbb{R}$, soit 
		
$\text{e}^x - 2 x > 0 \iff \text{e}^x > 2x$ donc la représentation graphique de la fonction $x \longmapsto \text{e}^x$ est au dessus de la droite $\Delta_2$. 

$\Gamma$ et $\Delta_2$ n'ont pas de point commun.
	\end{enumerate}
\item 	$f_a(x) = \text{e}^x - ax$
	\begin{enumerate}
		\item $\bullet~~$ limite en plus l'infini :

$f_a(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - a\right)$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$ (croissances comparées) donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x} - a = + \infty$, donc par produit des limites $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = + \infty$.

$\bullet~~$ limite en moins l'infini :

On sait que  $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0$.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}   f_a(x) = + \infty$.
		\item $f_a$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme de fonctions dérivables et 

$f'_a(x) = \text{e}^x - a$.

$\text{e}^x - a = 0 \iff \text{e}^x = a \iff x =  \ln a$ (car $a > 0$).

On a le même tableau de variations que pour $f_2$ en remplaçant 2 par $a$.
		\item La fonction $f_a$ décroissante, puis croissante admet donc un minimum $f_a(\ln a) = a - a\ln a$.
		\item $a - a \ln a = 0 \iff a(1 - \ln a) = 0 \iff 1 - \ln a = 0$ (car $a \ne 0$) $\iff$
		
$1 = \ln a \iff \text{e}^1 = \text{e}^{\ln a} \iff \text{e} = a$.
	
On a donc  :

$\bullet~~$$a - a \ln a > 0 \iff a < \text{e}$ : le minimum est positif, donc comme à la question 1, la fonction $f_a$ est strictement positive et la courbe et la droite n'ont pas de point commun.

$\bullet~~$$a - a \ln a < 0 \iff a > \text{e}$ : le minimum est inférieur à zéro.

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.5,2.4){$- \infty$}\uput[u](4,2.4){$\ln a$}\uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$}
\rput(0.5,1){$f$}\uput[u](4,0){$a - a\ln a$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

Donc sur l'intervalle $]- \infty~;~\ln a[$, la fonction $f_a$ continue car dérivable et strictement monotone sur cet intervalle passe d'une valeur positive à une valeur négative  : il existe donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, un réel $\alpha \in ]- \infty~;~\ln a[$   tel que $f_a(\alpha)  = 0$, soit $\text{e}^{\alpha} = a\alpha$ (unique, car la fonction est monotone sur cet intervalle).

De même sur $]\ln a~;~+ \infty[$, la fonction $f_a$ continue car dérivable et strictement monotone sur cet intervalle passe d'une valeur négative  à une valeur positive : il existe donc un réel $\beta \in ]\ln a~;~+ \infty[$ tel que $f_a(\beta) = 0$, soit $\text{e}^{\beta} = a\beta$.

Conclusion : si $a > \text{e}$ la courbe $\Gamma$ et la droite $\Delta_a$ ont deux points communs.

$\bullet~~$$a - a \ln a = 0 \iff a  = \text{e}$, la fonction $f_a = f_{\text{e}}$ s'annule une seule fois en $x = 1$, donc $f_{\text{e}}(1) = 0$ : $\Gamma$ et $\Delta_{\text{e}}$ ont un seul point commun (la droite est tangente à la courbe)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.4)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-0.4)(2,5)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=green]{-1}{2}{x 2 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red]{-1}{2}{x 2.71828 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=cyan]{-1}{2}{x 3 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{-1}{2}{2.71828 x exp }
\rput{45}(1.8,3.4){\green $y = 2x$}
\rput{53}(1.8,4.6){\red $y = \text{e}x$}
\rput{57}(1,3.2){\cyan $y = 3x$}
\rput(-0.5,0.75){\blue $\Gamma$}
\uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2013}}
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter à $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item On a : $u_0=1$, $u_1 = \displaystyle\sqrt{2u_0}= \displaystyle\sqrt{2}$, $u_2 = \displaystyle\sqrt{2u_1}=\displaystyle\sqrt{2\sqrt{2}}$ et 
		
$u_3 = \displaystyle\sqrt{2u_2}=\displaystyle\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}=1.8340$ à $10^{-4}$ près.		
		\item Cet algorithme permet le calcul du terme de rang $n$. 
		\item D'après le tableau des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$, on peut conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par 2.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. 
		
\textbullet ~~Initialisation
		
On a $u_0=1$ donc $0 < u_{0} \leqslant 2$
		
\textbullet ~~Hérédité
		
Supposons qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $0 < u_{n} \leqslant 2$.
		
On a :
		$0 < u_{n} \leqslant 2\Leftrightarrow 0 < 2u_{n} \leqslant 4 \Leftrightarrow0 <\sqrt{ 2u_{n}} \leqslant 4\Leftrightarrow0 < u_{n+1} \leqslant 2$.
				
\textbullet ~~Conclusion
		
$0 < u_{0} \leqslant 2$
		
Si $0 < u_{n} \leqslant 2$ alors	$0 < u_{n+1} \leqslant 2$.
		
D'après l'axiome de récurrence on a pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} \leqslant 2$.
				
		\item Déterminons le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		
Comme  pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n}$, comparons $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
		
On a : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\sqrt{2u_{n}}}{u_n}=\sqrt{\dfrac{2u_{n}}{u_n^2}} = \sqrt{\dfrac{2}{u_n}}$.
		
Et comme on a démontré précédemment que $u_{n} \leqslant 2$, alors ${\dfrac{2}{u_n}}\geqslant1$ et ${\sqrt{\dfrac{2}{u_n}}}\geqslant1$. 
		
On en déduit que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n}$,  $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1$ ; $(u_n)$ est une suite croissante.		
		\item On vient de prouver que d'une part la suite $(u_n)$ est strictement croissante et que d'autre part elle est majorée par 2.
		
Ceci démontre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. \\
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$ donc en particulier: 
		
$u_0=\ln(u_0)-\ln2=\ln1-\ln2=-\ln2$ 
		
On a aussi pour tout entier naturel $n$,$v_{n+1} = \ln u_{n+1} - \ln 2$, mais $u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}$.
		
Alors: $v_{n+1} = \ln {\sqrt{2u_{n}}} - \ln 2=\dfrac{1}{2}\left(\ln(u_n)+\ln2\right)-\ln2=\dfrac{1}{2}\left(\ln(u_n)-\ln2\right)=\dfrac{1}{2}v_n$  
		
On peut en conclure que  la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$. \\
		\item On déduit de ce qui précède que pour tout entier naturel $n$,  $v_{n}=-\ln 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.\\
		
		$v_{n} = \ln (u_{n}) - \ln 2 \Leftrightarrow \ln \left(\dfrac{u_n}{2}\right) = v_n \Leftrightarrow {\dfrac{u_n}{2}}=e^{v_n} \Leftrightarrow u_n=2e^{v_n}$.
		$u_{n}$ en fonction de $n$. \\
		 
		\item Comme $\dfrac{1}{2}\in[0;1]$,		
		$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}=0$ 		
		 et 
		$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(v_n\right)}=0$ 
		
		On sait que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\left(e^x\right)}=1$, alors par composition des limites:$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(e^{v_n}\right)}=1$ et finalement: 
		
		$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(u_n\right)}=2$  \\
		
		\item L'algorithme ci-dessous permet d' afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables :	&$n$ est un entier naturel\\
			& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
				&Affecter à $u$ la valeur 1\\ 
Traitement :	&Tant que $u\leqslant 1,999$\\
				&Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
				&Affecter à $n$ la valeur $n+1$
\\ 
Sortie :&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  